同步：秩序如何从混沌中涌现
Author: 斯蒂芬·斯托加茨
Date: 2018-03-31T16:00:00+00:00
Publisher: 四川人民出版社

版权信息

本书纸版由四川人民出版社于2018年4月出版

作者授权湛庐文化（Cheers Publishing）作中国大陆（地区）电子版发行（限简体中文）

版权所有•侵权必究

书名：同步：秩序如何从混沌中涌现

著者：斯蒂芬·斯托加茨

电子书定价：80.99元

Sync: how order emerges from chaos in the universe, nature, and daily life.

Copyright © 2003 by Steven Strogatz

谨以此书献给阿瑟·温弗里，
我的导师、精神领袖及至交好友。

前　言
聆听同步的循环之声

宇宙的核心存在一种稳定、持续的搏动：同步的循环之声。它遍及自然界的每个尺度，小到原子核，大到宇宙。每个夜晚，沿着马来西亚的潮汐河流，成千上万只萤火虫聚集在红树林中，同步闪烁着，要知道，它们没有收到任何指挥或来自环境的暗示。上万亿个电子在超导体中步调一致地前进，使电流在零电阻的状态下流过。在太阳系中，引力同步可以将巨大的石块弹射出小行星带，飞向地球，这种流星产生的巨大影响被认为是恐龙灭绝的原因。甚至我们的身体本身也是一曲富有韵律的交响乐，通过心脏中成千上万的起搏细胞持续不断且协调一致的发射，维持着我们的生命。无论哪种情形，这些同步的壮举都是自发出现的，仿佛大自然对于秩序有一种怪异的向往。

于是，这些同步现象引发了一个深刻的思考：长期以来，科学家一直对宇宙中自发秩序的存在感到困惑。热力学定律似乎指向了对立的方向：大自然会无情地向更无序的状态、更高的熵值退化。然而，在周围环境中，我们看到的宏伟结构，如星系、细胞群、生态系统、人类，都以某种方式自组织。这个谜题困扰着今天几乎所有的科学研究。只有在少数情况下，我们才能清楚地理解秩序是如何自发产生的。第一个例子是物理空间中的一种特殊秩序，其中涉及完全重复的结构，即当温度下降到低于冰点的时候，数万亿个水分子会自发凝结成刚性、对称的冰晶。然而，要解释时间上的秩序则存在更多的疑问，即使是最简单的可能性，即相同的事情同时发生，也被证明是非常微妙的，我们把这种秩序称为同步。

乍看上去，似乎没有什么需要解释。你和朋友在餐厅约会，如果你们两人都准时到达，那么你们的到来就是同步的。一种类似的寻常的同步是由对相同刺激的反应所引发的：一群鸽子受到汽车爆胎声的惊吓一齐起飞，在短时间内，它们拍打翅膀的节奏几乎是同步的，这只是因为它们对相同噪音的反应相同。鸽子其实并未相互沟通拍打翅膀的节奏，并且最初的几秒过后，这种同步就会消失。其他类型的瞬态同步可能会偶然出现，比如在周日早晨，两座教堂的钟声可能会同时响起，并保持一段时间，然后分道扬镳。当坐在车里等红灯时，你可能会注意到，你的车和前车的信号灯以完美的时间间隔同步闪烁，并持续一段时间。但这种同步纯粹是巧合，几乎没有关注的价值。

引人注目的是持续的同步。当两件事情长时间同时发生的时候，同步或许就不是巧合了。这种持续的同步很容易出现在人类身上，而且不知何故，它常常给我们带来快乐。人们喜欢一起跳舞，一起合唱，共同组成一个乐队演奏。完美的同步十分壮观，例如“火箭女郎”（Rockettes）啦啦队的同步踢腿，以及花样游泳运动员合拍的动作。当观众不知道下一段音乐或下一个舞蹈动作会如何继续时，艺术感就会在瞬间倍增。因此，我们也将持续的同步解释为智慧、筹划和精心编排的一种体现。

当无意识的实体出现同步时，例如电子和细胞，它们看上去就像是奇迹。动物的协作也会让你十分震惊，如夏日的夜晚，成千上万只蟋蟀齐声鸣叫，以及鱼群优美地游动。但更令人震惊的是，一些无意识的群体也会自发陷入同步。这些现象令人难以置信，以至于一些评论家否认它们的存在，将其归于错觉、意外或知觉错误。还有一些观察者甚至利用神秘主义对其进行解释，将同步归因于宇宙中的超自然力量。

直到几年前，关于同步的研究还是一个单独分离出来的分支，生物学家、物理学家、数学家、天文学家、工程师和社会学家分别在各自的领域耕耘，通过看似独立的方法进行探索。渐渐地，同步科学开始整合从各学科中得到的见解，这一新科学的核心是对“耦合振子”展开研究。萤火虫、行星或起搏细胞群体，都是振子的集合。所谓振子，是指自动循环的实体以或长或短的规律性时间间隔一次次重复自己的行为，例如萤火虫的闪光、行星的公转以及起搏细胞的发射。对于两个或两个以上的振子，如果某些物理或化学过程使得它们相互影响，那么则称之为“耦合振子”。萤火虫用光交流，行星通过万有引力相互作用，心脏细胞来回传递电流，正如这些例子所暗示的，大自然在利用各种可能的渠道，使得它的振子相互交流。交流的结果经常是同步，所有振子开始整齐划一地运动。

我们这些在这个新兴领域中工作的人，经常会问这样一些问题：耦合振子究竟如何自发同步？在什么条件下同步？什么时候同步不可能出现，什么时候又不可避免？当失去同步时，会出现什么样的组织形式？我们正在努力学习的一切，其实际意义是什么？

这样的问题让我沉迷了20多年，最初，我是哈佛大学的一名研究生，后来成为麻省理工学院和康奈尔大学的应用数学教授。现在，我在康奈尔大学任教，从事混沌理论和复杂性理论的研究。我对于周期的兴趣甚至要追溯到更早的时候，可以说是源自我上高中一年级时的一次顿悟。在《科学Ⅰ》课程最初的一个实验中，迪柯西奥先生发给我们每人一块秒表和一个玩具钟摆。钟摆是一个复杂的带伸缩臂的小型装置，可以以离散的步数伸缩，类似于在海盗电影里看到的那种古老的望远镜。我们的任务是测量钟摆的周期，即它摆动一个来回花费的时长，分析摆动周期与摆长之间的关系：更长的摆臂会使得它摆动得更快还是更慢，抑或是保持不变？为了找出结果，我们将钟摆调整到了最短长度，测量它的周期，并将结果绘制在坐标纸上。然后我们又逐步增加摆长，重复实验，每次只将伸缩臂伸长一个格子。当我在坐标纸上画出第四个和第五个点时，我突然被它吸引住了，一种模式正在涌现：这些点落在了一条抛物线上。我在《代数Ⅱ》课程中学习的这些抛物线正在秘密地支配这些钟摆的运动。我感觉自己被一种惊奇和恐惧笼罩了，那一刻的启示，让我开始意识到一个隐藏的美丽世界，一个只有通过数学才能看到的世界。那一刻的感觉，我再未遇到过。

30多年后，我仍然迷恋自然中的数学，特别是物体的周期运动，例如钟摆的周期摆动。但我不再研究单一的周期，我的探索将我带到了对许多周期性物体同时工作，即对耦合振子的研究中。我开始制作简单的模型，以代替真实的萤火虫或超导体那令人迷惑的复杂性和丰富性，用理想化的方程组来模拟它们的群体行为。我尝试用微积分和计算机观察秩序如何从混沌中涌现。这些谜团的有趣之处是，它们位于我们已知的数学的边缘。研究两个耦合振子没有什么挑战性，早在20世纪50年代，人们就理解了它们的运动。但对于涉及成百上千个振子的问题，我们仍一无所知。具有如此多变量的系统的非线性动力学超出了我们的认知范围。即使在超级计算机的帮助下，巨大的振子系统的集体行为也仍然是一个令人敬畏的未知领域。

然而，在过去的10多年中，通过全世界的数学家和物理学家的共同努力，一个特殊的案例终于被解决了，由此打开了更深入了解同步的一扇大门。如果我们假设，一个给定群体中的所有振子几乎相同，而且彼此间的相互耦合也完全相同，那么其动力学特性在数学上就变得容易处理了。本书的第一部分和第二部分讲述了我和同事是如何解决这类理论问题的，以及他们的解决方案对于现实世界中的同步意味着什么：第一部分针对的是有生命的振子，如细胞、动物和人类；第二部分涉及无生命的振子，如钟摆、行星、激光和电子；第三部分涉及前沿的同步科学。我们抛开了先前的简化假设，因为这个领域现在仍有很多地方是未知的，包括振子被混沌系统取代时的情况，或振子以低对称方式耦合时的情况——它们的邻居位于三维空间中，或位于超越地形限制的复杂网络中。

同步是一次尝试，我们希望将跨越学科、大洲和几个世纪的科学家所构造的庞大知识体系融合到这个学科中。理解同步所需要的科学知识借鉴了一些20世纪最伟大的思想家的研究成果，这些名字中的许多都是家喻户晓的，其余的也应算作此类，他们是物理学家阿尔伯特·爱因斯坦、理查德·费曼、布赖恩·约瑟夫森（Brian Josephson）、藏本由纪（Yoshiki Kuramoto）；数学家诺伯特·维纳（Norbert Wiener）、保罗·厄尔多斯（Paul Erdös）；社会心理学家斯坦利·米尔格拉姆（Stanley Milgram）；化学家鲍里斯·别洛索夫（Boris Belousov）；混沌理论家爱德华·洛伦茨（Edward Lorenz）；生物学家查尔斯·切斯勒（Charles Czeisler）、阿瑟·温弗里（Arthur Winfree）。

我个人的研究贯穿整个故事的始末，这不是因为我对自己的历史地位有着任何幻想，而是因为我想让读者感受到，在科学的战壕中工作是怎样一种体验——曲折的探索、碰壁的苦楚、新发现的兴奋、从学生到同事再到导师的蜕变。为了向广大读者传达数学的魅力，我完全回避了方程式，转而用日常生活中的比喻和图像来阐述核心思想。

我希望，当你看到自然世界中同步的惊人多样性，以及如何用数学的力量来解释它时，我们可以一同分享其中的兴奋。同步既古怪又美丽。说它古怪，是因为它似乎违背物理学定律，但事实上同步经常以稀奇古怪的方式依赖物理学定律。说它美丽，是因为它奉献了一场宇宙的芭蕾，表演的舞台从我们的身体蔓延到整个宇宙。同样，它也非常重要。我们对同步的基本理解已经催生了诸多科技奇迹，例如全球定位系统、激光，以及世界上最灵敏的探测器。医生无须手术就可借助探测器确定癫痫患者大脑中的病变组织，工程师用它来检查飞机机翼上的微小裂缝，地质学家则用它来定位深埋地下的石油。通过研究同步消失时的现象，数学家正在帮助心脏病专家追踪肌纤维震颤的原因。要知道，每年都有成千上万人死于这种现象引发的心律失常，它发病突然，没有征兆，即使没有心脏病病史的人也会患病。这只是我们今天所能做到的一部分例子，都源自我们日益增长，但仍十分基础的同步知识。

在职业生涯中有机会与如此多才华横溢、富有创造力的天才合作，我感到非常幸运。这里记述的研究是我和他们共同努力的结果。他们是我的导师阿瑟·温弗里、理查德·克罗瑙尔（Richard Kronauer）、查尔斯·切斯勒、南希·科佩尔（Nancy Kopell），我的同事伦尼·米洛罗（Rennie Mirollo）、保罗·马修斯（Paul Matthews）、科特·威森弗尔德（Kurt Wiesenfeld）、吉姆·斯威夫特（Jim Swift）、凯文·科莫（Kevin Cuomo）、奥本海姆（Al Oppenheim）、蒂姆·福里斯特（Tim Forrest）；以及我先前的同事渡边真也（Shinya Watanabe）、邓肯·瓦茨（Duncan Watts）。感谢如此了不起的同伴，伴我走过探索同步的荒野之旅。

其他一些科学家也通过各种方式帮我改进了这本书。杰克·考恩（Jack Cowan）分享了他于20世纪50年代末在麻省理工学院对诺伯特·维纳的深情回忆，并讲述了双凹陷谱线背后的故事，这从未提过但很人性化的故事深深启发了我。卢·佩科拉（Lou Pecora）提供了极为详尽的关于他和汤姆·卡罗尔（Tom Carroll）发现混沌同步的记载。吉姆·索普（Jim Thorp）用他的智慧和幽默向我解答了关于电网的问题。锡德里克·朗伯瑞特（Cedric Langbort）友好地为我翻译了惠更斯关于钟摆同步的信件。乔·伯恩斯（Joe Burns）、埃里克·赫佐格（Erik Herzog）、克里斯·洛布（Chris Lobb）、查利·马库斯（Charlie Marcus）、拉贾什·罗伊（Raj Roy）、乔·高桥（Joe Takahashi）对早期的书稿提出了富有深刻见解的意见。玛吉·纳尔逊（Margy Nelson）用她的科学判断与艺术天赋的独特融合为此书制作了插图。我要特别感谢的是阿瑟·温弗里，感谢他富有感染性的快乐情绪以及他对同步的精通，总之，感谢他在最困难的情况下，凭借英勇、惊人的慷慨，努力地从头到尾通读了书稿。

感谢琳迪·威廉斯（Lindy Williams）、史蒂芬·田（Stephen Tien）、赫伯特·惠（Herbert Hui）、汤姆·季洛维奇（Tom Gilovich），以及所有在早期阶段深受我打扰的朋友们；感谢卡伦·达什夫·季洛维奇（Karen Dashiff Gilovich）帮我树立了信心；还有头脑风暴会议中非常有想法的同伴艾伦·阿尔达（Alan Alda），他教给了我许多获得创意的方法。虽然我并未遵循他关于如何一气呵成地完成初稿的最好建议，或许下次我会考虑。

感谢我在康奈尔大学的同事，特别是理查德·兰德（Richard Rand），还有我的系主任蒂姆·希利（Tim Healey），感谢他们在我写这本书的过程中提供的鼓励和支持，以及当我心不在焉时对我的宽容。感谢大家的理解。

我的出版经纪人卡婷卡·马特森（Katinka Matson）和约翰·布罗克曼（John Brockman）时时处处都给予了我热情的帮助。约翰在听了我的描述后，一秒钟就想出了书名。卡婷卡在写作过程中的各方面都给了我温和的指导，从方案制定一直到出版。

一名写作者不会遇见比亥伯龙图书出版团队再棒的出版人了。特别是，助理编辑基拉·赫福德（Kiera Hepford）总是亲切、乐观、高效。艺术总监菲尔·罗斯（Phil Rose）捕捉到了同步难忘而又美丽的精髓，设计了本书英文版本的封面。特别感谢我的编辑威尔·施瓦尔贝（Will Schwalbe），他目光如炬，品位优雅，语感超群，对此书做了多方面的改进，在我最需要鼓励的时候，他对此书永不消退的热情始终激励着我。

感谢家人对我的爱和鼓励，特别是我的父亲，他总是在我的身旁，静静地鼓励、鞭策着我。我的岳母令人难以置信的无私，让我可以长时间工作，无须对忽视我的两个宝贝女儿感到内疚。感谢我的女儿们，蹒跚学步的莉亚把我重新带回了现实，乔安娜出生得恰逢其时。我的妻子卡萝尔给了我无微不至的爱——倾听、阅读、安慰、宽恕，教给我如何创造，如何放松，如何忘记。她慷慨的精神给了我自由的空间，让我肆意徜徉在魂牵梦绕的科学世界中。

最后，感谢所有美国公民，感谢他们的信任和远见卓识。他们通过像国家科学基金会这样的机构支持美国的科研单位，这给了我们可以自由追寻想象力的机会。

我希望读者可以像我们一样，在我们的探索中享受到同样的快乐。

目 录

前言　聆听同步的循环之声

第一部分　思考同步

01　萤火虫闪烁：同步是必然发生的

02　脑电波研究：同步发生的条件

03　睡眠周期：同步与非同步的斗争

第二部分　发现同步

04　苍茫的宇宙：同步无处不在

05　量子的合唱：同步无孔不入

06　晃动的千禧桥：中间物的弱耦合

第三部分　探索同步

07　混沌：蝴蝶效应

08　三维中的同步

09　小世界网络：深层的无尺度结构

10　人类社会：从流行到意识产生

后记

译者后记

01
萤火虫闪烁：同步是必然发生的

20多年前，我认为自己发现了萤火虫同步闪烁的现象。我很难相信自己的眼睛，在我看来，这种发生在昆虫之中的现象必然是违背一切自然规律的。

上述文字摘自菲利普·劳伦特（Philip Laurent）于1917年发表在《科学》杂志上的文章，他参加了关于这个令人费解的现象的讨论。300年来，到东南亚旅行的西方游客返回之后都会讲述这样的故事：不计其数的萤火虫全都亮灭一致地闪烁着，绵延于河岸两旁数公里之长。这些趣闻总会受到旅行作家们的青睐，被冠以浪漫色彩，引发广泛质疑。成千上万只萤火虫如何能够在如此巨大的规模中精确地策划它们的闪光，使之成为和谐的交响乐？现在，劳伦特确信自己已经解开了这个谜题：“表面现象是由我眼睑的抽搐或突然的上下眨动引起的，与昆虫完全无关。”

1915—1935年间，《科学》杂志又发表了20篇关于这种神秘的集体同步现象的论文。有些论文认为这种同步仅仅是一个稍纵即逝的巧合，有些则把它归因于特殊的环境条件：独特的湿度、平静的天气，以及黑暗的环境，等等。有些还相信其中一定有一名指挥者：有一只萤火虫在向群体中的所有成员发送指示信号。正如乔治·赫德森（George Hudson）在1918年写道：“如果想要一群人以如此完美的节奏合唱或合奏，不仅需要一名指挥者，而且必须经过训练去遵守他的指挥……这些昆虫天生就拥有比人类完美得多的节奏感吗？”博物学家休·史密斯（Hugh Smith）1923—1934年间居住在泰国，曾无数次目睹了这种同步现象，他愤然写道：“一些已发表的解释比这一现象本身更为不可思议。”但他也承认自己无法给出任何解释。

几十年来，没有人能提出一个合理的理论。1961年，乔伊·亚当森（Joy Adamson）在她的书《生而自由》（Born Free）的续篇中，颇为感慨地描述了她在非洲看到的相同现象，这是这种现象首次在非洲大陆被发现。

这是一条巨大的光带，大约有3米宽，由成千上万只萤火虫组成，它们绿色的磷光在齐肩高的草丛上架起了一座光桥……这些微小的生物体组成的荧光带精确地同步闪亮和熄灭。人们疑惑于它们是以什么样的通信方式协调闪光的，仿佛被一台机械装置控制一般。

到了20世纪60年代末，萤火虫同步闪光的谜题开始浮现出些许头绪。几乎所有人都错过了一条十分明显的线索，即同步的萤火虫不仅一齐闪光，而且是以恒定的速率有节律地闪光，即使在彼此分离时，它们仍然保持着稳定的节奏。这意味着每一只萤火虫都必须有自己掌控时间的方法，即存在某种内部时钟。这个假想的振子在解剖学上仍来源不明，但被认为系于萤火虫微小的大脑中某处的一簇神经元。与人类心脏中的起搏细胞很像，振子重复地发射，产生有节律的电信号，传送到萤火虫尾部的发光器，最终触发周期性的闪光。

另一条线索来自生物学家约翰·巴克（John Buck）的研究成果，他对于萤火虫同步性的研究比其他人都更为科学可信。20世纪60年代中期，巴克和妻子伊丽莎白第一次去泰国，希望看到萤火虫同步闪光的壮观景象。在一次非正式但十分富于启发的实验中，他们沿着曼谷附近的潮汐河流捕捉了许多萤火虫，将它们放飞到黑暗的酒店房间中。起初，这些萤火虫焦急地飞来飞去，然后逐渐降落到墙壁和天花板上，彼此分开至少10厘米远。刚开始，它们的闪光毫无条理，在巴克满怀惊奇地默默注视之下，两只、三只开始一齐闪光……零星的同步继续出现并发展，直到多达10余只萤火虫完全同步地闪亮和熄灭。

这些观测表明，萤火虫必须通过某种方式调整自己的节奏，以响应其他萤火虫的闪光。为了直接验证这一假设，巴克和同事们进行了实验室研究，他们对一只萤火虫施以闪烁的人造光（模仿另一只萤火虫的闪光），然后观察它的反应。结果发现，单独的一只萤火虫会以持续、可预测的方式改变其随后的闪烁时间，改变的大小和方向取决于接收到刺激信号时的周期位置。对于某些个体而言，刺激信号总是超前于萤火虫的节奏，仿佛要调快它的时钟；对于其他个体而言，时钟不是延迟就是提前，这取决于萤火虫是即将闪光，或是处于两次闪光之间的间隔，等等。

以上两条线索表明：萤火虫的闪光节奏是被一个内部可重置的振子控制的。同时，这也暗示了一种可能的同步机制：在一群闪光的萤火虫中，每一只都在不停地发送和接收信号，并依次改变其他萤火虫的节奏，同时也被其他萤火虫的节奏改变。一阵喧嚣之后，同步不知何故就自发出现了。

由此我们想到了一种解释，这种解释在数十年前似乎还是不可想象的——萤火虫是自组织的。它们不需要指挥家，也不受天气的影响，同步是在彼此的暗示中出现的，同样，没有指挥者的管弦乐队也是通过相同的方式保持完美的节奏的。此处违反直觉的是，虫子不需要具有智能。它们具备所有同步必需的要素：每只萤火虫都有一个振子，这是一个小节拍器，它的时间可以自动调整，以回应其他萤火虫的闪烁。仅此而已。

但有一点，这种方案的有效性并不明显。完美的同步能够从成千上万个无意识的节拍器杂乱无章的喧嚣中产生吗？1989年，我和同事伦尼·米洛罗证明，这个问题的答案是肯定的。这种方案不仅有效，而且在特定条件下总是有效。

◎　　◎　　◎

出于我们尚未了解的原因，宇宙中最普遍的一个规律就是不断趋于同步，从原子到动物，从人类到星球，皆是如此。女性和其他同性在一起相处久了之后，经常发现她们的生理周期逐渐趋于同一天。从不同方向游向卵子的精子，它们的尾巴摆动方式是一致的，这也是一种原始的同步现象。有时，同步可能是有害的，如癫痫病的病因就是数百万个脑细胞异常同步放电，从而引发的节奏性痉挛，最终导致癫痫病发作。甚至非生命体中也会出现同步。激光束惊人的相干性源于数以万亿计的原子一齐脉动，每个原子都发射出相同相位和频率的光子。在数千年的过程中，潮汐运动的力量将月球牢牢锁定在它的轨道上运行。如今，月球的自转速度与围绕地球公转的速度精确地一致，这也是为什么我们只能看到月球的一面，却从来看不到它黑暗的另一面。

从表面上看，这些现象似乎毫不相关。毕竟，驱动脑细胞同步和激光同步的力量完全无关。但从更深的层次看，它们之间确实存在着关联，这种关联超越了任何特殊机制的细节。这种关联是数学上的，所有例子都是同一个数学题目的变化，这个数学题目就是自组织，即秩序从混沌之中的自发涌现。通过研究简单的萤火虫模型以及其他自组织系统，科学家们开始揭开宇宙中这种眼花缭乱的秩序的谜底。

我和伦尼探索的自组织问题，最初是由纽约大学新闻学院的应用数学家查利·佩斯金（Charlie Peskin）提出的。佩斯金是世界上最富有创造性的数学生物学家之一。他谈吐优雅，留着修剪整齐的胡子，脸上总是带着轻松的笑容。佩斯金喜欢用数学和计算机探索生理奥秘，如人体的分子、组织、器官如何实现其精致的功能，视网膜如何探测到最微弱的光线，分子动力发动机如何产生肌肉力量。佩斯金多才多艺，愿意尝试探索一切需要探求真相的事物。如果他需要的数学不存在，他就自己发明；如果该问题需要超级计算机，他就自己编程；如果现有的程序太慢，他就设计更快的。

甚至佩斯金的数学风格也是灵活务实的。他最为著名的成就是心脏内血液流动的三维模型，模型中有逼真的解剖、瓣膜及纤维结构。对于复杂问题，他结合了用超级计算机模拟的蛮力破解方法，以及完全原创的巧妙的数值方法。然而，对于其他问题，他信奉爱因斯坦的名言：“一切都应该尽可能地简单，但不要太简单。”在面对同步问题时，他选择了一个极简的方法，忽略掉除真正重要的因素以外的所有生物细节。正是这种极简主义，让他构想了心脏起搏细胞如何自同步的示意模型。

心脏中的自然起搏器是进化的奇迹，也许是有史以来最令人印象深刻的振子。有近一万个细胞组成了窦房结，它的功能是产生电节律，控制心脏其余部分的跳动，它必须每分每秒都在稳定地工作。在人的一生中，它大概要跳动30亿次。与心脏中的大多数细胞不同，起搏细胞可以自动振荡：将它们单独放在培养皿中，它们的电压会以规则的节律升降。

以上内容引发的问题是：如果一个起搏细胞就可以完成这项工作的话，那么我们为何还需要如此巨量的细胞？或许是因为一个细胞不够稳定，可能出现故障或是死亡。所以，进化产生了一个更可靠、更民主的系统，由数千个细胞共同确立速率。当然，民主制也有着自己的问题：细胞必须通过某种方式协调它们的发射；如果它们发送相互冲突的信号，心跳就会紊乱。这也是困扰佩斯金的问题：这些细胞在没有指挥者和外界命令的情况下，是如何实现同步的？

这个问题与先前的萤火虫问题十分相似，两者都涉及大量有节律的个体，它们会触发脉冲信号来影响群体中其他个体的节律，根据特定的规则提高或降低它们的速度。两种情况都会不可避免地出现同步，我们面临的挑战便是解释这种现象的原因。

1975年，佩斯金基于简化模型的框架开始研究这个问题。每个起搏细胞都被抽象为一个振荡电路，相当于一个电容与一个电阻并联所组成的RC振荡电路（见图1-1）。（电容器是储存电荷的装置，在这里扮演类似于细胞膜的角色；电阻为电流流出细胞提供了通道，类似于细胞中所谓的泄露通道。）持续输入的电流使电容充电，电压稳步上升。同时，随着电压的上升，通过电阻泄漏的电流增加，因此电压升高的速率放缓。当电压达到阈值的时候，电容放电，电压立即下降到零。我们用这种模式模拟心脏起搏细胞的发射，以及恢复到零电位的过程。然后电压开始再次上升，进入一个新的周期。整个周期分为两个部分：先是一条平缓上升的充电曲线（一个像半拱的图形，上升但是向下弯曲），随后垂直下降到零位。

图1-1　起搏细胞振荡电路图

接下来，佩斯金将心脏起搏器理想化为海量的这种“数学振子”的集合。为简化起见，他假定所有的振子都是相同的（因此全都遵循相同的充电曲线），每个振子和其他振子的耦合强度也相同，只有当振子发射的时候才互相影响。具体而言，当一个振子发射的时候，它会立即刺激其他振子的电压提高一个固定的量，如果有细胞的电压超过阈值便立刻发射。

对这个问题如此困惑的原因是：在任意时刻，不同的振子通常位于周期内的不同阶段，有的处于发射的边缘，有的处于充电曲线的中间部位，还有的仍在零电位上。当领先的振子到达阈值的时候，它会发射并刺激其他振子上升到充电曲线上的不同位置。发射的效应是混合的：接近阈值的振子被刺激后会更接近发射的振子，但那些接近零电位的振子被刺激后会更不同相。换句话说，一个振子的发射对于某些振子而言起到了同步的效果，对其他振子而言却是破坏同步的。而只借助常识，我们无法理解所有这些重新调整的长期结果。

与上述过程相似的更形象的图景是：将单个细胞类比为装满水的抽水马桶水箱。当水注入的时候，水箱中的水位就像细胞的电压一样稳步上升。假设当水位升到一定高度时，马桶就会自动冲水。突然的放水使水位瞬间回落到零位，此时水箱再次注水，从而形成一种自发的振荡。为了完善这个比喻，我们同样需要假设，水箱稍微有些漏水。水从水箱底部的一个小孔排出，水箱里的水越多，漏水速度越快，这意味着水位上升的速度越来越慢。这种泄露对振荡本身并不重要，没有它，装置依然可以运转。但事实证明，它对于多个振子的同步至关重要。最后，假设有一万个这样振荡的马桶组成的队列，我们通过管道系统把每个水箱都连接到一起，当任意一个马桶冲水的时候，就会同等地提高其余所有水箱的水位。如果上升结果使得任何水箱的水位超过了阈值，该水箱就会立刻冲水。

这是一个古怪的景象，一种水管工版本的鲁布·戈德堡机械(1)，于是问题变成了：这奇妙的装置一旦启动后会如何？是永远混乱下去？还是分裂成为对立的派系，轮流排水？

佩斯金推测，系统总会同步：无论它如何开始，结果都是所有振子一齐发射。此外，他还猜想，即使振子并不完全相同，同步也会发生。但当他试图证明自己的猜想时，却遇到了技术上的障碍。并没有现成的数学方法可以处理由许多振子通过瞬时、不连续的脉冲耦合组成的庞大系统。所以他又回过头来研究最简单的情况：两个完全相同的振子的耦合。即便只有两个振子，在数学上也非常棘手。于是他进一步限制了这个问题，只允许极小的相互刺激，以及极小的漏电流流过电阻。现在问题变得简单了，在这种特殊情况下，佩斯金证明了同步发生的必然性。

佩斯金的证明是基于法国数学家、混沌理论的创始人亨利·庞加莱（Henri Poincaré）提出的一个想法。庞加莱的想法主要基于频闪摄影术的数学等效。具体来说就是，取两个完全相同的振子A和B，每当A发射的时候，就对它们拍摄快照，记录它们的变化。这一系列快照会是什么样子？振子A刚刚发射，所以A总是出现在零电位。相比之下，B的电压随着每一张照片变化。通过求解这个模型的方程，佩斯金发现了一个明确但混乱的关于B的电压随照片变化的方程。该方程表明，如果电压低于某一临界值，它会稳步下降到零电位，如果高于这一临界值，它则会稳步上升到阈值。不论发生何种情况，B最终都会与A同步。有一个例外情况是，如果B的电压刚好等于临界值，它便既不上升也不下降，停留在临界值处，两个振子的相位便相差半个周期。但这种平衡是不稳定的，即使是最轻微的扰动也会使系统趋于同步。

尽管佩斯金成功分析了双振子的情况，但是对于任意数量的振子的情况，在那之后15年内都未能得到证明。在此期间，佩斯金的成果并没有受到关注。它被深埋在一本不出名的专著中——这基本上是他讲稿的一个影印集，只有向他所在的部门申请才能借阅。

◎　　◎　　◎

1989的一天，我正在翻阅一本叫作《生物时间的几何学》（Geometry of Biological Time）的书，该书的作者是理论生物学家，我心目中的英雄——阿瑟·温弗里。当时我在哈佛大学应用数学系做博士后，正在渴求一个新的研究课题。虽然在过去的8年中，我一直在钻研温弗里的书，但依然觉得很有兴味，从中可以获得源源不断的新思想与新灵感。它不仅是对先前生物振子研究的总结，也是猎人的狩猎图，是通往未来发现的向导。几乎在每一页上，温弗里都指出了对于那些富有价值、悬而未决的问题的解决方法，还有成熟问题的内幕消息。

其中便有一个我先前未曾留意的启示：书中有一段记述了振子通过有节律的脉冲进行通信，温弗里提到了佩斯金在他的专著中提出的心脏起搏细胞模型。虽然佩斯金已经成功分析了两个完全相同的振子的情况，但是温弗里写到，“多振子问题还有待解决”。

这句话激起了我的好奇心。对于这个已经存在多时的基本谜题，还有待解决的是什么？我当时从未听说过佩斯金的工作，但它听上去非同寻常。从未有人试图解决多振子“脉冲耦合”的数学问题，在这个问题中，振子的相互作用是通过瞬时的脉冲信号促成的。这是生物数学文献中的一个明显的空白，同时也是一个尴尬的问题，因为生物振子通过这种方式相互作用的例子极为普遍，萤火虫闪光、蟋蟀鸣叫、神经元发射电信号……全都是利用瞬时脉冲来通信的。然而，理论家出于数学上的原因常常回避脉冲耦合问题。脉冲会使得变量发生不连续的跳变，而利用微积分处理跳变比较困难，它最适合用于处理平滑变化的过程。但是，佩斯金却发现了一种分析两个不断重复互相作用的振子的方法。他是如何做到的？是什么阻碍了他解决多振子问题？

我们的图书馆中没有购置佩斯金的专著，他友好地将相关文献寄给了我。他的分析全面、清晰、直接，我很快就了解了为什么他停留在了双振子问题上：尽管他的分析十分简洁，但方程已经变得十分庞大。3个振子的情况更糟，对于n个振子则完全不可解。我也不知该如何展开他的论点或绕过这个难题。

为了更好地理解和体会这个问题的困难程度，我在计算机上用两种不同的方式运行了这个问题。第一种方法是向前再进一步，尝试三振子问题。我模仿佩斯金的策略，设置极小的刺激和漏电流，让计算机处理所有的代数问题。即使这样，得出的方程仍然十分恐怖——有些写满了好几页，在计算机的帮助下，我将它们简化到了可理解的程度。结果表明，对于3个振子的情况，佩斯金的推测可能是正确的。同时，结果也表明了这不是正确的处理方法。即便有计算机的帮助，这种代数问题也只会让人望而却步。

第二种方法是模拟。脱除公式，只是让计算机一步步推进系统的演化，然后观察会发生什么。模拟无法代替数学，因为它无法给出证明，但如果佩斯金的推测是错误的，这种方法则会揭露出反例，从而为我们节约大量时间。这种证据在数学上非常有价值。当你试图证明一件事的时候，它会帮助你了解事情正确与否，给予你坚持寻找严格证明的信心。

编程仿真很容易。当一个振子发射的时候，它会刺激其他所有振子的电压上升一个固定的量。如果任何被刺激的振子的电压超过了阈值，它就会发射，同样也会刺激其他振子。当振子处于发射间隔内的时候，使用佩斯金的公式，所有振子的电压都会朝向阈值增加。

我尝试了100个完全相同的振子的情形。它们的初始电压随机分布在零电位和阈值之间，我将它们描绘成一群朝向阈值运动的点，这些点沿着它们共同的拱形充电曲线上升（横坐标为时间，纵坐标为电压）。即便在计算机图形技术的帮助下，我仍无法在它们的集体运动中发现某种模式，只有一片喧嚣的混乱。

此时的问题在于信息太多。所以我开始认识到佩斯金的频闪法的另一个优势：它不仅简化了分析，而且是使系统的演化可视化的最佳方法。除了恰好在某一特定的振子发射的时刻，所有的振子都是不可见的。在这些时刻，一道假想的频闪光照亮了其余所有振子，显示出了它们的瞬时电压值。随后，整个系统陷于黑暗，直到那个特定的振子下次发射。佩斯金的模型具有一种特性，即振子是轮流发射的，没有哪个振子会插队，所以在下一次闪光之前，其他99个振子会在黑暗中发射。

在计算机上观察可以发现，这些计算十分迅速，以至于屏幕出现了闪烁，99个振子沿着充电曲线上蹿下跳，每次闪光时它们的位置都会发生改变。这种模式是不会错的。点聚集在一起，形成零星的同步，然后合并成为更大规模的同步，就像雨滴在玻璃窗上合流一样。

系统自发趋于同步，这简直不可思议。这是对菲利普·劳伦特和所有坚决认为萤火虫的同步在理论上不可能，并认为这种事情“必然是违背一切自然规律”的怀疑论者们的公然反对。计算机显示了一群没有意识的微小振子可以自动趋于同步，这种结果简直不可思议。人们不禁会认为这些振子是在有意识地配合，努力趋于有序，但它们并非如此。每个振子只是机械地响应其他振子发射的脉冲，完全没有目标。

为了确认我的第一次尝试并非侥幸，我重复模拟了很多次，每次都是随机的初始条件，以及不同的振子数目，但每次都会出现同步。佩斯金的猜想似乎是正确的，我现在面临的挑战是去证明它。只有确凿的证据才能证明同步是必然的，这种证明方法是计算机无法做到的。最好的证明将澄清为什么同步是必然出现的。我请教了我的朋友，波士顿大学的数学家伦尼·米洛罗。

◎　　◎　　◎

我和伦尼已经相识10年了，在哈佛大学读研究生的时候，我们周末经常一起出去玩，凌晨两点一边用油腻的勺子吃炸薯条，一边以大致相同的观点谈论数学和女人。但那时我们从未一起工作过。他的研究方向是纯数学，而我是应用数学。我们可以互相理解，但并不能完全理解对方。

读博期间，伦尼研究了一个非常抽象的问题，希望以这一课题完成博士论文。他的直觉告诉自己某个理论一定是正确的，于是他花了三年时间试图证明它。但有一天，他意识到这个理论是错误的，因为他发现了一个反例可以摧毁一切。一切都已无法挽救。然而，他并没有沮丧，反而切换到数学领域的一个新分支，解决了其中的一个关键问题，完成了论文，所有这一切只用了一年时间。

1987年前后，我和伦尼开始一起工作。我们二人优势互补，通常由我提出问题，解释其科学背景，进行计算机模拟，提出直观论证。而伦尼会思考解决这个问题的策略，然后找到证明这一理论的方法。

当我告诉伦尼我对佩斯金的模型进行的计算机实验时，他最初很好奇。在理解了这个问题后，他就变得跃跃欲试起来，就像一位等待走上拳台的拳击手。他给了我几分钟时间来总结我所做的工作，但没过多久，他就坚持要用自己的方法来观察它。

伦尼毫不留情地简化了模型。对于佩斯金的原始电路模型中原有的电容、电阻、电压这些细节，他完全没有耐心。他猜测，这个模型唯一关键的特征是：每个振子都遵循一个缓慢上升的电压曲线，直至升到阈值，所以他从一开始就利用了这一曲线。他抛弃了电路，取而代之的是一个抽象的、类似于电压的变量，这个变量反复上升到阈值、发射，然后复位。然后他假想了n个完全相同的这种变量的集合，各个变量都像以前一样相互作用：当一个振子发射的时候，会刺激其他振子上升一个固定的数值，达到阈值的就会发射，而后者上升的数值稍小些。

伦尼的简化模型不仅清晰（减少了大量代数运算），而且适用范围更广。它不再只是电压形式的电气学解释，我们现在可以将变量当作测量任何准备发射的振子，无论是心脏起搏细胞还是蟋蟀，也无论是神经元还是萤火虫。

我们能够证明，对于任意数量的振子，无论它们如何启动，这个广义的系统几乎总是会达到同步。证明中一个关键的要素是“吸收”的概念，简单来说就是，如果一个振子刺激另一个振子超越了阈值，它们便会永远保持同步，仿佛一个振子吸收了另一个。在我的计算机实验中，吸收是显而易见的，振子会像雨滴一样融合。它们同样也是不可逆的：一旦两个振子一起发射，它们就再也不会自己分开，因为它们的动力学特性完全相同。此外，它们与其他振子的耦合也完全相同，所以即使被其他振子刺激，它们也会保持同步，因为它们受到的刺激是相同的。因此，吸收的作用就像棘轮，总是会把系统推向同步。

这个证明的核心是，一系列的吸收把振子锁在不断增长的集群中，直到它们最终凝聚成一个庞大的群体。如果你不是数学家，你可能会好奇如何去证明这样的东西。系统有着无穷多的不同的启动方式，如何才能包含所有的可能性？如何确保会发生足够多次的吸收，使系统一路走向最终的同步？

我会在下文概述原因，不必太担心具体的细节。这里只是想要给你一种如何建立这种证明的意识。现在你所期待的证明并不像你经历过的高中几何证明那样，经常以一种机械、专业的方式出现。完成一个数学证明实际上是一个非常具有创造性的过程，充满了模糊的想法和图景，特别是在证明的初期，而那些严谨的证明后来才会出现。

◎　　◎　　◎

第一步是列出所有可能的起始状态。例如，让我们重新考虑两个振子的情形。由于有佩斯金的频闪方法，我们无须在所有时刻都观察振子，观察每个周期中的一个时刻就足矣。我们选择振子A发射后返回零位的时刻，那么振子B可能位于零电位与阈值之间的任意位置。将B的电压视为数轴上的一点，零电位是0，阈值是1，我们可以看到不同的可能性组成了一个线段。这个一维线段包括了系统所有可能的起始条件（因为我们知道A位于0点，刚刚释放回到零位；B的电压是唯一的变量，一定位于0和1之间的线段上的某个位置）。

3个振子创造了一个更大的概率空间。现在我们需要了解两个数字：鉴于A刚刚释放回到0点，我们仍然需要指定这一刻振子B和C的电压数值，我们要看到这两个概率的分布，即B和C电压的所有组合。与几何学上与一对数字对应相似，我们可以把它们看作二维空间中一个点的横纵坐标。

我们画出x、y平面，与高中数学类似，x轴为横坐标，代表A发射时B的电压。y轴为纵坐标，代表同一时刻C的电压。一对电压值便可表示为此平面中的一个点。

因为我们允许B和C的电压可以独立地在0和1之间自由变化（包含所有的可能性），相应的点便在一个正方形区域内移动。正如旋转蚀刻素描(2)上的两个旋钮在正方形屏幕上移动机械笔。

3个振子的结果是，所有可能的初始条件构成了一个正方形区域：一个轴表示B，另一个表示C。在这里，我们不需要为A建立一个轴，因为A的起始位置总是在0点，通过我们对系统的定义便可以知晓（见图1-2）。

图1-2　3个振子同步模拟示意

图1-2　3个振子同步模拟示意（续）

模式变得清晰了。随着振子的增加，我们需要增加更多的维度来说明所有的可能性。4个振子需要一个立方体来表示初始条件，5个振子则需要一个四维超立方体来表示，而n个振子则需要n–1维的超立方体来表示。这听起来令人难以置信，但如果你尝试去描绘它的话，它确实如此。但是在数学形式上，处理所有维度的方法都是一样的，并不存在新的困难。所以，我选择了继续关注3个振子的情形，它包含了所有的主要思想。

◎　　◎　　◎

下一步是将动力学状态（即系统随时间的演化）转化成为我们正在绘制的图形框架。我们的目标是预测系统在给定振子B和C的初始条件下，最终是否会同步。

你可以想象一下我们让系统运行后会发生什么。所有振子都朝向阈值上升，然后发射，最终回到零位；它们也同样会对其他振子的刺激做出反应。为了去除冗余的信息，我们再次利用频闪法，让系统在黑暗中运行，直到下一次振子A发射后回到零位，振子B和C做出反应。然后打开闪光灯，用照片记录下B和C的新位置。

在几何图形中看来，正方形中的旧点就像刚刚跳跃到了一个新点，即B和C更新后的电压。换句话讲，系统的动力学演化等同于一次转变，即把正方形中任意给定的点转移到新的一点，转移的依据是一些复杂的规则，取决于充电曲线的形状和刺激的大小。

这个过程是可以重复的，新点可以视为起始点，然后通过变换转移到其他位置，它一次次地重复，蹦蹦跳跳地从正方形中的一个点跳跃到另一个点。如果系统注定会同步，那么这个点最终会跳跃到正方形的左下角，即电压坐标为（0，0）的点，这意味着两个振子同时到达了零电位。为什么会是这个角落？因为这是振子A的位置。根据我们对频闪的定义，A刚刚发射并复位，所以它的电压为0。在同步状态下，其他两个振子的电压也是0。

原则上，针对每个初始点的情况，都可以计算出最终结果。如果所有振子最终都同步发射，那么我们就把这个初始点称为“好点”，否则就是“坏点”。我和伦尼从未找到一种方法来准确判断每个点的好坏，但我们设法证明了几乎所有的点都是好点。坏点虽然存在，但是数量很少而且十分稀疏，把它们集中起来并不占面积。换言之，如果你随机选取一个点，完全不可能选到坏点。

这听起来或许很荒谬：如果坏点存在，你或许认为运气总会让我选到它，但事实上并不会发生。这就像往圆靶上掷飞镖，并要求它精确地落在两个分数之间的分界线上，这已经非常不可能了，而现在我们知道分界线没有宽度（就像要求它没有面积一样），这时你就可以明白为什么随机的投掷永远不会满足要求了。

这是伦尼对于坏点的看法，虽然我们对好点更感兴趣。他的策略很容易让人联想到艺术设计中的负空间概念，即想要了解一个物体就要去了解物体周围的空间，特别是他找到了一种方法可以证明坏点不占面积。

为了表现出论证的风格，我们可以专注于坏点中的坏点，我将这些点称为“极坏点”。这些是抵抗同步趋势最强烈的点，它们从未经历过吸收。而当系统从极坏点启动的时候，没有任何一对振子会同步，更别说整个群体了。

为了了解为什么极坏点不占面积，我们把它们看成一个集合，进而检验当我们把变换应用到该集合中的所有点时，会发生什么。每个极坏点都会跳到其他地方，但变换后它仍是极坏点。这几乎是个无限循环：如果一点永远不会被吸收，那么经过一次变换后，它仍然永远不会被吸收。因此，新点还是极坏点。由于初始集合包括所有的极坏点（根据定义），所以这个新点必定潜伏在其中的某个地方，再从这里开始新的变换。

结论是，变换后的集合完全落在初始区域之内。更直观地讲，就像减肥广告中经常使用的“减肥前”和“减肥后”的对比照片那样。变换后的集合，即“减肥后”的照片，完全包含在了“减肥前”的照片之内，正如减肥广告所承诺的那样。

到目前为止，我们的论据中尚未使用任何关于充电曲线形状以及刺激大小的信息。当最终把这些细节考虑在内的时候，我们遇上了一个乍看上去似乎有些矛盾的问题，然而它实际上是论据的要点。我和伦尼能够证明“减肥前”和“减肥后”的变换有点像复印机的放大功能。任何一组点经过变换后都会放大，这与你选择的点的集合无关，就像与你放在复印机上的图片无关一样。而任何一组点的区域都会增大，特别是极坏点的集合也会放大。这里需要注意的是，这意味着极坏点的集合膨胀了，而不是收缩了，似乎与我们之前得出的结果相矛盾。更准确地说，变换后的极坏点的集合必须落在初始集合的内部，而现在它的范围却变大了，这似乎是不可能的。唯一让两个结论兼容的方法是：初始集合不占据任何区域，就像“减肥前”的照片是一根棍子的形象，这样就不存在矛盾了。当乘以一个大于1的数字时，它的面积仍然是0，所以变换后的集合可以位于初始区域内部。这正是我们想要展示的：极坏点不占据任何面积。所以如果你随机选取初始状态的话，那么你永远无法选取它们。这就是这个模型中同步一定会发生的原因。

同样的论据也适用于任意数量的振子，当有4个或更多的振子时，需要对模型进行轻微修改，用立方体或超立方体替换二维平面。在任何情况下，起始点位于坏点的概率总是0，因此佩斯金是正确的。在他的振子模型中，每个振子完全相同，并通过脉冲相互耦合，在这种情况下，每个振子最终都会一齐发射。

为了继续深入这个证明，我们发现佩斯金的漏电假设是非常关键的，否则从“减肥前”到“减肥后”的变换不会使区域扩大，而全部的论证都会崩溃。事实上，它必须崩溃，因为没有这个假设，这个理论就是错误的。如果充电曲线向上而不是向下弯曲，即如果电压加速上升到阈值，我们的模拟显示系统未必会同步，这些振子也可能会陷入一种随机混乱发射的模式。

当我第一次对我们的工作成果发表演讲的时候，这个微妙的漏电假设经常会让其他数学家犯错误。在我还未来得及解释的时候，一些质问者就会打断我，说这个理论毫无价值，振子毫无疑问会同步，因为它们完全相同且彼此之间的耦合完全一样。我还能期望什么呢？但这种反对太肤浅了，它忽略了充电曲线形状的微妙影响。只有当曲线朝正确的方向弯曲的时候，同步才必定会发生。用生物学术语讲，充电曲线的形状决定了刺激是在周期开始（靠近零电位）时更有效，还是在周期结束（靠近阈值）时更有效。当曲线如佩斯金的模型一样向下弯曲的时候，对于一个给定的刺激电压，曲线上靠近阈值的振子会移动更大的相位，从而确保系统走向同步。然而，想要了解其原因，就需要进行复杂的计算，而且一定不是显而易见的。

我们对佩斯金猜想的证明是首个对于多振子脉冲耦合问题的严格解释。然而，与真正的萤火虫或心脏起搏细胞相比，我们的模型是经过简化的。它假定，一个振子的发射总是刺激其他振子向阈值移动，从而超前它们的相位，而真正的生物振子通常会同时超前或延迟振子的相位。此外，泰国的萤火虫最为擅长同步，这个物种被称为屈翅萤（pteroptyx malaccae）。它们使用的是一种完全不同的策略，即通过不断调整自己的时钟频率，而不是调整相位，来响应接收到的闪光。换句话说，它们是在使自己的生物钟变快或变慢，而不是把分针前后拨动。通过进一步假设所有振子都是完全相同的，该模型忽略了任何真实的生物群体中所固有的遗传差异。最后，我们假定所有振子之间的相互影响是相同的，这对于心脏起搏细胞是一个粗略的近似假定，事实上，心脏起搏细胞主要影响的是与它邻近的细胞。鉴于分析中的各种局限，我们对它将要引起的反响毫无准备。

◎　　◎　　◎

接下来的短短几年中，共有百余篇关于脉冲耦合振子的论文发表，这些科学家遍及从神经生物学到地球物理学的各个学科。在神经生物学中，研究神经网络的理论家已经开始对流行方法感到不耐烦。流行方法主要通过描述神经元的平均发射速率（每秒钟的尖峰个数）来粗糙地描述神经元，而不是根据尖峰自身的实际时间。这个脉冲耦合振子的新框架完全符合时代的情形和需要。

由于科学社会学发展中的一次意外，或是因为一种神秘的时代思潮，在20世纪90年代早期，其他领域的科学家也在思考这些系统。例如，加州理工学院的著名生物物理学家约翰·霍普菲尔德（John Hopfield）指出了脉冲耦合神经元与地震之间的关系。在简化的地震模型中，由于地壳板块不断相互拉扯，产生的应力不断增大，直到到达一个阈值，导致板块突然滑动，以一次大爆发释放积蓄的能量。整个过程很容易让人联想起神经元电压的逐渐上升和突然发射。在地震模型中，一个板块的滑移可能足以引发其他板块的滑移，正如神经元放电可以引发大脑中其他神经元发射的连锁反应。这种级联的传播便会引发地震或癫痫发作。根据系统中其他要素的具体配置，结果可能会是轻微的隆隆声，也可能是一场大地震。

相同的数学结构也会出现在其他交互系统模型中，从森林大火到大规模物种灭绝。每一种情况下，都会有某一个体受到越来越大的压力，逐渐趋向阈值，然后突然释放，并把压力传给其他个体，这有可能引发多米诺骨牌效应。在20世纪90年代早期，具有这种特征的模型风行一时。对这种连锁反应的统计分析结果多数微不足道，但也有一些是灾难性的。物理学家伯·巴克（Per Bak）和他的合作者就对统计结果，连同他们所谓的自组织临界性一起进行了理论研究。

霍普菲尔德的见解是，自组织临界性可能与脉冲耦合振子系统的同步密切相关。这两个领域之间可能存在的诱人关系催生了探讨其各种可能性的数十篇论文，其中的插曲也体现了利用数学揭示貌似毫不相关的现象之下潜在的统一方法。

我们的工作成果还引起了媒体的关注，很大程度上是因为它与萤火虫相关，这勾起了人们对于童年时代的回忆——在夏日的夜晚把这些发光的昆虫捉进玻璃瓶中。拜新闻报道所赐，我于1992年收到了一封来自田纳西州诺克斯维尔市的一名叫琳恩·福斯特（Lynn Faust）的女士寄来的信。她准备用一种优雅谦逊的方式，打破已经持续了几十年的萤火虫同步的神话。她在信中写道：

我确信你意识到了这一点，但是以防万一，在田纳西州埃尔克蒙特附近的大雾山国家公园中也存在一种群体同步的萤火虫。这种萤火虫在6月中旬的每晚10点左右“开始活动”。它们先是熄灭6秒钟；然后便是完美的同步，数千只萤火虫在3秒内迅速闪亮6次，随后又是6秒的黑暗。

我们在埃尔克蒙特有一间小屋（公园管理人员定于1992年12月将其拆除），据我们所知，只有在这一小片区域，才有这种特殊类型的群体同步的萤火虫存在。

它们十分美丽，与那些黄昏后就开始闪烁的普通萤火虫非常不同。

从那间小屋旁越过小溪，山坡上面的萤火虫会比山下的稍微提前一些开始它们的闪光周期，所以光点看上去就像“倾泻而下的萤火虫瀑布”。

琳恩写信给公园管理人员，表示对他们收回埃尔克蒙特居民房屋的计划非常担忧，因为这可能会在科学家研究这些萤火虫之前破坏它们的栖息地。这个奇观在公园的其他地方都未曾有过，就算在一公里之外都没有，这向琳恩暗示了当地居民一定做了使这种奇观成为可能的事情。她猜测，其中的关键可能是刚被修剪过的草坪。50年来，埃尔克蒙特居民大约每两周修剪一次草坪，这使得萤火虫幼虫可以钻进短如苔藓一般的草丛过冬。同样在这片草丛中，它们春天孵化、夏天繁殖。总之琳恩认为，如果没有埃尔克蒙特周围的居民修剪草坪，这些萤火虫可能就会永远从科学界消失。

为了证实她的草坪假说，琳恩注意到，自己发现了萤火虫最集中的地方。正是靠近小屋并延伸到修剪过的草坪的区域……不再定期修剪草坪的莱姆·欧文比大叔家已经没有幼虫了。15年来，从迈纳·麦克金纳的小屋到杰克小溪之间的草坪已经被森林所取代，而此处的萤火虫数量明显减少。

琳恩同样担忧失去她的小屋和社区。琳恩一家人享受萤火虫的灯光表演已经40年了。每年6月，他们家三代人都会将自己裹在毯子里，静静地坐在黑暗的门廊上，等待节目的上演。

琳恩一家人如此熟悉的景象对于科学来讲是如此新奇。琳恩家后院的观测报告可能会成为西半球萤火虫同步研究的首个完备案例。自从20世纪初《科学》杂志上爆发争论之后的数十年中，人们都武断地相信这种奇迹永远不会在美国，只会出现在亚洲和非洲。我让琳恩与乔纳森·科普兰（Jonathan Copeland）取得了联系，乔纳森·科普兰是佐治亚南方大学附近的一位萤火虫研究者。他同他的合作者，康涅狄格大学的安迪·莫采夫（Andy Moiseff）证实，琳恩家附近的萤火虫是同步闪光的，相互之间的闪光时间差不超过0.03秒。

尽管埃尔克蒙特地区于1992年被大雾山国家公园接管，但是这些萤火虫并没有受到影响，“灯光秀”已经成为旅游项目。至于琳恩·福斯特，她仍在继续探索着自然界中无处不在的同步，依然继续着自己的新发现。在一封1999年给我的来信中，琳恩写道：“这个春天，我注意到的不过又是一种简单的同步：当四只家养雄火鸡在春季交配时节聚在一起的时候，头火鸡先叫一声，随后它们就会围成一圈，齐声‘咯咯’叫。”

◎　　◎　　◎

并非所有人都懂得欣赏动物界迷人的同步现象。1993年5月18日，《国家询问报》刊登了一篇文章，题目是“政府，你将大把的税收用于研究婆罗洲（一半属马来西亚，一半属印尼）的萤火虫，太不明智了！”这篇文章嘲笑国家科学基金会为科普兰的一个提案提供资金，文中写到，来自威斯康星州的共和党议员汤姆·佩特里（Tom Petri）表示：“我认为这项研究并没有什么启发性，如果是我，我会驳回这个提案。花纳税人的钱研究萤火虫，听上去可不是个好主意。”

我们很难责备佩特里议员没有发现关键所在。研究萤火虫的价值将带给我们无尽的惊奇。例如，在1994年以前，网络工程师经常被路由器之间通信的自发搏动所困扰，直到他们认识到这些机器的行为就像萤火虫，定期地交换信息使它们在不经意间形成了同步。原因确定之后，该如何解决信息拥堵就显而易见了。有电子工程师设计了一个分散的架构，使计算机的时钟电路更为高效，这种设计模仿了萤火虫低成本、高可靠性实现同步的策略。这种卑微的生物甚至有助于拯救人类的生命。就在佩特里议员的嘲讽登报的同一星期，《时代周刊》的一篇文章中写到，医生们借用萤火虫的发光酶，即荧光素酶，来加快对治疗耐药结核菌的药物进行测试。

除了给工程师带来启发以外，萤火虫的群体行为对于整个科学界同样具有更广泛的意义。它体现了一个复杂的自组织系统为数不多的几个容易处理的实例之一，数以百万计的相互作用同时出现，此时每个个体都在改变其他个体的状态。实际上，当今科学界所有主要的悬而未决的问题都具有这种复杂的特征，正如当细胞癌变时单个细胞中的连锁生化反应以及它们的破坏作用；股市的繁荣与崩溃；意识从大脑中数万亿个神经元的相互作用中涌现；生命之源从原始海洋的化学反应网络中诞生。所有这些现象都涉及连接到复杂网络中的海量个体，每种情况都会自发涌现出惊人的模式。我们身边的丰富世界在很大程度上就是由自组织造就的奇迹。

然而，我们的大脑并不善于处理这些问题。我们的思考方式习惯于集中控制，清除指挥链，以及直截了当的因果逻辑。但在巨大的相互连接的系统中，每个个体最终都会影响到所有其他个体，这样一来，我们标准的思考方式便会崩溃。简单的图片和口头辩论都显得苍白无力、目光短浅。在经济学中，当我们试图预测减税或利率变化的影响时；在生态学中，当一种新农药通过食物链蔓延，产生意想不到的可怕后果时，我们总是深受这类问题的困扰。

萤火虫问题带来了许多相同概念上的挑战，尽管它显然比经济学或生态学问题要简单得多。我们对于生物体（萤火虫）的性质、行为（有节律地闪光）及相互作用（接收到光后自动调整）的了解，要远多于全球市场和生态网络，因为世界上有太多形形色色的公司、千奇百怪的物种以及它们之间未知的交互模式。但即便如此，理解萤火虫问题仍不容易。事实上，它处于我们当今掌握的知识的边缘。因此，这是一个理想的起点，可以让我们学习数学如何帮助我们解开自发秩序的秘密。同时，这又是一个绝好的研究案例，可以让我们了解在如今这个原始的探索阶段，它能帮助我们做些什么。

◎　　◎　　◎

虽然同步在生物群体中无处不在，但它的作用并不总是很明显。例如，萤火虫为何要一齐闪光？生物学家们至少提供了10种看似合理的解释，最古老的一种被称为“灯塔假说”。数十年前我们就已经知道，只有雄性萤火虫会同步闪光，根据这种理论，我们可以认为灯光秀是针对雌虫的，是对雌虫的一种集体挑逗。通过一齐闪光，雄性萤火虫增强了引诱信号，光束可以穿越长达数公里的丛林荫蔽来引诱雌性萤火虫，否则雌性萤火虫不会看到它们之中的任何一只。这可能就是为什么在草木茂密的地区，例如泰国和马来西亚的丛林，以及琳恩·福斯特小屋后面的森林，同步现象比较常见，而在美国东部的开阔草地上却很少。可以想见，开阔草地上的萤火虫无须同步发光便可以轻松幽会。

同步的第二个可能的优点是，雄性萤火虫可能会得到幸运女神的眷顾。一只雌性萤火虫看到了与某只雄性萤火虫酷似的邻居，可能会因混淆而与其交配。在这一点上，同步对迷惑食肉动物也同样有益，与群体混在一起总是最安全的。最新的理论是，同步可以反映出竞争关系，而非合作：每一只萤火虫都试图成为第一只闪光的虫子（因为雌虫似乎更偏爱这种雄虫），但如果每一只萤火虫都遵循这种策略，那么同步注定会自发出现。

其他许多生物也是如此，群体的同步在某种程度上与繁殖有关。周期蝉(3)会藏在地下长达17年以躲避它们的天敌，然后数以百万计的蝉会同时破土而出，在一个月内完成交配，随后死亡。成群的雄性招潮蟹中(4)，每一只都会挥舞着那只滑稽的大螯，环绕着雌蟹，以此来吸引雌蟹。（这场景就像很多乐队指挥在共同指挥同一名演奏者。）

对于人类而言，同步也会出现在女性身上。大多数女性都熟悉月经同步的现象，作为姐妹、室友、好友或同事，很多女性会发现她们的经期逐渐趋于同一天。长期以来，月经同步一直作为趣闻逸事，直到玛莎·麦克林托克（Martha McClintock）首次对其进行了科学记录。作为马萨诸塞州韦尔斯利女子学院心理学专业的一名本科生，玛莎研究了135名女同学，让她们记录下自己整个学年的月经周期。10月时，女性好友和室友们的月经周期平均相隔8.5天，但到了第二年3月，她们的平均间隔时间缩短为5天，统计数值显著降低。而随机搭档的女性对照组则没有出现这种变化。

关于同步机制有着各种各样的猜想，其中最可靠的猜测认为它与信息素有关，信息素是一种不确定的无味化学物质，以某种方式传递着同步信号。有关信息素的首个证据来自生物学家迈克尔·拉塞尔（Michael Russell）在1980年完成的一份实验报告。他的一个同事，吉纳维芙·斯维茨（Genevieve Switz）注意到了自己生活中的一种现象：当夏季与一名女性朋友同居的时候，这位朋友的经期就会与她趋近，秋天她们分居以后，她们的经期就会分开。这暗示着吉纳维芙是一个强大的同步器。拉塞尔试图确定吉纳维芙身上的何种物质如此引人注目，在实验中，吉纳维芙把化妆棉放在腋下，每天把收集的汗水送给拉塞尔。随后拉塞尔将其与酒精混合在一起，并把“吉纳维芙的精华”涂在女性受试者的上嘴唇上，一周三次，持续一个月的时间。

实验结果令人惊讶：4个月后，受试者的平均经期与吉纳维芙相差3.4天，而实验开始时相差9.3天。相比之下，对照组（上嘴唇只涂酒精）的经期则无明显变化。显然，吉纳维芙汗液中的某种物质传递了有关她月经周期的信息，通过这样一种方式影响了其他得到信息的女性的月经周期。

而后来的研究就没有这样简单明确了。有些实验发现了同步在统计学上的证据，有些则没有。质疑者依据相互矛盾的数据，将同步视为只是微弱的作用或是巧合。现为芝加哥大学生物学家的麦克林托克最近的工作成果则暗示了完全相反的结果。他们的研究表明，月经同步只是一个更大现象所表现出的最明显的结果，这种现象便是女性之间的化学通信。在1998年进行的一个实验中，麦克林托克和她的同事凯瑟琳·斯特恩（Kathleen Stern）发现，如果她们在女性月经周期的不同时间点上从她们的腋下获取汗水试剂，并涂在其他女性的上嘴唇上，捐赠者的分泌物会以一种规律的方式使接受者的月经周期发生偏移。在月经周期开始时，即排卵前的卵泡期提取的试剂，倾向于缩短接受者的月经周期。换句话说，接受者的排卵时间会比先前的记录提前数日。相比之下，在排卵期提取的试剂会延长接受者的月经周期。在黄体期，即从排卵后到月经来潮的前一天提取的分泌物，则对月经完全没有影响。

其中的言外之意是，亲密群体中的女性总是会提前或推迟彼此的月经周期，通过信息素无意识地参与到无声的对话中，可能产生的结果就是月经同步。但是鉴于信息素的信号会促使经期同步，也会使经期差异扩大（这取决于这些信号在每月的什么时间产生），因此，同步并非一定会发生便不足为奇了，异步甚至反同步（周期完全相反）也是可能的。事实上，这些情况同样也被观察到了。

这种化学通信的功效仍然是一个谜。可能是女性们无意间在努力与朋友们一起排卵和受孕，以使她们分担育儿和哺乳的义务，并错开对立者的月经周期，避免与她们竞争稀缺资源。这听上去遥不可及，但是其他哺乳动物中也存在这种现象。在同步群体中，雌性老鼠群会比单独的雌鼠抚养出体型更大、更健康的后代。如果群体中的所有雌性互相合作的话，那么生殖同步对所有个体都有益。

从数学角度看，麦克林托克的数据证实了你的猜测：作为耦合振子，女人比萤火虫要微妙得多。个体之间的生化促进和延迟并不总是强迫她们趋于同步，这点与东南亚的萤火虫全年的每个夜晚都同步闪光不同。那些萤火虫和心脏起搏细胞不可避免的同步是没有回旋余地的，非常呆板，鉴于此，这种现象很少在其他生物群体中发现。例如女人们，她们的大多数振子会在某些环境中同步，在其他环境中则不同步。

现在看来，我们在前文中设想的模型看上去太简单了。虽然它帮助我们理解了在特定条件下同步是不可避免的，但它没有考虑其他因素。更完善的耦合振子理论应该可以预测特定的一组振子是否会同步，并告诉我们哪些因素是决定性的。

这套理论同样应该考虑振子相互作用的所有方式。回想萤火虫用瞬时脉冲（光的闪亮）互相交流，我们的理论模型忽略了它们除去闪光周期之外的其余时间里的相互作用，而女人每时每刻都在受其他振子的影响。这两种耦合类型在自然界中都很常见，但现有的模型只考虑了脉冲。改进后的模型应该同样适用于持续的相互作用。

此外，我们目前假定给定群体中的振子都是完全相同的，但是真实的振子总是各种各样的，周期长度存在差异。例如某位女性的月经周期是25天，而另一人却是35天，所有其他种类的生物振子都显示出了周期长度的统计分布。甚至表面看上去完全相同的人造电子振子和机械振子也并非完全相同，因为制造过程中总是存在微小的误差，或是材料性能的变化。

这些难题极大地提升了数学方面的困难程度。希望拥有一个更逼真的模型是一回事，构建一个容易处理的模型是另外一回事。如果我们的模型像我们想要描述的现象一样令人费解，那么它将一无所获。这使得数学建模既是一门科学，也是一门艺术：一个优雅的数学模型即意味着简洁与逼真之间的恰当折中。今天，我们拥有了一个美丽的同步模型，就上述特点而言可谓恰如其分，它的创建是三位先驱历经30年共同努力、不断积累的结果，其中就包括20世纪最有远见、最离经叛道的思想家之一。

02
脑电波研究：同步发生的条件

诺伯特·维纳先前并未成名。但当他的《控制论》（Cybernetics）在20世纪50年代出版时，当即在广大读者中引起了轰动。《纽约时报》的审稿人称之为“奠基者……与伽利略、马尔萨斯、卢梭、密尔等人同等重要”。维纳提出了一个统一的框架来思考通信和控制问题，无论是神经系统还是社会，动物或是机器，计算机或是人类。它更像是一个梦想，而不是一个完善的理论，结果也证明，这套理论还为时过早。今天，没有人会说他们在从事控制论工作，但控制论这个词的前一半“cyber”，作为流行词语“cyberspace”（赛博空间）和“cyberpunk”（赛博朋克）的前缀却被保留了下来。

在科学家中，诺伯特·维纳永远不会被忘记，既是因为他很重要，也是因为他很糊涂。对于他重要性的一面，可以从他的名字被收录在高等数学的术语中可见，例如维纳过程、佩利-维纳定理、维纳-霍普夫方法等。维纳小时候是个天才，18岁时获得哈佛大学博士学位。维纳革新了随机过程理论。而他对于布朗运动，即溶液中分子无规则运动的分析，远远超越了爱因斯坦对于同样问题所采用的直觉性的方法。维纳的方法为理查德·费曼在量子电动力学领域的工作，以及费希尔·布莱克（Fischer Black）和迈伦·斯科尔斯（Myron Scholes）在金融学领域的工作奠定了基础，迈伦·斯科尔斯因而获得了1997年的诺贝尔经济学奖。

对于维纳糊涂的一面，数学家们则津津乐道。维纳身形矮胖，戴着厚厚的眼镜，嗜好抽雪茄，经常骑独轮车穿行于麻省理工学院。甚至在某些专业领域中，当他人的技能和常识都表现平平时，维纳便会直言不讳地指出来。他和同伴打网球，在连续多次漏接对方的发球后，维纳甚至建议要与对方交换球拍。当他和家人从剑桥搬到牛顿的时候，他的妻子知道丈夫必然会忘记已经搬家，于是写下了新家的地址和从他的办公室出发回家的方向。果然，维纳将那张字条用作草稿纸扔掉了，并且走回了旧房子。走回去后，维纳才意识到自己已经不住在这里了，于是拦住了街上的一个小女孩，并问她是否知道维纳住在哪里。小女孩回答说：“知道，爸爸，跟我来。”

维纳是同步科学的核心人物，一部分原因是，他提出了一个先前无人敢解答的问题。早期的数学家已经满足于解决涉及两个耦合振子的问题，而维纳解决的问题涉及成千上万个耦合振子。或许更重要的是，他首先指出了宇宙中同步现象是普遍存在的，“唧唧”叫的蟋蟀、“呱呱”叫的青蛙、闪光的萤火虫以及小行星带隙和电网中的发电机……维纳发现它们之中全都存在同步现象。表面上的差异并没有分散维纳的注意力，他正在寻找至高无上的法则，并且认为自己在思索人类脑电波的起源的时候就找到了。

◎　　◎　　◎

在20世纪50年代后期，根本没有人真正了解大脑振荡的原因。但在几十年前，生理学家发现，如果在人的头皮上的不同位置贴上两个电极，它们之间会产生微小的电压，这个电压会随时间波动。当电子放大器技术充分发展以后，这些微小的电压波动或称“脑电波”，可以方便地显示在带状图记录仪上，记录仪上下摆动的笔尖可以将波动记录在滚动的纸卷上。相同的技术也被应用于测谎和心率监测，对于看过关于医院的电视节目的人而言应该很熟悉。

测量脑电波的脑电图学专家，非常善于在这些大脑活动的轨迹中注意到特征模式。一种模式是所谓的阿尔法脑波，阿尔法脑波常出现在人们清醒但闭目放松的时候。主观上讲，它感觉像是一种愉快、迷乱的状态。在带状图中，它看上去像一个突出的振荡，每秒大约振荡10个周期。

维纳想研究阿尔法脑波更精细的细节，因为他预感到了阿尔法脑波的功能，他认为阿尔法脑波就像大脑主时钟的嘀嗒声。正如一台计算机需要一个时钟来同步其数千个组成部分之间的信息传递，维纳猜想，大脑协调各种各样的神经活动的方法是通过迫使所有神经活动按照中央鼓手的节奏行进。单个神经元不可能起到这种作用，它们至多只是草率的振子，担任时钟的工作恐怕不够精准。维纳因此推翻了先前的猜测：大脑从海量草率的振子中巧妙地建立了一个精准的时钟。维纳猜测，在大脑的某个地方，一定存在数以百万计的专用振子，或者是单个的神经元，又或者是由神经元组成的小簇，它们大约1秒放电10次。与其他生物种群一样，这些振子注定是各不相同的。其中一些先天就比其他的快，喜欢1秒发射12次；有的相对慢些，1秒只发射8次；但大多数都会居中，固有频率接近1秒10次。基于它们自己的设备，这群混杂的神经元振子会发射不同频率的脉冲，产生一阵电信号的喧嚣，类似于管弦乐队演奏前的调音。为了像一个精准的时钟一样共同工作，这些假想的振子需要互相合作，感知彼此的电波，并做出相应的反应以保持同步。维纳的观点是：振子会通过牵引彼此的频率实现自发同步。如果一个振子运动太快，群体中其他的振子就会使它慢下来；反之，如果运动太慢，其他的振子则会使它加快速度。

为了测试这种“频率牵引”机制是否存在于大脑中，维纳计划寻找阿尔法脑波节律的一个明显的特征。政治学中的一个比喻在此刻提供了帮助。我们可以将振子的固有频率想象成假想社会中的政治倾向的频谱，最极端的左翼激进派相当于一小群喜欢每秒运动8个周期（8赫兹）的振子。而向频谱的右侧移动，我们会遇到一个更大的群体，即自由主义者，他们偏爱的频率为9赫兹，占主导核心的中立派为10赫兹，然后又回到一个由保守党组成的稍小的群体，他们偏爱的频率为11赫兹，只有极少数右翼狂热分子偏爱的频率为12赫兹。为简化起见，我们可以假想一张表示各个政党运动周期的曲线图，它遵循我们熟悉的钟形曲线：一个强大的中心占主导地位，随着我们向两翼移动，两侧呈对称性逐渐降低（见图2-1）。

图2-1　频率钟形曲线

需要注意的是，这张图表仅仅表示了固有趋势。这是在假设完全屏蔽掉其他人影响的情况下，人们所持有的态度，或者说振子所呈现的频率。

现在我们让个体开始彼此相互牵引，并且假设这些振子可以改变自身的频率。通过他人的劝说，一个缓慢的振子可以被说服提高速度，一个高速的振子则可以被鼓励降低速度。然后，再次测量频谱，它将不再类似于一条钟形曲线。维纳猜测，它的形状应如图2-2所示。

图2-2　维纳设想中的振子牵引频谱图

为了理解这张图中独特的曲线形状，请记住，开始时大多数振子都在靠近钟形曲线中间的位置。通过牵引彼此的频率，它们中的大多数折叠到了绝对中心，形成了一个强大的主流共识，对应图中高而窄的中心波峰。它们对其他人群的整体影响足够强大到会从两翼招募一些温和派（峰值的高度继续增加，原本温和派的位置降低，导致在中心峰值两侧形成了凹陷）。然而，这个共识的说服力还不够强大，并不足以移走位于边缘的最顽固的极端主义者，图中显示为频谱两端的肩部。

维纳预测，阿尔法脑波会在其频谱中呈现出与之相同的奇特波峰和两个凹陷。如果是这样的话，这将为他的想法构筑强有力的证据，阿尔法脑波是由不同频率的振子之间的同步所引起的。要证明这种想法的正确性，维纳需要一种前所未有的高精度测量频谱的方法。在这里，维纳计划开发一种实验技术，而他的同事，麻省理工学院电子工程师沃尔特·罗森布里斯（Walter Rosenblith）在数年之前已经开发出了这项技术。罗森布里斯发明了一种在磁带上记录脑电波的方法，而不是在纸上记录。这意味着数据可以通过电子方式处理，首次实现了对脑电波频谱的定量计算。以前所有的工作都是定性分析：依赖于模式识别和接受过培训的专家的主观判断，这些专家学习过在脑电波曲线中发现模式。现在，利用罗森布里斯的方法，人们可以自动、客观地进行计算。

在维纳写作于1958年的专著中，他宣布了结果，但他只是作了粗略的介绍，而不是展示实际的数据（如果研究结果真的令人信服，其他科学家都会这么做）。他画了一张草图版的测量频谱，图中曲线如前图所示。结果似乎有些太过巧合，吻合得令人难以置信，维纳似乎在刻意隐瞒什么。

然而，他的文字背叛了他的自信。维纳认为，“频率牵引”是自组织的一种普遍机制，不只是大脑中振子的运转，它在自然界中无处不在，在生物和非生物中都是如此。在一次福音派的请愿中，维纳呼吁生物学家对青蛙、蟋蟀以及东南亚的萤火虫进行实验，而这发生在萤火虫的同步闪光现象记录在科学文献中很久以前。“在未进行实验之前，我不敢对实验结果发表意见，但这一研究方法让我觉得有希望，而且不太困难。”维纳在1961年写道。

维纳的下一项工作是阐明“频率牵引”的详细理论，然而，当他试图用严谨的数学论证来支持自己的直觉的时候却遇到了难以克服的困难。他做了一些粗略的计算，但问题很棘手，最终一无所获。1964年，维纳逝世，遗憾的是，他最后也没能解决这一问题。而在一年后，一名大学生发现了解决问题的正确方法。

◎　　◎　　◎

当时，阿瑟·温弗里是康奈尔大学工程物理专业的高年级学生。他很久以来就梦想成为一名生物学家，但他并未选择传统路线，而是选择了数学和物理学的核心训练，希望能获得一套不同的工具。电子学、计算机科学、量子力学、微分方程等都是大多数生物学家从不接触的领域。

当温弗里思考群体同步问题时，他想到了振子本身，而不仅仅是它们的频率。在这方面，他对这个问题的概念化要比维纳明确得多。温弗里不只是通过振子所倾向的运动速度来标记每个振子，即上文类比中的振子在政治频谱中的位置，相反，他描绘了振子在其周期中的每一步运行，归根结底，这是每个振子的精髓。当时，这个新出现的难题几乎击退了任何人，但这也正是年轻的优势——不知道什么是不可能。

温弗里故意简化了模型。他意欲将其一般化，使之足以适用于所有生物振子群体。对于合唱的蟋蟀、闪光的萤火虫、脉动的起搏神经元等，捕捉它们的共同特征的唯一方法是忽略其所有的生化差异，聚焦于所有生物振子共有的两个属性：发送和接收信号的能力。

使得问题如此困惑的原因是：这两个属性的变化贯穿于振子的整个运动周期，它们的影响度和灵敏度都是相位的函数。例如，萤火虫的闪光周期通常包括一次突然的闪光，随后是一段时间的黑暗，在此期间它会为闪光器官充电，然后是另一次闪光，循环往复。实验表明，接收端的萤火虫会注意另一只萤火虫的闪光，同时忽略黑暗。所以在温弗里的数学描述中，“影响度函数”在两个水平之间变化，在周期中的闪光阶段数值较大，在黑暗阶段接近为零。类似地，“灵敏度函数”将振子如何响应接收的信号进行了编码。在周期中的某个阶段看到闪光会使萤火虫调快身体内部的定时器；而在周期中的另一个阶段看到闪光，看似相同的刺激则会减慢计时器，或不产生影响。在温弗里的模型中，描述一个振子所需要的只有这两个函数，一旦它们被选定，振子的行为就可以被确定，无论是作为信号的发送者还是接收者。

为了使这些想法尽可能具体化，我们可以将一个振子看作一名在围绕着一个圆形跑道跑步的跑者。跑道上的不同位置代表了生物活动中振子周期的不同相位。例如，如果跑道代表月经周期，那么其中就有一个位置对应排卵，另一个位置对应月经。两个位置之间的跑道便对应于期间的荷尔蒙分泌。跑完一圈后，跑步者就会又回到排卵期。再如，如果跑道代表萤火虫的闪光节律，不同的位置就暗示着萤火虫的发光机制，即从闪光到闪光器官充电积聚能量，再到下次闪光的过程。

这样看来，两个耦合振子就像两名慢跑者跑步时彼此不间断地喊口令。口令的内容和强度是由他们当前在跑道上的位置决定的；这些信息都被总结在了温弗里的“影响度函数”中。例如，如果一名跑步者的“影响度函数”当前是较小的正值，他就会对另一人喊道：“喂，请稍微跑快点。”另一方面，如果“影响度函数”当前是较大的负值，他便会对另一人喊：“你跑得太快了，慢下来！”“影响度函数”为零则意味着跑步者什么都没对同伴说。久而久之，随着两名慢跑者围绕着跑道前进，他们喊的口号也在不断变化。

这个框架非常普遍，可以适用于萤火虫、蟋蟀以及神经元之间类似脉冲的相互作用，即类似于一声突然的尖叫，随后周期中其余的部分全部保持沉默；也适用于麦克林托克和斯特恩发现的信息素对月经周期的持续影响，即一系列不断变化的加速或减速的请求。

与此同时，两名慢跑者都在倾听和叫喊，他们如何对接收到的信息做出反应取决于温弗里的另一个函数——灵敏度函数，其函数值同样在跑道各处都发生着变化。当灵敏度是较大的正值时，慢跑者会服从此刻接收到的任何指令；当灵敏度为零时，他会忽略指令；当灵敏度为负值时，他会违背指令，即想让他减速时他却加速，反之亦然。这个模型同样也是很普遍的，远超过上一章中讨论的佩斯金的模型。佩斯金的模型假定振子受到刺激只能前进，而在温弗里的模型中，振子可以超前或滞后，这取决于当它们接收到脉冲时在周期中的位置。实验已经表明，后者反映了多数真实生物振子的行为。

为简化起见，温弗里进一步假定，给定群体中的所有振子具有相同的“影响度函数”和“灵敏度函数”。同先前维纳所做的一样，温弗里也将个体差异考虑在内：他假定群体中振子的固有频率是按照钟形曲线随机分布的。在跑道模型中，我们可以把这群振子视作一个跑步俱乐部，有数千名跑步者同时奔跑在跑道上。多数跑步者处于平均速度，但是俱乐部中也有跑得快的家伙，他们是学校中的田径明星；也有动作迟缓的家伙，他们懒散了多年，正在减肥。换句话说，俱乐部中的跑步者身上存在能力分布，就像生物种群中的振子存在固有频率分布一样。

似乎所有这一切还不够复杂，这个模型最后一个需要指定的方面是：连接。温弗里必须假定谁在向谁喊口令，谁在听谁的口令。这会产生很大差异，差异取决于他头脑中思考的生物学实例。例如昼夜（大约24小时）节律：在这种情况下，温弗里猜测可能是人体周身存在生物钟细胞，每个细胞都会在一天的周期中分泌化学物质使进入血液。每个细胞都会沐浴在其他所有细胞的分泌物中，这也就意味，每个细胞都会与其他所有细胞通信。另一方面，蟋蟀最关注邻近伙伴的鸣叫。而对于大脑中振荡的神经元来讲，彼此间相互纠缠的复杂连接简直深不可测。

温弗里回避这些复杂的连接，将其简化为了最简单的问题，但后来他又意识到，问题依然极其困难。他想知道如果每个振子受到所有其他振子的影响都是相等的会发生什么，就好像每一名跑步者都在回应所有其他人的口令，而不是仅仅回应他身旁人的口令。或用一个更直观的比喻，想象你坐在一个拥挤的音乐厅中，精彩的演奏结束后，如果听众开始一齐起立鼓掌，你会被整个房间内雷鸣般的节奏所驱使，而不是仅受到邻座人的影响。

温弗里列出了他的振子系统的方程，描述了每个振子完成周期的速度。在任何时刻，一个振子的速度都是由三个因素决定的：它偏爱的步调，这与它的固有频率成正比；它当前对所有外界影响的敏感度，这取决于它处于自身周期中的位置；以及其他所有振子对其产生的总体影响，这取决于每个振子分别处于各自周期中的位置。这是海量的数学账目，但原则上，整个系统每时每刻的状态是由每个振子当前的位置决定的。换句话说，对于现状的全面了解使完整地预测未来成为可能，至少在理论上是这样。

计算有条不紊地进行着。给定所有振子的位置，我们就可以根据温弗里的方程计算出它们的瞬时速度。这些速度随后告诉我们，每个人在下一瞬间会前进多少。假设一个瞬间只是一个很短的时间间隔，所有的振子在这段时间内平稳运行。那么每个振子绕着圆环移动的距离就等于它的速度乘以移动的时间，就像高速公路上行驶的汽车。所以，所有振子现在都可以前进到它们的新相位，然后计算一遍又一遍地重复，每次前进一个瞬间。至少在概念上，如果我们长时间重复这个过程，就会看到是什么样的命运在支配着这个振子群体。

◎　　◎　　◎

我刚刚描述的是被称为“微分方程组”的系统。每当我们需要利用当前位置来确定速度规律的时候，就会建立这种方程组。这类问题在牛顿的时代就进行了研究，最初主要与太阳系中的行星运动相关。太阳系中的每个行星都通过万有引力吸引其他行星，改变它们的位置，而这又进一步改变了它们之间的万有引力，以此类推。这与温弗里的振子模型非常类似，振子的相位不断变化，振子之间的影响度和灵敏度也在不断变化。正是为了解决这样的难题，牛顿发明了微积分。牛顿解决了“二体问题”，证明了地球围绕太阳运行的轨道正如开普勒先前提出的那样是一个椭圆，这是西方科学的伟大成就之一。然而奇怪的是，“三体问题”却非常难解。200多年来，世界上众多优秀的数学家和物理学家都在试图找到三个相互吸引的行星的运动方程，直到19世纪末，法国数学家亨利·庞加莱才证明这项工作是徒劳的，因为方程的解根本不存在。

此后，我们开始认识到大多数微分方程组都不可解，与上文的原因一样，我们无法找到方程的解。然而，有一种特殊情况例外，线性微分方程组是可解的。我们暂且无须关注“线性”的技术意义，重要的是，线性方程组本质上是模块化的，即一个大的、杂乱的线性问题总是可以被分解成各个更小、更易于处理的部分。每部分都可以单独解决，所有的小答案可以重新组合起来解决更大的问题。所以，对于线性问题而言，整体精确地等于部分的总和。

然而，线性系统无法应用于太丰富多样的行为。传染病的传播、激光束强烈的相干性、湍流的摆动……所有这些都是由非线性方程组控制的。当整体不等于部分之和的时候，即当系统中存在合作或竞争的时候，控制方程一定是非线性的。

基于以上原因，对于温弗里看到他的生物振子的微分方程组发现方程组是非线性的时，我们并不感到奇怪。他在物理课和工程课上学到的线性方法现在毫无用处，他永远也无法找到微分方程的解。至于非线性方法，只有很少一部分可用，而且被限制在非常小的系统中，例如单个振子和两个耦合振子。对于温弗里所问的这类问题，即成千上万个相互作用的非线性振子的群体动力学特征，他必须找到自己的解决方法。

◎　　◎　　◎

温弗里选择了用计算机来模拟他的模型。相比于数学方法，这更像是在做实验。计算机会跟踪运行在圆形轨道上的不同速率的振子。计算机并不关心是线性还是非线性，有解还是没有解，它只是一次一小步，慢慢前进，为模型的真实行为提供近似参考。温弗里希望模拟结果能够带给他关于振子行为的一些直觉上的认知。至少他可以看到发生了什么，即便并不理解原因。

事实上，有一种极限情况是容易理解的。如果这些振子完全忽略彼此，那么它们就会四散在圆形轨道上，因为每个振子都会按照自己偏爱的速度运行，不受其他振子的影响。速度快的会追上速度慢的，并最终套它们的圈。最终，系统内到处都是振子，这种系统被称为是不相干的。这就像演唱会中观众鼓掌的方式，我们都忽略彼此，只按照自己感觉舒服的节奏鼓掌，最终呈现出来的整体效果就是一阵持续、毫无节奏的喧嚣。

温弗里的模拟经常走向与之相同的不相干系统，甚至在考虑到振子的“影响度函数”时，群体仍然会积极地反抗同步。即使所有振子都从同相位起始，它们也会抵制一致，并打乱各自的节奏，整个群体始终处于混乱无序的状态。

但是对于其他影响度和敏感度的组合，温弗里发现，群体会自发同步。无论振子的初始相位如何，它们中的一些总会凝聚成紧密的一团，并围绕轨道同步运行。现在，群体的状态更像某些音乐会观众，没有任何刺激就会爆发出同步的掌声。

在这种情况下，同步就会在合作中出现。一旦几个振子偶然中出现了同步，它们联合一致的叫喊声就会从嘈杂的背景声中脱颖而出，对其他振子产生更大的影响。这些核心振子会召集其他振子向它们趋近，使得核心振子数目更多，信号更强。由此产生的正反馈过程也导致了一种失控、加速的同步的爆发，许多振子纷纷趋近并加入这个新兴的集团。然而，也有些振子会一直保持非同步状态，因为它们的固有频率太过极端，耦合作用令它们难以融入。最终的结果就是，一个群体分裂成为一个同步组和边缘的一群杂乱的振子。

温弗里发现，当系统自发同步的时候，没有任何振子是不可缺少的。它们之中没有领袖，任何一个振子都可以被移除，同时也不影响系统的运行。此外，群体无须以其中速度最快的成员的速度运行。根据“影响度函数”和“灵敏度函数”的选择，群体可以按照其成员的平均速度运行，也可以比任何成员的速度更快或更慢。这种现象极其违反直觉，群体的同步不是等级制度，但它也并不总是纯粹的民主状态。

温弗里最重要的发现来源于一个奇怪而又极具想象力的思想实验。相比于处于固有频率并呈钟形曲线的单一振子群体，他想象了一个由这种群体构成的族群，每个群体都比前一个更为均匀，或者你也可以想象有许多个不同的跑步俱乐部（见图2-3）。

图2-3　不同跑步俱乐部中成员同步程度

第一个群体极为多样化，成员们能力范围分布很广。而温弗里发现，这样的俱乐部永远不会同步，其中的任何成员都不会扎堆一起跑，即便他们的“影响度函数”和“敏感度函数”倾向于使他们聚在一起。最后，他们只会徒劳地喊叫和倾听，他们的多样性会压倒群体成员在一起跑步的共同愿望，让他们分散在圆形跑道各处，就好像他们彼此互不理会，都在按照各自偏爱的速度跑步。

现在我们来观察一下类似于第一个，但稍微一致一些的团队。其成员具有相同的“影响度函数”和“灵敏度函数”，但他们的能力分布在一个更窄、更陡的钟形曲线上，这意味着团队中更多的跑步者处于平均水平，跑得极快和极慢的家伙较少。你会认为，这个俱乐部实现同步的机会会更大，至少有一部分成员会同步，但温弗里发现结果完全相反。通过逐渐增加同类振子的数目，温弗里发现，直到达到一个临界点才会出现同步，这个临界点便是多样性的阈值。然后，有些振子会突然自发锁定它们的频率，开始一起跑步。随着温弗里让分布变得更窄，有越来越多的振子选择了加入同步组。

在完善这种描述期间，温弗里发现了生物学和物理学之间的一个意外联系。他意识到，同步类似于相变，就像水凝固成冰。凝固现象本身就令人感到惊讶。当温度仅高于凝固点1摄氏度的时候，水分子就可以自由运动，相互碰撞、翻滚。此时，水是液态。而如果我们让温度稍微下降，降到凝固点以下，就会突然诞生一种新的物质形式，就像魔术一般。数以万亿计的水分子自发规则排列，形成坚硬的晶格，我们把这种固态晶体叫作冰。随着频率分布的广度降低到临界值以下，同步是突然发生的，而不是逐渐发生。在这个比喻中，频率分布的广度类似于温度，振子相当于水分子。主要的区别是当振子达成同步的时候，它们达到的是时间上的一致，而非空间上的一致。这种概念上的转变是温弗里比喻中的巧妙之处。

有了这一发现，温弗里就在过去很少注意彼此的两个伟大学科之间的建立了联系。一个是非线性动力学，主要研究系统随时间演化的复杂方式；另一个是统计力学，它是物理学的分支，主要研究原子、分子或其他简单粒子构成的巨大系统的集体行为。这两个学科都可以相互弥补对方的缺陷。一方面，非线性动力学可以轻松处理只有少数变量的小型系统，但它无法处理大粒子群，而这对于统计力学而言只是小儿科。另一方面，统计力学擅长分析达到平衡状态的系统，但它不能处理任何随时间振荡或不断变化的事物。

现在，温弗里已经为这一混合理论铺平了道路，它比单独的任何一个理论都更强大。这是科学向前发展的关键一步，它最终能够揭示自发同步在时间和空间上的奥秘。在更实用的层面上，这意味着统计物理学的分析技术现在可以用来解决大脑细胞、萤火虫以及其他生物同步的谜题。

◎　　◎　　◎

几年后，一位年轻的日本物理学家藏本由纪看到了温弗里的书。他同样着迷于时间上的自组织现象，想要寻找一种方法来渗入其数学核心。1975年，他聚焦在了一个比温弗里模型更简化、更抽象的模型上，在令人炫目的精巧构思中，藏本由纪展示了精确解决这一问题的方法。

藏本由纪的模型是一项惊人的成就，它是由无穷多微分方程组成的方程组，每个方程都是非线性、相互耦合的。这类问题几乎不可解，但也确实存在极少数例外，它们就像钻石一样，因美丽而无比珍贵，稀有的它们展现出了非线性的一面。在这种情况下，藏本由纪的分析揭示了群体同步的本质。

乍看起来，我们很难看出藏本由纪的模型结构的特殊之处。与维纳在书中所写的一样，藏本由纪的模型结构同样描述了一个庞大、固有频率呈钟形曲线分布的振子群体。在温弗里的模型中，振子彼此之间的相互作用完全相同。而藏本由纪关键的创新是用一种特殊的相互作用取代了温弗里的“影响度函数”和“灵敏度函数”，这是一种高度对称的规则，包含并改善了维纳的“频率牵引”概念。

仅有两个振子组成的群体，其振子之间的相互作用的性质是最容易理解的，我们可以把它们设想成两个朋友在圆形跑道上一起慢跑。作为朋友，他们想边跑步边聊天，所以每个人都对自己原有的速度进行了调整。藏本由纪的模型中设定的规则是，领先者速度减慢的量与落后者速度增加的量相同。为了提升精确度，调整量的大小计算方法如下：用二人之间夹角的正弦函数值，乘以一个叫作“耦合强度”的数值，这个数值决定了可能的最大调整量。这种调整作用倾向于使振子同步。然而，如果他们固有的速度之间的差异远大于耦合强度，他们便无法补偿二人之间的能力差异。速度快的会逐渐甩开速度慢的，并套他的圈，在这种情况下，他们都应该考虑寻找新的慢跑伙伴。

这个规则的对称性让它可以通过数学进行分析。而跑道各处完全相同的前提条件与温弗里最初的构想不同，在他看来，不同的位置对应生物活动周期中不同的重要事件。但对于藏本由纪而言，所有位置都是没有区别的，不存在地标。事实上，跑步者无法知道自己的位置，所以他们只会默默奔跑，不再叫喊和倾听，但是他们会仔细观察对方。无论位于跑道的何处，他们都会利用上文中的公式适当调整自己的速度，该方程只取决于两人之间的距离，与他们各自的位置无关。

现在，我们可以想象一个由更多振子组成的群体，像刚才那样，将其设想成一个跑步俱乐部，俱乐部成员能力各异。成员之间相互作用的规则是每名跑步者都观察其他人，针对每个人都计算一个试探性的速度修正值，然后计算出这些修正值的平均值，这个平均值就是跑步者要采用的速度修正值。例如，假设这些跑者在某一时刻形成了非常紧密的小组，藏本由纪的规则是告诉领跑者要放慢自己偏爱的速度，因为他察觉到了所有人都在身后；位于小组中间的跑步者会收到混合信息，即有些人告诉他要加速，有些人告诉他要减速；而落后的跑步者会感受到同伴的压力，从而提高自己的速度。

所有这些修正每时每刻发生在每个振子身上。为了使振子之间的相互协调更有趣，我们可以假设跑步者们在跑道的随机位置开始。开始的时候没有小组，即使形成了小组，也未见得会出现在最前面领跑的位置，任何位置都是可能的。小组的形状自始至终都在发生着变化，交替领先，就像跑步者们自行按部就班一样。

我们并不清楚一段时间后会发生什么。田径明星可能会脱离小组，并开始套他们的圈，而懒散的人则会落后，或者甚至根本没形成小组。速度分布的范围可能太大，使得俱乐部分崩离析，跑步者四散到跑道各处。在这种情况下，每个人接收到的都是混合的信号：快点！慢点！这时，速度修正就被抵消了，每个人都开始按照自己偏爱的速度奔跑。

在藏本由纪对于这种混乱状态的分析中，他发现用一个单独的数字来量化同步的程度是有帮助的，这个数字叫作“序参量”（见图2-4）。

图2-4　同步程度量化

直观地讲，相对于每个人一个接一个地跑，肩并肩跑步是一种更紧密的同步形式，因此应该有一个更高的同步分数，即更高的序参量。序参量的数值总是介于0和1之间，由一个数学公式计算而来，数值大小取决于每个人的相对位置。一种极端的情况是，每个人都处于完美的同步状态，此时的序参量等于1；另一种极端情况是，跑步者随机分散在跑道上，此时的序参量等于0；而一个松散小组的序参量小于1。

与温弗里不同，藏本由纪并没有使用计算机来为系统的行为提供线索，而是仅仅听从了直觉的指引。这使得他猜测的最终结果更具先见之明：藏本由纪预测，从长远看，群体总是会进入一个尽可能稳定的状态。跑步者仍在前进，但他们在小组中的相对位置并没有改变，所以序参量是恒定的。此外，小组自身也会按照由其成员决定的某个折中的速度平稳前进，在藏本由纪看来，这个速度应该也是恒定的。

这是一次大胆的数学猜想，藏本由纪只寻求那些与他的直觉相匹配的方程的解。如果方程的解中没有恒定的序参量和恒定的小组速度，那么他就选择无视。他知道自己寻找的是什么，并准备无视其余的一切。这是一种大胆的思考方法，因为如果真相并非如他所想，就会被错过。另一个危险是，他可能会徒劳无功，因为可能并不存在他所期望的解的类型。然而，藏本由纪认为这种解一定存在，于是便开始着手寻找它们。为了给自己尽可能大的灵活性，他没有提前指定序参量和小组速度，只是规定它们必须是恒定的。确定它们的数值是问题的一部分。

藏本由纪发现，这个系统能够以两种非常不同的方式满足他的要求。序参量可以永远等于0，这意味着群体完全且永远是杂乱无章的。小组从未形成过，你会看到跑道各处分散着各种速度的跑步者，这是系统距离同步最远的状态。令人惊讶的是，无论跑步者的能力千差万别还是不分伯仲，这种“非相干状态”总是一种可能的结果。即使他们的速度完全相同，一旦最初设定完成后，这种“非相干状态”就会永远持续下去。直观上的感觉是，跑步者没有受到影响，没有小组吸引他们加入，所以我们默认每个人都在按照自己偏爱的速度跑，整个群体依然像先前一样混乱。另一种可能性是“部分同步”状态，由三个小组组成：由平均水平的跑步者组成的同步小组；由懒散的龟速跑步者组成的非同步小组；以及由田径明星组成的非同步小组。与前一种“非相干状态”不同，这种状态并非总会出现。藏本由纪发现，只有差异在一个特定的阈值之内时，这种状态才会出现。如果钟形曲线比这个阈值更宽，就意味着俱乐部成员的差异相当大，此时“部分同步”状态便会出现。这暗示着，在萤火虫或脑细胞群体中，振子必须极为相似，否则将不会出现同步。

藏本由纪一举证实了维纳和温弗里两人的观点。“部分同步”状态正是维纳构建阿尔法脑波模型时所思考的。维纳的脑电图谱中央的窄峰对应同步小组，两侧的尾巴对应太慢或太快的难以被吸收进小组的非同步振子。而温弗里曾发现的相变与藏本由纪发现的阈值相同。他们二人都意识到，只有群体成员足够相似，同步小组才会形成。而维纳漏掉了这重要的一点。

令人感到新奇和振奋的是，除去看到了相变以外，藏本由纪还为它推导出了正确的公式。此外，他还可以精确地计算出小组的有序程度，即一个钟形曲线宽度的函数。藏本由纪的公式表明，一个微小的同步核心会诞生在阈值处，此时序参量略微大于0。随着振子差异的减小，它们会变得更加相似，序参量随着同步小组吸引的群体中更多的成员而增大。最后，当钟形曲线宽度等于0时（对应于全同振子），藏本由纪的公式预示了一个完美的有序状态，即所有振子全部同步。

◎　　◎　　◎

1986年，我刚博士毕业不久，开始与波士顿大学数学家南希·科佩尔一起攻读博士后。南希40岁出头，刚刚开始她的职业生涯。她风趣而又富有魅力，是一位深刻的思想家，同时也是一位迷人的讲师，当时被公认为最优秀的数学生物学家之一。特别是，她和她的合作者巴德·艾门特劳德（Bard Ermentrout）制造了一次轰动，他们把新的数学方法带到了对神经系统的研究中。我们在开会时见过几次面，当时我的目标是深化自己的数学训练，她似乎是我职业生涯下一阶段的理想导师。当我提出想研究多振子问题时，她建议我深入研究一下藏本由纪的模型。

我立刻被藏本由纪的模型迷住了。在我的研究生课程中，教授总是教导我们说，大型非线性系统是魔鬼，几乎不可能解决。然而，这里就有一个解决方案，它十分完美，也并不难以理解。在仔细阅读藏本由纪的论证时，我发觉自己开始一行行地跟随着他的脚步前行。南希笑对我的热忱，然后温柔地指出了藏本由纪的论证中存在的所有缺陷和不合理的逻辑跳跃。对于一个初出茅庐的数学家而言，我在这里看到了大量的机会。我想要通过自己的工作让藏本由纪的推测站得住脚。转年，我开始和南希一起工作，试图证明一个我们二人都坚信正确的理论。尽管我从未成功解决这个问题，却也越来越痴迷于这个模型。

甚至在博士后学习结束以后，接下来的数年时间里我仍然在断断续续地思考那个模型。让我着迷的问题是，秩序究竟是如何从随机状态中涌现的？一个由数以百万计的粒子组成的系统如何自发地组织自己？这个问题听起来很神秘，带有浓厚的宗教色彩，不禁让人们联想起《圣经》中的创世故事，《圣经·创世纪》中记载，地球的开端是虚空且未成形的，古希腊人把这种状态称为“混沌”。

我们可能永远也无法理解宇宙中的秩序的起源，但是在藏本由纪的模型所假想的宇宙中，这个问题简化了许多，我们可以用数学解决它。在这里，创世问题变成了“非相干如何产生同步”。有一天我突然意识到，有一个简单的方法可以把这个问题构建成解微分方程组的问题：我需要将非相干视作一种平衡状态，然后计算它的稳定性。

为了澄清这些熟悉的词语，即平衡、稳定的数学意义，我们可以想一下房间中的一些例子。如果我们把一杯水放在厨房的桌子上，水会在杯中左右摇晃一两秒，然后平静下来。水面呈水平时，这就是平衡状态。从这个意义上讲，水会永远保持这种状态。另外，平衡也被称为稳定，因为如果我们摇一摇杯子，然后停止，过一会儿，水面仍会恢复到水平。因此，平衡意味着没有变化，稳定意味着轻微的扰动消失。现在再来看看另一个例子。拿一支削尖的铅笔，将它笔尖朝下竖立起来，使保持平衡，然后放手。如果铅笔完美地保持了平衡，它将会继续立在那里，根据定义，这也是一种平衡状态。但很显然它是不稳定的：即使是最小的空气扰动也会将铅笔吹倒，而且它再也无法自己立起来。

对于藏本由纪的模型，非相干是一种平衡状态。如果各个频率的振子均匀分散在圆周上，那么它们会永远均匀地分散着。虽然振子围绕圆周运动，但是它们的间距始终保持不变。这里有一个悬而未决的问题是：这种平衡是像杯子中的水一样稳定，还是像笔尖立在桌子上的铅笔一样不稳定？如果它是不稳定的，那么就将意味着同步会自发出现，跑步者最终会形成一个小组。

这个问题困扰了人们15年。藏本由纪曾公开表示自己对它感到好奇。在书中，他还曾写到自己不知道该如何开始。这个问题令人困惑，因为振子有无限多种不同的方式达成“非相干状态”，这正是困难之处。非相干并不是单一的状态，它是由无穷多个状态组成的大家庭。

◎　　◎　　◎

多年来，我一直不知道如何在稳定问题上取得进展。后来，在一个深夜，在入睡前的黎明时分，一个奇怪的画面进入到了我的脑海中：振子并不真的像跑步者，而是像流体中的分子。正如水是由数以万亿计的离散的分子组成的，这个虚构的“振子流体”由数以万亿计的围绕圆形跑道运动的离散点组成。这个图景着实比藏本由纪的模型更古怪。我需要将分布图中的每一种频率设想成不同的流体，这里有无限多种不同的频率，如同彩虹的色彩的混合。所以，我构想了一道由各色流体组成的彩虹，所有流体都围绕同一圆周旋转，从不混合，正如振子永远不会改变其固有频率。这个迷幻构想的优点是：非相干变成了一个单独的状态。它不再是一个拥有无穷多状态的大家庭，而是只有一种均匀密度的状态，即各种颜色的流体均匀地分散在圆周上。

我从床上跳了下来，抓起纸笔。梦境中的想法往往是幻想，但这次感觉像是正确的。我要做的，首先是让流体力学定律适用于我假想的振子流体。然后，我列出了检测稳定性的方程组：对平衡状态的系统施加干扰，求解扰动方程（这些方程是可解的，因为它们是线性的，即便初始系统并非线性），检测干扰是增强还是减弱。

这些扰动方程表明，问题的答案取决于振子的相似程度。如果它们完全相同，或几乎相同，那么当振子同相聚集在一起，处于同步初期的时候，扰动会呈指数级增加。接着，指数增长率公式便可脱口而出（类似于利率与你在银行中的存款增长速度的关系）。先前从未有人发现这样的公式。无论对错，这都是一个确定的预测。我当时还在想，到了早晨，我一定要在电脑上验证它。

当我一行行写出计算过程时，手心一直在出汗：我的设想全都是正确的。我看到了秩序的诞生，然后我停了下来。是否存在一个临界频率，使增长率降为0，并且使“非相干状态”不再稳定呢？是的，临界状态就出现在藏本由纪发现的阈值处，这下我放心了。我刚刚发现了一种计算相变的新方法，即自发同步第一次出现时的临界点！

天亮后，我打电话给同事伦尼·米洛罗，把自己的发现讲给他听。我描述了自己关于振子流体的想法，但没多久他就打断了我：“这是什么诡辩？”作为一名纯数学家，他从未研究过流体力学，他喜欢直来直去、不附带任何形象的描述。对他而言，整个计算听起来有些可疑。当天晚些时候，我去了办公室，证实了预想的增长率与计算机模拟结果完全一致。于是，伦尼很快认同了我的想法。

我们一起解决了阈值另一侧的“非相干状态”的稳定性，这里的频率分布范围很大，类似于冰点之上的温度。我们期望“非相干状态”现在可以变得稳定，但是方程告诉我们它是“中性稳态”，这是一个非常罕见、边缘性的情形，此时的“瞬态干扰”既不增加也不衰减。

我们可以设想一个光滑的半球形碗底部有一个弹珠，如果你把弹珠从碗底移开，它会滚回来：碗底是一个稳定的平衡点。现在我们假设碗的形状可任意调整，通过转动旋钮，你可以逐渐把它变为较平坦的形状，它的曲率更小，像一片巨大的隐形眼镜。这样的碗底仍然是稳定的，但稳定性比前者差一些：移走的弹珠会慢慢滚回来。随着你继续转动旋钮，碗的形状变得越来越扁平，旋转到一个临界值的时候会变成完全水平的形状，接着，它会变成一个倒置的隐形眼镜，一个平缓的穹顶，直至最后变成一个倒扣的半球形。在变形过程中，碗底变成了穹顶的顶部。而移走的弹珠会从侧面滚下来，平衡状态也变得不稳定了。改变发生在稳定与不稳定之间的临界边界，即隐形眼镜变成完全平坦的时候。当旋钮转到这个位置，且只有这个位置时，平衡既不是稳定的，也不是不稳定的，这就是中间状态——“中性稳态”。从中性平衡状态移走的弹珠不会滚回来，但也不会滚远。

这个比喻表明，“中性稳态”通常只发生在转变过程中，发生在系统参数设置（那个控制其属性的“旋钮”）为临界值的时候。但是藏本由纪的模型打破了这个规则，它的“非相干状态”固执地停留在“中性稳态”，即使我们加宽钟形曲线，使群体更多样化，结果依然如此。在较广的范围内调节旋钮并不会带来任何改变。

我们同麻省理工学院应用数学专业的导师保罗·马修斯讨论了这一令人惊奇的结果。保罗进行了一些计算机模拟，结果却让它变得愈加神秘了。他使用了一种不同的方式来检测稳定性，即通过计算序参量的长期状态，发现它呈指数级快速衰减，这通常是稳定状态的鲜明特征，而非“中性稳态”。现在我们更加困惑了，为什么通过一种测量方法检测到的非相干是“中性稳态”的，而用另一种方法测得的结果却是稳定状态的？

几周后，保罗在他的祖国，英国华威大学做了一个演讲，并描述了我们得到的奇怪的结果。听众中的一位教授乔治·罗兰兹（George Rowlands）对保罗讲，他看到的并没有那么奇怪：学界称之为“朗道阻尼”，等离子体物理学家列夫·朗道（Lev Landau）在45年前就发现了这种现象。

我们几人都对等离子体不甚了解，但我们都听说过朗道。朗道是20世纪最重要的物理学家之一。在一个专业化的时代，他掌握了理论物理学的每一个分支，从亚原子粒子到流体中的湍流。列夫·朗道是个个性张扬、脾气暴躁的天才。1962年1月7日，他在莫斯科市郊发生的一场车祸中几乎丧命，职业生涯因此终结。撞击导致了他全身11处骨折，颅骨遭到重创，胸部被刺穿，膀胱破裂，昏迷不醒。连续100天，他的脑电图都不再显现生命体征，医生用呼吸机勉强维持着他的生命。期间有4次他被宣告死亡，每一次都靠医生竭力救治得以起死回生。同年晚些时候，朗道被授予了诺贝尔物理学奖，以表彰他在10余年前的发现，他用量子理论解释了超流态氦在温度接近绝对零度时的奇异状态。1964年10月，朗道终于出院了，但他并未完全康复，在几年后与世长辞。

朗道做出的诸多贡献之一是，他在20世纪40年代末曾预言了关于等离子体的反常现象。等离子体有时又被称为“物质的第四态”，温度比固体、液体或气体更高。它们被发现于太阳和热核聚变反应堆中，此时，普通的原子被加热成为一种离子化的气体，由数量大致相等的电子和带正电荷的离子组成。当静电波穿越高度稀薄的等离子体时，这种被称为“朗道阻尼”的矛盾现象就会出现。朗道表示，即便粒子之间没有碰撞，也不存在任何形式的摩擦或耗散，静电波仍然会衰减。乔治·罗兰兹意识到，支配“朗道阻尼”的数学机理本质上与藏本由纪的模型中衰减到“非相干状态”的机理相同：等离子体中的电子相当于振子，它们在电场中产生的电波的大小相当于序参量。

令人吃惊的是，太阳中的超热等离子体中存在一个暴力世界，在这个世界里，原子会被习惯性地剥掉电子；另一个是生物振子的和平世界，在这个世界里，萤火虫会安静地沿着河岸闪光，而这两个世界中间居然可能存在着联系。虽然演员不同，但是它们的相互作用的抽象模式是相同的。一旦这种联系被发现，我们就可以把朗道的技术转移到藏本由纪的模型中，进而解答这一持续了数年的谜题。匹兹堡大学物理学家约翰·戴维·克劳福德（John David Crawford），从生物同步性的研究中获得了启发，进而解决了一个长期存在的关于等离子体特性的问题。

◎　　◎　　◎

生物振子如何互相同步的理论从数学角度讲是成功的，它们揭示了自然界最基本的自组织机制之一。然而，一个更为棘手的问题是：这些模型是否忠实地描述了现实？它们所预示的现象是否与从真实的萤火虫、心脏起搏细胞或神经元中得到的数据一致？

我们并不知道答案，迄今为止还未测试过。进行实验很困难，因为需要在单个的动物和细胞的级别进行测量，特别是它们的固有频率以及它们对于不同强度、不同时长的刺激的反应；也需要在整个网络的级别进行测量，以量化各个振子之间的相互作用。如果把振子放在网络里测量，就可能会受到其他振子的影响；如果把振子从网络中移出来，无论是像外科手术那样摘除，还是采用其他方式，过程中都可能损坏周围的振子和它们之间的连接。另外，除了几个小神经元系统以外，网络之间的连接通常是未知的。如果不了解谁在与谁相互作用，我们就无法定量测试模型。例如，在一棵满是萤火虫的树上，你必须要搞清楚那些能看见其他同类的萤火虫，并逐个测量所有萤火虫的固有闪光速率，最后还要测量每只萤火虫的“影响度函数”和“灵敏度函数”。甚至没有人尝试过只包含两只萤火虫的实验，更不用说成群的萤火虫了。

偏向于定性的实验会证实或否认相变的存在。我们预测，同步的程度是急剧增加的，而不是渐进的，因为耦合强度或频率分布是通过临界值调整的。同样，实验仍然十分棘手。为了改变萤火虫之间的耦合强度，你需要将它们放在黑暗的房间中，然后用调光器调节房间内的光线强度，使得萤火虫可以更容易或更困难地看见彼此。想要做到这些很容易，但要测量这群萤火虫所有的同步闪光模式却是极其烦琐的。如果没有这些信息，就没有办法确定同步的程度，因此也就无法确定是否发生了相变。用神经元进行类似的实验可能会稍容易一些，但我们必须用药物将细胞逐渐分开，并同时记录每一个细胞（再次强调，技术上很难实现），还要确保药物只改变了细胞之间的耦合，并没有改变其他属性。目前还没有人尝试过这一实验。

或者，我们可以考虑维纳的频谱中那条从两侧凹陷中升起的狭窄的中央高峰。这是维纳“频率牵引”理论的基石，鉴于其核心作用，我竟然从未听说过它被复制，这使我疑惑不已。另外还有些东西也很可疑。如果维纳和他的合作者果真发现了确切的证据，即他认为是同步标志的双凹陷频谱，那么他为什么不给出数据，使之不言自明呢？在维纳写于1958年的书《随机理论中的非线性问题》（Nonlinear Problems in Random Theory）中，维纳提供了我们之前看到的频谱的示意图，完全对称的波峰从完全对称的两个凹陷中升起，都准确地集中在10赫兹的位置上。随后，在1961年版的《控制论》中，他终于提供了一些真实的数据（大概是他所拥有的最具说服力的例子），然而却并未出现他钟爱的凹陷。

几年前，我询问数学生物学家及脑电波专家保罗·拉普（Paul Rapp），是否在自己的实验中见过这样的频谱。保罗的回答是否定的，但他认为如果频谱是真实的，应该不难发现。为了寻找这种效果，他进行了一系列新实验，即使采用了今天更先进的技术，也仍然一无所获。难道维纳是在欺骗自己吗？这凹陷只是维纳丰富想象力的产物吗？我不愿相信，同时，这也让我备感宽慰，让我有兴趣去了解1958年发生的真实故事。

◎　　◎　　◎

2001年7月，我在参加一个应用数学的会议时，偶然中与杰克·考恩进行了一次谈话。考恩是一名理论生物学家，长期致力于大脑的数学模型研究。鉴于他可能了解许多关于阿尔法脑波的知识，我问他是否熟悉维纳的旧理论。他微笑着回答“是的”。考恩当时是麻省理工学院的一名博士后研究员，维纳强迫他听了“200次”关于特殊频谱的故事。他说：“维纳喜欢抓人做他的听众。”

考恩于1958年7月进入麻省理工学院，成为沃尔特·罗森布里斯带领的通信生物学小组的一名研究生。在那段时间里，罗森布里斯小组的一名助理研究员玛格丽特·弗里曼（Margaret Z. Freeman）首次对频谱进行了测量，正是她发现了频谱中显著的波峰和两个凹陷，使维纳大为欢喜。虽然结果并不确定，但维纳还是高兴地在自己写于1958年的书中对其进行了吹捧。

但事实上，弗里曼的结果是错误的。“有些人试图复制她的结果。”杰克对我说，“最终却一无所获，因此他们知道一切都是错的。”弗里曼在她的计算中犯了一个错误，当她再次核查时，凹陷便消失不见了。

但是太晚了，维纳的书已经出版，书中公布了频谱的示意图。三年后，在《控制论》出版时，他有了改正错误的机会。这次，他选择了向公众展示真实的数据。下文是他对于频谱的描述：

在检查曲线时我们发现，在频率为每秒9.05次附近时，曲线有一个显著的下降。此处的频谱有一个极速的衰减，它为我们提供了一个客观的数量，它的验证精度高于迄今为止出现在脑电图上的任何数据。

这是维纳最自信的声音，这位天才教给了脑电图专家很多东西。但随后他的语言变得不确定，做了许多假设。

我们已经获得的其他曲线中有一些疑点，其细节的可靠性存在一些疑问，在突然的下降后面紧接着一个突然的上升，所以在二者之间我们看到了一个凹陷。无论是否存在这种情况，都表明存在一个强烈的暗示：波峰对应的是将从曲线低处牵引过来的能力。

当我10年前第一次读到这里的时候，这模棱两可的语言让我目瞪口呆。这完全不像维纳的风格，他的文字通常大胆而直接。但当我现在阅读它的时候，他的文字几乎让我感到心酸。我感觉我可以听到一个男人同自己挣扎的声音，这是一名科学家执着于一个自认为绝对正确的思想，然而又鼓起勇气尽力做到理智上的诚实。尽管任何人都找不到这个凹陷，但维纳让我们相信在其他记录中凹陷是存在的，而他却并没有妄下定论；他承认那些其他的记录是“可疑的”，并说其中存在凹陷只是“将信将疑”。无论凹陷存在与否，他的最后一句话表明，他不会放弃这个想法——振子通过彼此之间的“频率牵引”实现同步。他确信这是一种普遍的同步机制，意义重大。维纳拒绝成为赫胥黎所说的“用丑恶的事实屠杀美丽的假说，是科学的最大悲剧”的受害者。

维纳像一个能够看到世界运行规律的先知。我们在其他一些伟大的科学家身上也能看到这一点。如果伽利略满足于描述真实发生的事情（摩擦力会使物体停止运动），他就不会发现运动中的物体倾向于保持运动的状态（惯性定律）。通过忽略非必要因素，他发现了最基本的力学定律。孟德尔通过研究豌豆的遗传模式，发现了遗传学定律。但一些现代统计学家质疑他的数据，认为它过于简洁，缺乏说服力，而其他人更进一步暗示孟德尔精心挑选了最能说明他所寻求的规则的农夫。无论你相信哪种观点，但很显然孟德尔确切地知道自己在寻找什么。

虽然维纳在阿尔法脑波节律上犯了错误，但对于大脑中的一种不同的节律，他的观点却是正确的。1995年，马萨诸塞州总医院的生物学家戴维·韦尔什（David Welsh）和史蒂夫·里珀特（Steve Reppert）发现，大脑中确实包含了振子按照固有频率分布的群体，这个振子群体通过“频率牵引”实现同步，共同而不是单个地构成了一个精度更高的振子。维纳预料到了所有这一切，但他错过了一个重要的细节：这些细胞的运动频率不是10赫兹，而是要慢大约100万倍。这些细胞是昼夜节律起搏细胞，它们是让我们保持与周围世界同步的内部计时器。

03
睡眠周期：同步与非同步的斗争

像所有的新生儿一样，我的女儿莉亚在她生命中的前3个月里是个自由主义者。她的饮食和睡眠毫无规律。到11个月大的时候，她可以整夜安睡，但有一个小问题：她总是会在早晨5：20唤醒我和我的妻子。她会抓着婴儿床的栏杆，把自己拉起来，机智地咳嗽几声，表示自己准备要吃早餐了。虽然知道不应该抱怨（有些父母面对的情况更糟），但我们仍然希望她能至少再晚一小时起床。为了让她晚起床，一天晚上，我们试着让她晚睡。毫无疑问，这个办法适得其反：转天早晨5：20，相同的咳嗽声又从她的卧室传了出来，且因为睡眠不足，一整天里，她都用大发脾气来惩罚我们。

以上两种时间问题从根本上讲都是同步作用的失效。作为一个新生儿，莉亚完全无法同步；她的入睡、苏醒以及饮食规律，相对于世界的每日周期毫无规律地变化着。11个月大时，她表现出了相反的问题：她的节律过于执着于同步，牢牢地绑定在了一种特殊的24小时模式上，同样令我们无法忍受。

不仅是婴儿和他们的父母会遭受这种混乱的同步和随之而来的睡眠紊乱。美国有研究表明，青少年喜欢熬夜到很晚，早上起床上学有困难，这并非因为他们天性懒散，而是因为他们体内的生物钟设置比成年人落后了几个小时。这一研究也正在受到社会层面的关注。另一方面，许多老年人清晨便早早醒来，即使户外仍然漆黑一片。他们醒来后便无法再度入睡，感到疲惫不堪。

其他类型的同步紊乱与年龄无关，其中一些是我们自己带来的，主要源于全天候的工作时间表。有着数以千万计的护士、卡车司机、核电站操作员以及其他白夜班交替颠倒岗位上的工人正因此受到医疗和家庭问题的困扰；印度博帕尔、苏联切尔诺贝利以及美国三里岛的工业事故和核事故都发生在午夜至凌晨4点之间，正是时间表颠倒造成了头脑迷糊和判断错误：这些都是同步紊乱的副产品，都是我们的身体与新24小时社会的需求失调造成的。

当你开始思考其原因的时候，你会发现自己居然可以轻松地与世界保持同步，这是多么不可思议。然而，盲人们可不把它看作理所应当：大多数盲人无法遵循24小时的时间表。他们每隔几周就会完成一次与世界同步或异步的切换，这使得他们很难维持一份工作，履行社会义务。一位盲人女性说：“失明尽管有不便之处，却没有太大关系，但是非同步的睡眠周期简直糟透了。”

鉴于此，我们健全人更应该珍惜同步的奇迹。当然，我们很少思考同步，因为它都是自然发生的。数百万年的进化使得我们的身体可以自发与昼夜更替协调一致，但它是如何进行的呢？我们常谈论生物钟，但它们究竟是真实存在的还是仅仅是一种修辞而已？它们又在哪里呢？是在大脑中还是在每一个细胞中？它们的生化机制是什么？它们如何彼此同步？是什么使得它们保持了与昼夜循环一致？经过数十年的研究，大部分问题的研究进展缓慢、令人沮丧，但是有些谜团的答案终于触手可及。对于生物钟的研究已成为当今最热门的科学领域之一。

已有的研究显示，人体就像一个复杂的结构，一种由有生命的振子组成的层次结构。更生动地说，人体就像一支巨大的管弦乐队。演奏者是个体细胞，它们天生具有24小时的节奏感，这些演奏者又分为不同的部分。我们可以把肾脏和肝脏看作管弦乐器，各个器官都由成千上万的细胞振子组成，单个器官内的振子相似，不同器官之间的振子不同，但它们全都保持着24小时的生物化学节拍，都在恰当的时间开始或停止演奏。在每个器官内，基因群组在一天中的不同时间处于活跃或空闲状态，以确保器官的特征蛋白质按计划生成。这首交响曲的指挥是昼夜节律起搏器，它们是大脑中成千上万的时钟细胞的神经元群体，自发同步为一致的单元。

同步可以分为三个不同的级别。在最低、最微观的级别，特定器官内的细胞是相互同步的，它们的化学节律和电节律的变化步调一致。在下一个级别，同步发生在各个器官之间，从这个意义上讲，即使细胞分化成了不同的类型，它们仍保持在同一时期。这种同步发生在身体内部，因此被称为“内同步”。这并不意味着所有器官在同一时间都是活跃的，相反，有些是沉寂的，有些则运转良好。同步是指周期匹配，保持相同的节拍，就像演奏者即使在安静等待的间隙，也保持着他们头脑中的节拍。第三级别的同步发生在我们的身体和周围世界之间。正常情况下，我们生活在有规律的时间表中，如白天工作、夜晚休息，等等，整个身体与24小时的一天保持同步，主要被昼夜交替所驱使。这个与外部世界保持步调一致的外同步过程叫作“牵连”。

目前，我们关于人类昼夜节律的最优秀的理论主要是描述性的，而非数学上的。这是必然的，因为我们缺乏对系统的结构和动力学特性的深入了解，它的层级组织似乎比先前讨论的振子群体的简单模型要复杂得多。一群萤火虫可以近似为自维持振子的集合，所有个体都是相同或几乎相同的，几乎都在同一时间发射。从这个意义上讲，同步的萤火虫的复杂水平相当于单个的器官，或在音乐上相当于管弦乐队中的一个单一的部分。而我们才刚开始学习这些部分如何在一起合奏，以及起搏器如何和谐地安排它们。换句话说，我们正在努力学习昼夜节律交响乐的规则。

可以确定的是，这种规则是存在的，因为我们可以在更大的尺度上看到它们的表现，即在整个人体的行为中的表现：它们体现在我们的睡眠与觉醒、激素波动、消化、警觉、敏捷性以及认知表现的日常节律中。在这个更高的级别上，科学家最近发现了人类醒睡周期和其他昼夜节律的神秘规律，虽然这些规律的微观基础仍是个谜。在这方面，我们的现状与遗传学早期的发展类似。孟德尔发现，豆科植物的各种特性会按照特定的数学规律传给它们的后代，而且这些模式可以用被称为“基因”的假想实体解释，基因会按照特定的规则重组。所有这些都是在我们了解基因以及基因在DNA链中的具体体现很久以前完成的。同样，我们现在知道，人类的昼夜节律遵循着自己的规律，尽管我们仍然对其基本的生化基础一无所知。

至于同步对我们生活的影响，最直接的问题之一是昼夜节律起搏器如何影响睡眠。这个难题的一部分已经在很大程度上得到了解决，多亏了一个戏剧性的实验。在实验中，勇敢的志愿者们数个月内独自生活在黑暗的地洞中，没有时钟、没有窗户、完全与每日的时间信息隔离，完全按照自己的意愿睡觉或起床。这些研究的结果非常奇怪，然而在这种模式诱人的暗示之下，阿瑟·温弗里宣称：“罗塞塔石碑(5)已经出现在我们之间。”通过破译昼夜节律的密码，科学家和医生正在学习如何设计更好的轮班工作时间表，治疗先前几种难以医治的失眠。他们甚至解释了一些生活中的小秘密，例如为什么许多文化传统中有午睡的习惯，以及为什么我们经常在周日晚上难以入睡。

◎　　◎　　◎

1972年2月14日，米歇尔·西弗尔（Michel Siffre）凝望着得克萨斯州德尔里奥小镇附近的风景，享受着接下来6个月内的最后一缕阳光。然后他勇敢地朝着电视摄像机笑了笑，拥抱了他的母亲，同他的妻子吻别，沿着约30米的立轴下降到“午夜洞穴”的深处。在地下，等待他的是一个营地，摆放着科研设备、家具、尼龙帐篷、冰柜、食品，以及780罐规格为每罐3.8升的水。

西弗尔是法国地质学家和睡眠研究者，他将要亲自尝试一次前所未有的最精密的时间隔离实验。在美国国家航空航天局的协助下，他和他的研究团队想研究在没有时钟、日历以及其他一切时间提示的条件下，人类生活的基本节律。在1962年时，他曾尝试过一次，那是首次以人类作为实验对象进行时间隔离实验，他在阿尔卑斯山的地下洞穴忍受了两个月的寒冷和孤独。当他从地洞中出来的时候，正如他所言，已经变成了“一个半疯狂的、支离破碎的木偶”。这种苦难的体验提供了人类生物钟的首个科学证据：人类有着天生的生物钟，其周期略长于24小时。

现在，实验在“午夜洞穴”中进行，这里的温度长期保持在21摄氏度，西弗尔希望能有一次更愉快的体验。然而，实际情况却更糟。孤身一人在山洞生活了6个月后，西弗尔的意志几近崩溃。他的电唱机坏掉了，书籍变得发霉而无法阅读。为了缓解无聊，他试图用果酱诱捕一个同伴——一只小老鼠，而临时用来做笼子的砂锅却在无意间击碎了小老鼠的脑袋。

数个月的昏睡和痛苦日复一日地持续着，到了第79天，西弗尔打电话给地面上的同事祈求解脱：“我受够了！”同事们告诉他：“好的，一切都会好的。”面对着黑暗，呼吸着山洞中混合着蝙蝠粪便的灰尘，他开始产生自杀的念头。在实验的最后一天，大自然差点接纳了他：西弗尔遭到了电击，电击来自记录他心律的电极，或许是远处的闪电击中了地表，渗漏到了电线中。西弗尔在遭到了至少三次电击后才想到断开设备，这反映出了他的智力下降极其严重。

幸运的是，实验得到了一些显著的结果。西弗尔在洞穴生活的前五个星期里，他不知不觉地生活在26小时的周期中。相对于外界的时钟，他每天大约晚2个小时起床，却维持着正常的时间表，每天的睡眠时间大约占1/3。

与此同时，西弗尔的体温起起伏伏，就像我们每天的体温状况一样。这可能会让人感觉意外：与我们大多数人被灌输的知识相反，健康人的体温并不固定在37摄氏度或其他水平；一天中，它通常的波动范围为0.8摄氏度，即便我们躺在床上不做任何事情也是如此。正如威廉·奥格尔（William Ogle）医生于1866年首次提出：“清晨我们还在熟睡的时候体温会上升，傍晚尚未入睡的时候体温会下降……这并不是由于光的变化，可能是由于器官功能活动的周期性变化而引起的。”

现在，西弗尔证实了奥格尔一个世纪前对于体温周期变化原因的精确预测。在条件恒定的洞穴中，西弗尔忘记了白天和黑夜，除了自身生理机能的节律以外，没有任何时钟。脱离了外部世界24小时的影响，他的“器官功能”（通过体温反映出）与他的醒睡周期同步，共同按照独特的26小时周期循环。事实上，西弗尔总是在他的体温触底时去睡觉，尽管他意识不到这些。

在实验中期，西弗尔的表现就像一只仓鼠、一只果蝇以及其他在时间隔离实验中研究过的生物一样。有些生物的周期循环比24小时稍快，有的稍慢。例如，一只关在笼子里放在黑暗环境中的小白鼠，它会在一个可预测的时间快乐地跳上它的转轮，跑上数公里，这个时间每天大约会提前半小时。据此我们可以推断，小白鼠拥有一个固有周期为23.5小时的昼夜活动节律。将含羞草放在恒定的人造光条件下，它会以22小时的周期规律性地展开和合拢它的叶子。几乎所有的生物，从猴子到微生物，当在没有时间线索的情况下“自由运行”的时候，它们都表现出了类似的恒定节律。

然而，在实验的第37天，西弗尔失去了与所有其他物种的相似性。他的身体出现了奇怪的现象，只有人类才会如此：他的睡眠与体温节律分开了。他熬夜度过了自身体温周期的最低点，基本上会熬通宵，然后睡15个小时，相当于平常的两倍。在接下来的一个月中，他的作息时间表来回摇摆，有时保持原来的26小时模式，有时又莫名其妙地开始了另一个极长的醒睡周期，长达40或50小时。然而，西弗尔对此毫无察觉。整个过程中，他的体温节律从未超出或少于26小时的周期。

这种奇怪的现象叫作“自发体内非同步”。它的含义是，两个昼夜节律（睡眠和体温）可以在同一生物体的不同周期中运行。自从1965年德国生物学家尤尔根·阿朔夫（Jurgen Aschoff）首次提出这一现象之后，研究人员一直困惑于人体时间秩序的瞬间崩溃，尤其是动物和植物从没有这种体内非同步的现象。当西弗尔检查自己的数据时，他也很困惑。“参差不齐，似乎是随机的。”他在实验结束三年后如此描述。

现在我们知道，西弗尔的醒睡周期并不是随机的。事实上，它遵循着简洁而美丽的数学规律。更令人惊讶的是，同样的规律也支配着所有参与时间隔离实验的人类受试者。这种普遍结构的首个暗示是由纽约一所医院的一名年轻的研究生发现的，这名新手日后将成为全球研究人类昼夜节律的权威。

◎　　◎　　◎

在20世纪70年代中期，埃利奥特·韦茨曼（Elliot Weitzman）和他的学生查尔斯·切斯勒决定尝试公开进行时间隔离实验。当时世界上只有三个团队从事该领域的研究工作：法国的西弗尔团队、德国的阿朔夫团队以及英国的约翰·米尔斯团队。毫不夸张地说，这是一项耗资巨大、需精心策划的实验，但它对于人类医学和生物学潜在的回报是引人注目的。

在纽约市最北端的布朗克斯区蒙蒂菲奥里医院一幢旧楼的5楼，韦茨曼和切斯勒建造了一个完全隔音、没有窗户的设施，由三个单人卧室和一个中央控制室组成。他们在报纸上刊登广告招募受试者，希望吸引工匠、艺术家或需要完成毕业论文的研究生。总之，任何有长期项目或其他有充分理由需要与世隔绝1～6个月的人都是绝好的受试者。受试者必须通过心理测试。如果有人中途发疯，不得不退出实验的话，那么结果将是灾难性的，因为这项研究每天都要花费大约1 000美元。

作为回报，这些人享受着奢华的休闲生活，他们每周会得到几百美元的报酬，有着免费的住处和膳食，还允许他们随心所欲地生活。他们可以在高兴的时候起床或入睡，他们可以阅读、工作、锻炼、听音乐……还可以随时要求为他们提供食物。他们甚至可以阅读过期的报纸和杂志。但另一方面，他们不能戴手表、打电话、听收音机或看电视，因为这些会提供时间信息。时间隔离实验的目的是：在受试者完全不受外界影响的最原始的状态下，观察他们的昼夜节律。基于同样的原因，受试者被禁止喝咖啡、茶水及酒精饮料；禁止服用安眠药、兴奋剂及毒品，因为这些会扰乱正常的醒睡节律。（早期对动物的研究表明，酒精和咖啡因甚至可能重置生物钟，虽然其效果相比于常见的镇定剂、兴奋剂等化学药品要小很多。）

日复一日，周复一周，韦茨曼和切斯勒昼夜不停地监视着受试者清醒时的警觉性和睡眠时的脑电波、体温和激素水平。例如，为了跟踪生长激素和皮质醇（人体的应激激素）快速波动的曲线，实验期间他们在受试者的手臂上安放了留置导管，这样实验室技术人员可以每隔20分钟提取一次微量的血液样本。同时，直肠探头也在持续测量着受试者的中心体温。为了防止温度记录中出现错误信号，受试者被告知在沐浴和手淫时要取出探头。

与地洞中的西弗尔不同，这些受试者并未与社会隔绝，也没有受到任何心理伤害。他们可以和技术人员聊天，彼此成为朋友。当然，工作人员必须小心行事，不能透露任何有关时间的信息。例如，男医生和技术人员在进入公寓前都会刮胡子，以免他们的胡子长度为受试者提供时间暗示。所有的工作人员与受试者打招呼都只说“你好”，不说“早上好”或“晚上好”，他们通过计算机随机分配来安排工作时间，所以受试者无法通过谁值班来判断时间。（鉴于他们疯狂的计划，研究工作人员的昼夜节律或许也同样有趣。）先前的一位受试者回忆了他的经历。

我大学毕业的时候身无分文，这是个赚钱的办法……我花了许多时间阅读、写作，以完成一些未完成的工作。我在一个月内做的比平常一个学期做的还多。我认为用一种特定的方法来衡量自己是否清醒很重要，所以我每天穿衬衫、系领带、刮脸。最大的一个问题是，我的裤子是羊毛的，无法将折痕熨平。所以有时我会穿着衬衫、系着领带，却穿着一条短裤走来走去！

有时我觉得自己像个囚犯，在用自己的青春换取钱财。尽管我感觉自己并没有疯，但我认为别人会认为我疯了。对于自己受到的一点点约束，我感觉很舒服。作为一名沉默的人，我很高兴。我觉得他们有些奇怪，他们更感兴趣的是我的尿样，而不是一些令人陶醉的梦。

他们每15分钟取一次血样。我的手臂上有一个导管，一个对接探头，所有这些都被连接到了一个可移动的杆子上。最初的几天感觉有些不适，但一周后就它就成了身体的一部分，就像一条尾巴……

我从不知道时间，也不惦念它。只有一次，一名技术人员走了进来，他的嘴巴里散发着金枪鱼的味道，双眼布满血丝。我对他说：“非常难熬的夜晚，对吗？”

◎　　◎　　◎

在韦茨曼和切斯勒研究的前12名受试者中，有6人出现了体内非同步。无论出于什么原因，这些受试者都反复出现了超长时间的清醒和睡眠，就像西弗尔在“午夜洞穴”中遇到的那样。有少数几人无限期地维持着这个奇怪的时间表，导致他们的平均醒睡周期长达40小时，而其余人则在长周期和正常周期之间定期交替。随着实验的进行，还有一些人的周期在有条不紊地延长着，直到他们每两天才睡一次，而他们自己却毫无意识。似乎没有任何规律或原因可以解释这几种现象中的任何一种。

切斯勒尤其对长时间睡眠者感兴趣。为什么有人会连续睡15个小时？它可以用受试者先前醒着的时间长短来解释吗？我们也许会认为，熬得太久以后，受试者会需要更多的睡眠。但当切斯勒将睡眠时间与先前醒着的时间绘制成图表之后，他什么也没发现。图表呈现为难以名状的一大团。尽管相关性统计检验显示，长时间的清醒与长时间的睡眠之间呈现出了很弱的相关性，但这并不可信。通过观察数据，切斯勒发现了很多长时间的觉醒后跟随着短时间睡眠的反例。

与此同时，全天候的生理测试结果显示，受试者的体温、皮质醇分泌以及警觉性节律总会保持稳定，循环周期略长于24小时。无论醒睡周期变得多么不规则，这三种体内节律总是非常稳定。不仅如此，它们还总是步调一致地发生变化：它们的周期完全相同，这应该是一个线索。

切斯勒尝试了另一种方法。他将睡眠周期和体温周期一起绘制在了一张二维栅格图中。研究昼夜节律的生物学家使用这种图表已经有几十年的历史了，这也是描述植物展叶节律和老鼠踏转轮节律的标准方法，但很少用于描述人类。这个术语来源于一个电视技术类比，一个被称为“栅格化”的过程将连续的电子信息流转换成一张二维图片。类似地，栅格图将实验中的数据流转换成了一个二维图表，主要是将数据分为24小时的区块，然后将它们像堆砖块一样竖直堆叠起来（见图3-1）。

图3-1　睡眠周期与体温周期栅格图

第一天位于数据堆的顶部，第二天紧接在第一天的下方，以此类推，直到实验的最后一天位于数据堆的底部。为了总结受试者某天的昼夜节律，切斯勒用黑条表示此人的睡眠时间，灰条表示此人体温低于平均值的时间。栅格图的优点是数据中的任何模式都会直观地呈现在你面前，一个严格的24小时节律会被立即认出，它是由各个条块组成的一道竖直的条纹，全都开始并终止于一天中的同一时间，而超过24小时的节律是一条向右倾斜的斜条纹。

当切斯勒为一名体内非同步的受试者绘制栅格图的时候，他立即注意到那些神秘的长时间睡眠全都排成了斜线。短睡眠也是如此，但是一条不同的斜线。两条线都平行于由体温节律的低谷所形成的斜线（见图3-2）。

图3-2　体内非同步者睡眠时间与体温周期栅格图

这个结果令人惊讶。即使从表面上看醒睡周期已经脱离了温度循环，但两者之间仍然存在持续的、一致的关系：长睡眠总是开始于高体温点，短睡眠总是开始于低体温点。切斯勒又检查了其他受试者的记录，相同的规则每次都会出现。他又重新分析了法国、德国和英国的研究团队发表过的数据，这个规则一直潜藏其中。

切斯勒破译了昼夜节律的密码。通过研究睡眠与体温周期的关系（而不是研究睡眠与时间或其他变量的关系），他发现了一个自然的参考系，一个关于体内时间的自然测度。从这个角度看，以前出现的“参差不齐的”和“随机的”数据突然对齐并卡入到位。受试者的睡眠时间并非取决于先前熬了多久，而是取决于他睡着的时间处于体温周期的哪个阶段。

为了充实这一关系的数学形式，切斯勒绘制了另一张图表，将很多次睡眠的持续时间与入睡时的体温周期的相位画在一起（见图3-3）。换句话讲，他提取了所有在低体温时开始的睡眠，并组合在一起。然后再提取所有在高体温时开始的睡眠，并组合在一起，以此类推并进行比较。他的栅格图显示，开始于体温周期中相似相位的睡眠的持续时间是相似的。他汇集了所有体内非同步的受试者的数据，其中有年轻人，有老人，有的生活在30小时的周期内，有的生活在40小时的周期内。尽管他们在其他方面都存在极大的个体差异，但睡眠时间都整齐地落在同一片数据点上，形成了一条模糊的统一数学曲线。

图3-3　睡眠时间与体温周期关系相位图

每当受试者在他们体温接近峰值时入睡，随后的睡眠时间总是很长，平均有15小时。相反，每当受试者在他们体温接近最低值时入睡，睡眠时间就会短很多，平均只有8小时左右。纵观所有相位，表示睡眠时长的数据点形成了一条锯齿波。

图上的曲线让人意想不到。与体温周期熟悉的正弦波形不同，这些数据明显是不均匀的。在体温最低点后的9～10小时左右，此时开始的睡眠时长从7小时直线上升到18小时，随后逐渐缓步下降到短睡眠。

这条斜坡暗示了一些反直觉的东西。当受试者在体温周期的晚期（体温较低的时候）入睡时，尽管他们已经熬了更长的时间，但实际上睡眠时间反而更短。同样的独特模式已经在火车司机及其他夜班工人的不规律睡眠中被观察到了，你可能也在自己参加完午夜聚会之后的睡眠中注意到了这一现象。当你最后上床时，总是希望能有一个长时间的睡眠，但当你醒来后，会恼火地发现自己仅仅辗转反侧地睡了五六个小时。问题在于，身体的内部闹钟在响。时间隔离实验的受试者几乎总是在他们的体温开始上升后的几个小时内醒来。在体温开始上升的同一时间，皮质醇（身体的应激激素）的分泌量最大，警觉性开始提高。在24小时牵连期间也是如此。所以，我们睡得越晚，醒得就越快，无论我们是否已经睡足，闹钟都会响。

以上是对这条下降的斜坡的粗略解释。为了理解图中的垂直跳跃，即睡眠持续时间可以很短或很长，也可以介于二者之间，你可以设想自己熬了一整夜，直到第二天下午。如果你此时想午睡一会儿的话，那么你可能只是打了个盹，也可能昏睡了整整一下午或一整夜，直到转天早晨才苏醒。

这种解释依赖于每天的时间与“昼夜节律的相位”（即体温周期的相位，这是在长期时间隔离的条件下唯一有生理意义的测度）之间的隐式转换。要推算真实世界中的情况，即醒睡周期和体温周期都被牵连到24小时的时钟中，我们需要将所有生物事件都与体温最低点进行对比参考。

换算公式出现在了切斯勒后来的研究中：对于生活在一天24小时周期中的人，他们的体温总是在习惯睡醒前的1～2个小时达到最低点。例如，大部分劳工在早晨6点或7点左右醒来，对于这些人来说，最低体温可能出现在凌晨4点到6点之间。睡眠时间的跳跃预计发生在此后的9～10小时之内，即下午1点到4点之间，此时正是午睡时间。

◎　　◎　　◎

切斯勒和韦茨曼发现，许多其他生理节律和认知节律与体温周期的相位有关。

例如，他们要求受试者在醒着的时候频繁地评估自己的警觉性。受试者需要为自己打分并上交，分数要画在一个连续的竖直标尺上，上面没有数值，只在顶部标有“非常警觉”，底部标有“非常困倦”，受试者只需在恰当的位置划线即可。（标尺上没有数值的原因是避免受试者自动重复以前的评估结果。）结果表明，警觉性与体温密切相关：体温低时警觉性也低，反之亦然。

让我们再次利用上文中的换算公式把昼夜节律的相位转换为时钟时间，这些时间隔离数据预示，在24小时牵连期间，最低的警觉性出现在体温最低的时间点前后，即凌晨4点至6点之间。这是一天中最糟糕的时间段。三里岛核电站事故正发生在这个时间，原因正是基于一名刚上了几天夜班的工作人员。切尔诺贝利、博帕尔(6)、埃克森·瓦尔迪兹(7)等灾难均发生在深夜，都是因人为失误造成的。实地研究表明，在凌晨3点到5点之间，工作人员接听电话、对报警信号的反应都是最迟钝的，而且最容易读错数据。在这个时间醒着极其糟糕，特别是你需要做一些单调重要的事情的时候，轮班工人形象地称之为“僵尸区间”。

即使从未上过夜班，你可能也已经注意到了自己整个夜间的警觉性节律。你熬得越晚，便越会昏昏沉沉。在某些时间点，通常在凌晨3点到6点之间，你的眼睛会开始发痒，睡眠的欲望变得压倒一切。挺过了愈发强大的困意后，你会突然缓过劲来，感觉开始变好，这说明你刚刚度过了昼夜节律周期的低谷阶段。接着，警觉性会开始伴随着体温和皮质醇的分泌量一同上升。有趣的是，即便受试者休息得很好，也不上夜班，同样的睡眠时间也显示在了时间隔离实验的数据中。“僵尸区间”的概念已经进入到了我们的生物学中。

◎　　◎　　◎

昼夜节律钟不但负责调节我们的警觉性和睡眠持续时间，还控制着睡眠的内部结构，特别是快速眼动（REM）睡眠的倾向。快速眼动是一种奇怪的状态，也许它比大多数人所理解的更为奇怪。当我们处于逼真的梦境中时，我们的眼球会从一侧飞快地移动到另一侧，呼吸和心跳则呈现出不规律的波动。此时，脊髓的抑制作用麻痹着我们的身体，可以阻止我们梦游。（在以猫为研究对象的实验中，当脊髓抑制被阻断时，它们会在快速眼动睡眠中四处奔跑，仿佛在追逐幻想中的老鼠。）男性经常会在快速眼动睡眠期间勃起，这种不由自主的勃起可以帮助医生区分心理和生理上的阳痿。具体来说，在患者临睡前，医生会在患者的阴茎上缠上邮票，如果病人醒来后邮票扯坏了，那么就是心理上的阳痿。

快速眼动睡眠与非快速眼动睡眠之间的差别就相当于它与醒着的差别。睡眠过去常常被看作是一个温和、均一的状态，意味着人的身体和大脑在夜间会停止工作。人们会认为上床睡觉就像把汽车停进车库里，关掉引擎。而现在我们知道，引擎，即大脑事实上从未关闭。非快速眼动睡眠，就如同汽车（身体）放在车库里，但引擎仍在运转着，油门和刹车都踩到了底。在这里，油门代表大脑的飞速运转，刹车代表脊髓的抑制作用，可以阻止我们的身体移动。

快速眼动睡眠有它自己的出现节律，比昼夜节律要快很多。大脑大约每90分钟会完成一次睡眠的阶段循环。当我们爬上床后，首先是从觉醒转态进入轻度睡眠；然后进入深度睡眠，此时的脑电波波幅大而缓慢；接着是返回到轻度睡眠，并进入快速眼动睡眠，开始做梦。第一个做梦的阶段通常很短，大约持续10～20分钟。快速眼动睡眠通常会随着夜晚的继续而延长，所以到了清晨时分，我们可能已经进行了一个小时的超现实娱乐，也可能在脑海里上演了一场恐怖电影。

对于经常被牵连到24小时一天的人们来讲，快速眼动睡眠的峰值时间是在清晨，接近睡眠结束时。这解释了为什么我们经常会在一个很长的梦结束之后醒来，以及为什么男性醒来时经常是勃起的。但是快速眼动睡眠与睡眠结束之间的这种老生常谈的联系实际上是错误的归纳，并不是快速眼动睡眠的规律。正确的规律是切斯勒和韦茨曼在他们的时间隔离实验中发现的。在最初测量受试者的脑电波时，他们震惊地发现，快速眼动睡眠出现在睡眠开始时的次数累积最快，而不是在睡眠接近尾声时。此外，这也是持续时间最长的快速眼动睡眠出现的时间。两个结果似乎都与医学院中灌输的知识完全相反。事实上，快速眼动睡眠出现在睡眠开始阶段一般是很罕见的，通常被诊断为发作性嗜睡症，这是一种会使人神经衰弱的睡眠障碍。

当切斯勒和韦茨曼了解了快速眼动睡眠真正的规律后，我们才开始理解这矛盾的结果。快速眼动睡眠倾向与体温变动周期同步，而非与睡眠本身同步。大脑不在乎它是睡眠的结束还是开始，重要的是身体的时间。真正的规律是，快速眼动睡眠最可能出现于体温周期中的最低体温点之后。在24小时牵连中，这是多数人醒来时的昼夜节律相位，也是快速眼动睡眠普遍出现于睡眠尾声时的原因。相反，自由生活的受试者经常在体温最低的时候入睡，这就是他们的快速眼动睡眠经常出现在睡眠开始时的原因，并不存在疾病的原因。

◎　　◎　　◎

并不只是睡眠持续时间、警觉性、快速眼动睡眠倾向的昼夜节律与体温周期步调一致。后来的研究表明，人类短期记忆的节律、大脑激素之一褪黑激素的分泌，以及其他几种认知和生理功能，同样在相同的周期中运行，它们彼此之间以及与体温周期之间都维持着恒定的相位关系。只有一种简单的方法可以解释这些完全不同的节律是如何紧密联系的：它们必定都由同一个生物钟控制。

多年来，昼夜节律起搏器只不过是一个假设的实体而已。它的存在是借由间接推导得出的，就像19世纪时原子的存在性问题一样。对于它在身体中的位置的研究总是会落入无尽的追逐，这源于一个错误的判断。毕竟，早期对于单细胞藻类的实验研究显示，即使是单细胞藻类也会表现出昼夜节律。因此，对于更复杂的多细胞生物，例如人类，整个生物体可能由数以万亿计的时钟组成。换句话讲，我们可能并不是拥有一个时钟，我们本身可能就是一个时钟。

事实证明，这幽灵般的思想是正确的。30年来，我们已经知道，肾上腺和肝细胞可以显示出自己的昼夜节律，即使当它们从身体中取出，在培养皿维持存活也是如此。现在我们发现，心脏细胞和肾细胞似乎也是如此。在果蝇和小型哺乳动物中，例如老鼠和仓鼠的身体各处的组织中都有时钟基因出现。大概人类同样也是昼夜节律振子的集群。

然而，我们一直有强烈的理由相信，至少在哺乳动物中，所有这些外围时钟都由一个单独的掌控者控制，它可能位于在大脑中被称为下丘脑的地方。早在20世纪初，医生们已经注意到，下丘脑长有肿瘤的患者会出现无规律的醒睡周期。一个更加有说服力的证据来自于科特·李希特（Curt Richter）的工作成果，李希特是约翰霍普金斯大学的生物学家，他花了近60年时间研究昼夜节律起搏器。

在一项艰巨、可怕的系列实验中，李希特先是使老鼠失明，然后再按部就班地移除它们的肾上腺、脑垂体、甲状腺和性腺，诱使老鼠惊厥，给老鼠施加电击、酒精性昏迷，以及长时间的麻醉。随后将老鼠缝合，放回鼠笼中，但李希特发现，这些可怕的干预措施没有一种能够改变老鼠们自由活动的节律，时钟仍在嘀嗒行进。后来，他逐一切除了鼠脑的各个位置，检测各处的损伤是否会打乱它们的昼夜节律。结果发现，这些损伤毫无区别，老鼠依然会有节律地进食、饮水、活动。只有当下丘脑的前部受损时，老鼠才终于失去了节律。

20世纪70年代，其他一些研究者更精确地标定了时钟的位置。考虑到昼夜循环会牵连昼夜节律，研究者在老鼠眼睛中注射了有放射性标记的氨基酸，希望可以跟踪从视网膜到公认的时钟之间的神经通路。沿着预期的通向大脑视觉中心的神经通路，他们还发现了一个单突触通路——一条神经热线，它通向视交叉上核，即下丘脑前部的两个微小的神经元群体。这种神经结构极具提示性，显然，时钟对动物的生存而言是如此重要，以至进化出了一条专用的线路将它与眼睛连接起来，而不是停下来做几次突触的传递。为了彻底解决这个问题，研究者随后通过手术破坏了视交叉上核，结果发现，老鼠的昼夜节律也随之消失了。主时钟终于找到了。

我们对于起搏器的工作细节仍不十分清楚。众所周知，在视交叉上核成千上万的神经元中有很多都是振子。它们每天通过有节律地放电自发循环，这是由一种叫作时钟蛋白质分子的浓度的高低变化驱动的。这些分子的昼夜节律是由一组连锁的生化反馈回路自发产生的，涉及八种类似时钟基因（最近研究的数量，研究结果总在不断变化）的转录和翻译。然后，不知何故，成千上万个振荡的“时钟细胞”试图同步它们的电活动，它们或许是通过一种叫作γ-氨基丁酸（GABA）的神经递质的化学扩散进行耦合的。最后，起搏器集体的电节律传递给了（再次强调，通过未知的手段）肝脏、肾脏，以及全身各处器官的外围振子，监督它们按照与主时钟相同的周期运行。

对于切斯勒实验结果的解释是，他所测量的所有节律都是由一个单独的昼夜节律起搏器进行协调的。体温周期是一个可靠的标记，这也是当我们以自然参考系的视角观察时，其他所有节律都会与之一致的原因。而我们仍然不知道起搏器如何通过生化反应决定睡眠持续时间和快速眼动睡眠的倾向，所有这些都要等到日后解决。

而现在，我们只能敬畏这位才华横溢的音乐大师的表现，它不可思议地妥善安排了我们体内的很多节律。当一切都正确运行时，即我们没有时差反应或其他非同步现象时，此时起搏器的性能是惊人的。对于这一点，我们可以从它如何控制身体经过生物学上每天最紧张的时刻——睡醒的时刻，来加以理解：根据起搏器的命令，体温会在两小时前就开始上升；肾上腺分泌大量皮质醇来唤醒我们奔赴前方的战斗；内部的警钟开始鸣响，认知功能、记忆力、敏捷度的节律全部开启并开始提升。在一天中余下的时间里，几乎每个器官系统和生理功能都在一个可预测的时间表上起伏。我们体内无声的交响乐解释了为什么癌症化疗在某些特定阶段最有效（反映了DNA合成以及其他细胞的工作节律）；以及为什么心脏病最有可能在9点左右发作（血压达到峰值）。新生儿最有可能在凌晨大约3点至4点之间出生，人也最容易在这个时间死亡，这给了我们一个奇怪的暗示：我们存活的时间倾向于一个精确的、完整的天数。

这是一个完整的故事，只有结局尚未了结：我们仍然未能解释当人们自发保持同步的时候会发生什么，就像西弗尔在“午夜山洞”那样。当这种情况发生时，睡眠时间似乎完全不再听从起搏器的指挥。真的是这样吗？是否还有另一个秘密隐藏在数据中？昼夜节律密码中是否还有遗失的线索？这是我梦寐以求想要解决的博士课题。

◎　　◎　　◎

1982年秋，我作为一名新入学的研究生来到了哈佛大学应用数学系。与波士顿市内的一条河相隔，查尔斯·切斯勒刚刚被聘为哈佛大学医学院和布莱根妇女医院的助理教授。同年夏天，我与阿瑟·温弗里一同工作的时候就听说了切斯勒。温弗里是一名研究昼夜节律的前沿工作者，他特别赞赏切斯勒关于睡眠时间规律的新发现，并在发表于世界顶级科学杂志《自然》的一篇评论文章中提到了它。我至今仍记得那个发现给我带来的震撼。不可思议的是，尽管人类的心理和意志变幻莫测，但是醒睡周期却遵循着一个简单而又通用的模式。体内的非同步可能从表面看来毫无规则，但从更深的层次看却有着精妙的结构。或许有许多类似的规律都在等待着我们的发现，前景令人振奋。

我感觉自己是在恰当的时间出现在了恰当的地点。除了最近新加入的切斯勒，教员还包括开发了领先的人体昼夜节律数学模型的机械工程师理查德·克罗瑙尔；对松鼠猴的昼夜节律有特殊研究的生理学家马丁·摩尔艾德（Martin Moore-Ede）；对生物钟的分子机制进行了35年研究的细胞生物学家伍迪·黑斯廷斯（Woody Hastings）。他们彼此之间都很友好，在医学院共同讲授一门课程，上课时，他们的研究生和博士后都会参加，都渴望获得研究机会。

我在开课的第一天就遇到了切斯勒。他30岁出头，高个子，留着克拉克·盖博（Clark Gable，美国电影男演员）式的胡须，看上去像一名“影星”（数年后，我母亲在电视上看到他接受采访时如此说道）。更重要的是，他在完成了辉煌的博士学业后，似乎注定要成为学术明星。布莱根妇女医院将旧波士顿产科医院的整个一层给他做实验室。当他带我去参观的时候，迎接我们的是电钻的声音。建筑工人正忙着把此处装修成时间隔离设施，就像韦茨曼在蒙蒂菲奥里医院所做的那样。

这至少要花费一年的时间，随后切斯勒才能开始新的研究。但在此期间，对于现有数据也存在很多令人费解的谜团。特别是，温弗里一直对一个基本的不对称现象喋喋不休：睡眠持续时间可以预测，但清醒时间却无法预测。即使在事后看来，也没有人可以找到一种方法来预测一名非同步的受试者持续保持清醒的时间。这意味着醒睡周期还有一半仍然是个谜。

为了开始研究清醒时间的规律，我收集了自己所能找到的所有数据。切斯勒慷慨地分享了他在蒙蒂菲奥里的记录，外加法国的研究团队送给他的一些数据。温弗里也把曾经见过的一些数据传给了我。但大多数数据是我在翻阅科学文献，寻找内部非同步的公开实例时找到的。收集所有这些信息花了一年左右的时间。那个时代没有数字化仪器和带放大功能的复印机，所以这个过程单调而沉闷。如果找到一篇包含栅格图的期刊文献，我要先请摄影师对它进行拍照，将其放大，这样，我便可以用尺子和放大镜准确地测量所有睡眠和清醒状态的持续时间。

最终，我建成了一个关于非同步的醒睡周期的庞大数据库，开始着手寻找其中的模式。我试着描绘了清醒时间相对于先前所有看似可能的变量的图表：先前的睡眠时长，以及醒来那一刻的体温周期的相位。不过，这些图表没有显示任何结果。后来，我寻找了清醒时间和两个先前的变量之间的关系，但仍然一无所获。如果清醒持续时间的规律是存在的，那么可以说，直至今天它仍然难以捉摸。

◎　　◎　　◎

在这些徒劳的追逐期间，我不断地和我的新导师理查德·克罗瑙尔会面，他满头银发，是一位有着强烈的自信和乐观主义的科学家，他总是会为我腾出时间。他同样喜爱钻研数据，这是我们二人的共同爱好。他也有一个自己喜爱的关于人类昼夜节律运行的模型。在我看来这个模型并不是很有趣，尤其是当我用自己搜集的数据和他的模型之间的差异激怒他的时候。每每这个时候他便会提高声调，与我争执得面红耳赤。我们二人都很倔强。

克罗瑙尔最喜爱的观点之一是：昼夜节律周期中有两个特殊的时间点，在这个时间点上，人们很难入睡，他将之称为“禁区”。他拿出尺子，在栅格图上画了一些平行线，说：“看，受试者从不会在这两个时段内入睡。”我对此深表怀疑——如果你相信了它们果真如此，就很容易找到这样的模式。尽管克罗瑙尔已经意识到了人类自我欺骗的倾向，但他坚持认为，这个区域位于特殊的固定位置，每名受试者都是如此。

无须争吵。我的数据库就可以解决这个问题。如果禁区真的存在，那么在体内非同步期间的就寝时间分布图中，它们就会显示为两个低谷。相反，如果受试者在昼夜体温周期中的任何位置入睡的概率都相等，那么分布图应该是平缓的。

克罗瑙尔是正确的。当我绘制了睡眠起始时间的频率相对于昼夜节律相位的变化图时，两个明显的低谷出现了，各有约2～3个小时宽，中心位置分别位于最低体温时刻的5小时后和8小时前（见图3-4）。

图3-4　入睡可能性及体温变化关系

虽然不是严格的禁区，但是在这两个区域内入睡的概率显著降低。相应的时钟时间可以用前文提到的换算公式进行估算：最低体温大约出现于惯常睡醒时间前的1～2个小时。所以，对于每晚11点入睡，早7点起床的人来讲，数据预示着“早禁区”位于上午10～11点之间，“晚禁区”在晚上9～10点之间，即睡觉前的1～2个小时。

分布图中还有两个峰值，代表周期中最易入睡的时间，从这个意义上讲，这是受试者经常选择的就寝时间（当然，受试者对此毫无意识，因为他们处于时间隔离的状态中）。一个宽峰的中心大致位于体温低谷处，与僵尸区重合，表明此区间内不仅警觉性最低，同时也是睡意最强烈的时间。第二个峰值出现于最低体温之后的大约9～10小时，对应的是午休时间，即外部世界的下午2～3点。这意味着，我们在此时变得困倦并非因为吃了丰盛的午餐，也不是因为户外很热，而是因为我们体内的昼夜节律起搏器控制着它。

◎　　◎　　◎

克罗瑙尔和我发现，在体内非同步的数据中，午睡时间与睡意最强烈的时间重合。我知道，我们不再会一无所获了。从时间隔离实验中得到的结果不能明显地说明真实世界中的情况。毕竟，两者的环境条件是完全不同的。在牵连过程中，睡眠和体温节律的相位互相锁定，并锁定在24小时的时间上；而在体内非同步期间，睡眠偏离了体温周期，且二者都运行在一个长于24小时的周期中。不过，换算公式给出了关于午睡的相位的正确预测，所以我们或许可以推断出其余的瞌睡节律。果真如此的话，这意味着我们能够找到真实世界中的两个禁区时刻。

几个星期后，在一次睡眠研究会议上，我听到了一个关于卡车单车事故的时间分布情况的演讲，结果与我们看到的分布相同。（单车事故是指卡车弯折、翻倒、撞上桥墩，或自行转向冲入沟渠中，而不是与其他车辆相撞，或肇事司机可能正在方向盘前打瞌睡。）统计数据显示，卡车司机更可能在凌晨5点发生单车事故，其次是在下午1～4点之间，正是午睡时间。最不容易发生事故的时间是上午10点和晚上9点，对应于我们所预测的早晚禁区。原因似乎很清楚：此时司机很少打瞌睡。与僵尸区和午睡时间一样，早晚禁区也必须建立到我们的昼夜节律周期之中。

同一时期，布拉德利医院和布朗大学医学院的睡眠研究者玛丽·卡斯卡顿（Mary Carskadon）正在采用“恒定惯例”研究受试者的脑电波。所谓恒定惯例是一种通过尽可能地扁平化受试者的行为和环境，以揭露其体温周期昼夜节律变化的方法。受试者以一个恒定的仰卧姿势（躺在床上），在室内灯光下保持清醒40小时，每小时喝一次营养饮料。虽然他们在整个时间内都应该是保持清醒的，但事实却并非如此，他们偶尔会进入一种“微睡眠”状态，即大脑会“睡着”几秒种，脑电特征发生瞬时改变。

卡斯卡顿发现，这些无意识的睡眠插曲更可能发生在一天中特定的时间。她在绘制了实验最后22个小时（这个阶段受试者最为困倦）的微睡眠分布图后发现，微睡眠的峰值出现在僵尸区和午睡阶段，低谷出现在两个禁区。

将一切汇总到一起时，相同的分布出现在了微睡眠、交通事故以及体内非同步期间的入睡时间选择上。显然，三者都反映了大脑固有的睡眠和警觉的昼夜节律。

◎　　◎　　◎

鉴于晚禁区过于靠近习惯的就寝时间，只提前了两个小时，我和卡斯卡顿就想知道它是否与某些形式的失眠有关。到目前为止，我们还没有找到相关证据。我们的时间隔离数据只显示出，体内非同步受试者很少选择在最低体温前的8小时处入睡。问题依然存在：如果人们故意尝试在此时入睡，会感到困难吗？

一些文献中已经给出了答案。20世纪70年代中期，一些研究人员把受试者置于严重缩短的醒睡周期时间表中，测试他们在白天和黑夜中多次入睡的能力。例如，卡斯卡顿和威廉·迪蒙特（William Dement）让斯坦福大学的学生进行了“90分钟一天”的实验，这是一个违反常规的生活规则，每休息30分钟，随后强制清醒60分钟，然后再回到30分钟的休息时间，以此类推，一天重复16次，昼夜不停地持续5天。

有时，受试者可以很好地利用他们宝贵的30分钟休息时间，头一沾枕头就睡着了。但有时尽管筋疲力竭，他们却完全无法入睡。每天，他们的入睡能力有节律地变化着，并与体温周期的相位呈现出强烈的相关性。最难入睡的时间是每晚10：30左右，即达到最低体温前的约8小时处。奇怪的是，这个时间恰恰就在他们正常的就寝时间之前。这令卡斯卡顿和迪蒙特惊诧不已，但现在可以理解了——他们看到了晚禁区的强大影响。

卡斯卡顿发现了更有力的证据，证据显示，禁区会导致入睡性失眠。在康奈尔时间生物学研究所进行的一项实验中，杰夫·福克森（Jeff Fookson）和合作者将一名21岁的健康男子牵连到严格的23.5小时一天的周期中。具体来说，就是将该男子置于时间隔离设施中，他必须严格地坚持作息时间，每天睡觉和起床的时间都要提早半个小时。实验期间不允许小憩，每个周期中只有连续的7.75小时的休息时间。

这位男子经常无法充分利用自己的休息时间：如果他不能立即入睡，就要在床上辗转反侧约3小时之久。随着实验的进行，他睡眠不足越发严重，同时也仍然深受入睡困难之苦。受试者痛苦地抱怨强加在他身上的时间表，一定是某些地方出现了问题，尽管他自己不知道。后来，受试者甚至威胁要退出实验。所有这一切都是将他的一天仅仅缩短了半小时的结果！

卡斯卡顿给出的解释是，缩短的时间表使得受试者体内的相位关系失衡，就寝时间与晚禁区重合，于是他便难以入睡。要理解如何加快时间表会产生这种效果，我们可以将昼夜节律起搏器想象为一条狗，这条狗不情愿地被它快步行走的主人牵着在圆形跑道上奔跑。（与这只郁闷的狗类似，受试者的起搏器倾向于按照其24.7小时的昼夜节律周期运行，却不得不被外界不耐烦地拉着走，希望每24小时走一圈。）现在，如果狗主人加速走得更快，狗也要加快，同时狗链也会拉紧，狗就会越落越远。

对于起搏器而言，这意味着当时间表从24小时加速到23.5小时的时候，所有与起搏器相关的事件（包括禁区）也会同样落后，并转移到相对于时间表更晚的时间。因此，先前安全地位于入睡前1～2个小时的禁区，现在便会危险地接近入睡时间，甚至与之重合。它会待在那里，固定在这个可怕的状态，直到有东西打破这种束缚，将其从牵连中解放。实验的最后一部分支持了这种解释。当施加的周期缩短至23小时的时候，受试者的体温节律就挣脱了束缚，不再与这个缩短到23小时的时间表同步。就寝时间与禁区分离后，受试者的失眠消失了，心情也变得开朗起来。

现实世界中，有人与这名受试者遭遇了相同类型的失眠，原因也相同。受试者固有的昼夜节律周期为24.7小时，所以生活在23.5小时的一天中就非常困难。出于同样的原因，那些昼夜节律周期为25.2小时左右的人生活在24小时的世界中，就会发现自己的就寝时间与禁区发生了重合。这就是折磨着成千上万人的“睡眠时相延迟综合征”的病因。患有该病的患者虽然可以睡得很好，却只能在错误的时间入睡，例如从早晨4点睡到正午，这种权宜之计使得他们无法胜任需要在上午保持警觉的工作。

由于晚禁区过于接近惯常的就寝时间，即使是没有睡眠障碍的人，也会发现自己有时难以入睡。如果你上床的时间比平时稍早1～2个小时的话，也许是因为第二天需要早起赶飞机，那么你会发现入睡极其困难。原因不只是你对即将到来的旅行感到兴奋，也是因为你试图在昼夜节律周期中最糟的时段入睡。这也可以解释为什么周日晚上容易失眠。周末的晚睡晚起会无意中让你的昼夜节律起搏器和晚禁区转移到更晚的时间，从而侵扰到你正常的就寝时间。

◎　　◎　　◎

许多人都在忍受着其他形式的与24小时一天的周期错乱的同步，或完全缺乏同步。倒班工人尤其会对各种混合信息感到迷惑。在夜晚工作时，他们的昼夜节律起搏器会告诉他们白天要睡觉，但是阳光和交通噪声（还有他们的孩子）则会干扰他们的睡眠。事实上，倒班工作是所有工业化社会都要面对的主要问题，而且这个问题只会变得更糟。经济推动着我们的社会向24小时连续工作转变，工厂、商业以及金融市场都按照这个时钟运行。大约有1/4的美国劳动人口已经生活在了这种不自然的时间表中。虽然它产生的经济利益十分显著，但对社会和工人自身的成本而言却是难以量化的，其中包括扰乱家庭和社会生活，引发肠胃疾病、睡眠障碍，以及在僵尸区工作发生失误所造成的损失，有时还会带来灾难性的后果。

有史以来最糟糕的时间表之一就是美国海军在核潜艇上使用的时间表。水手们每工作6小时后休息12小时。换句话讲，他们生活在18小时一天的周期中。由于起搏器不可能牵连到如此短的周期中，水手们便永久生活在了非同步状态中。海军方面的理由是，8小时的轮班时间太长，水手们无法时刻保持警惕，而且潜艇中的空间只能容纳3人轮班，因此18小时（3×6）的时间表就诞生了。我们并不知晓18小时轮班制所带来的医疗后果，但它导致的一些迹象是，美国潜艇船员有着超高的离职率（每次航程大约从33%～50%不等），只有少数会继续参与两次以上为期90天的任务。与此同时，海军军官通常生活在24小时的时间表中，他在潜艇上值班的时间要长很多，却往往可以服役数年。

到目前为止，让我们的身体保持同步的最重要的线索是阳光。它对起搏器的影响在昼夜节律周期中的不同时刻是不同的，高明的进化设计确保了生物钟始终在按照正确的方向运行。具体来讲，早晨的阳光会加快生物钟（仿佛是在告诉身体，今天你错过了日出，所以明天我会再早些唤醒你），中午的阳光对生物钟没有影响，而晚上的阳光会减慢生物钟。

每天，生物钟都需要做一些纠正，因为人类昼夜节律起搏器倾向于运行得稍慢些，其自然周期略长于24小时。科学家仍在努力研究阳光究竟是如何影响起搏器的，但概括地讲，我们认为是由于阳光照射到眼睛上，视网膜的感光细胞中发生了化学变化，然后发送电信号，沿神经通路传递到下丘脑的视交叉上核，即起搏器的位置。令人惊讶的是，我们仍然不了解感光细胞。它们不是我们形成视觉的视杆细胞和视锥细胞，正如有遗传疾病的失明老鼠，被破坏了视杆细胞和视锥细胞后仍然可以牵连到亮暗周期中。

进一步证明光同步效应的证据可以从一个事实中得到：80%的盲人患有慢性睡眠障碍。因为他们每天无法足够多地重置时钟，因此也就无法按照外界的恰当时刻睡觉或保持清醒。他们的困扰是周期性的；每个月有2～3周，他们与外界的步调不一致，白天充斥着无法控制的睡眠，夜晚则被支离破碎的睡眠困扰。但渐渐地，他们的生物钟会慢慢转移，使他们的生活节律重新与外界保持一致。他们在接下来的1～2周中都会感觉不错，直到下一波浪潮来袭。

但是，有20%的盲人能够做到与亮暗周期同步。一种可能的解释是，虽然他们的视杆细胞和视锥细胞受到了破坏，但视网膜的昼夜节律感光细胞是完好的。这使得阳光可以通过照射他们的眼睛，然后沿着神经通路将信号传送到起搏器，帮助他们的生物钟复位。

换句话讲，虽然他们没有视觉，但仍然可以用一种不可见的、有昼夜节律的感官来感受光线。这个令人惊讶的想法的证据来自最近科学家们对褪黑激素的研究，褪黑激素是由松果体(8)产生的一种脑激素。在正常人体内，褪黑激素的分泌会每天周期性地起伏，在夜晚睡觉的时候达到峰值。这种昼夜节律是由主时钟驱动的，就像体温、警觉性以及许多其他生理功能一样。从这个意义上讲，褪黑激素为起搏器提供了另一个代理。

此外，褪黑激素的分泌也是一种对光线的响应——当强光射入眼睛时，分泌水平骤然跌落。（这里的“强光”是指白天正常的日光强度，比普通的室内照明灯亮得多，但并没什么特别。）1995年，切斯勒和他的同事测试了全盲受试者的褪黑激素抑制反应。他们采用的方法是，当他们的血液中的褪黑激素水平高的时候，使他们暴露在强光下。正如人们预料的那样，大多数受试者没有表现出任何抑制：光线并未影响到他们的生物钟。但是对于那些可以与24小时周期同步的盲人而言，强光使得他们体内褪黑激素的分泌停止了，就像健康者的反应一样。这个实验暗示我们，从眼睛到大脑有两条通路：一条是有意识的视觉，另一条是昼夜节律牵连。这一假设与对哺乳动物的大脑解剖分析结果是一致的；连通起搏器的神经专线与大脑的视觉通路是分开的。

正如盲人告诉了我们昼夜节律感光细胞的本质，一类受到另一种综合征影响的人群则告诉了我们关于生物钟的内部工作机制。1999年，科学家通过研究一种罕见的疾病，发现了首个与人类昼夜节律相关的基因，该疾病叫作“家族性睡眠状态综合征”。受到这种病症影响的家庭成员的典型特征是早起，晚上7：30就寝，转天凌晨4：30一起醒来。实验室研究表明，这些人的生物钟跑得很快，周期比常人要短1小时，这暗示着其生物钟功能出现了基因突变。犹他大学的路易斯·普塔塞克（Louis J. Ptacek）带领的研究小组追踪到了一个单独的hPer2基因的突变，其蛋白质产物被认为在分子反馈回路中起着重要的作用，是它在单细胞中生产了昼夜节律振子。

但其他一些患有这种综合征的家庭并未出现该基因的突变，这意味着可能还存在其他的一些突变基因。一旦有足够多有效的突变体，我们就可以期待科学家在解析人类昼夜节律的分子和遗传基础方面取得更大的进展。这必然会为我们带来关于时差反应、倒班工作，以及与日常同步紊乱相关的睡眠和精神疾病的更有效的治疗方法。

04
苍茫的宇宙：同步无处不在

自从亚历山大大帝的抄书吏安德罗斯提尼（Androsthenes）首次记载了生物节律以来，同步科学已经走过了漫长的历程。大约在公元前4世纪，亚历山大率军出征印度期间，安德罗斯提尼发现罗望子树的叶子总是白天打开，晚上闭合。又过了2 000年，人类才偶然发现了一种更怪诞的同步现象，一种出现在无生命物体之间的同步。

◎　　◎　　◎

科学史上一些关键的发现都是机缘巧合。众所周知，亚历山大·弗莱明（Alexander Fleming）发现青霉素是因为空气中的霉菌污染了他的实验材料，杀死了他正在研究的细菌。再如，贝尔实验室的阿尔诺·彭齐亚斯（Arno Penzias）和罗伯特·威尔逊（Robert Wilson）努力地清除着巨大天线上的鸽子粪，以排除那些他们认为来自太空各个方向恼人的背景噪声，直到他们意识到自己所听到的是宇宙诞生的声音——140亿年前宇宙大爆炸的回声。

尽管我们都了解机缘巧合的作用，但并不十分赞许它，因为机缘巧合似乎跟幸运没什么不同。在我的字典中，机缘巧合并不只是一种幸运收获意外发现的明显倾向。意外发现总是出现在具有特定思维模式的人当中，在探索时，这些人的注意力高度集中，思维敏捷，他们只是碰巧发现了别的东西。

对无生命世界的同步的发现也是如此。1665年2月，荷兰物理学家克里斯蒂安·惠更斯已经一连数日把自己关在卧室中，他在写给朋友罗伯特·莫里（Robert Moray）爵士的一封信中详细描绘了一种“轻微的不适”，这种“不适”使他痛苦不已。他已经欠莫里三封回信了，现在他正在记述自己在卧室期间观察到的一个奇怪现象，这是一个“会给你惊喜的奇妙现象”。

在房间里陪伴惠更斯的是两座摆钟，这是有史以来最精准的两台计时工具。惠更斯在10年前发明了摆钟，现在，有了它的帮助，他希望解决那个时代最伟大的技术难题：在海上确定经度。正如戴瓦·索贝尔（Dava Sobel）在她的畅销书《经度》中的记载，经度问题的解决方案在探险时代极为重要，因为有越来越多的船只横渡大洋与其他国家贸易、作战或征服新领土。在实际航海生活中，测量经纬度的方式不同。纬度是测量船与赤道之间的角距离，通过测量白昼长度或太阳在地平线上的高度就可以很容易地得到结果，而经度是指船在地球东方或西方的角位置，东西方是人为定义的，在环境中没有固定的参照物。水手们无法凭借星星、太阳或其他线索来确定经度，即使在最一流的航海图和罗盘的帮助下也束手无策。由于无法确定船在海上的方位，即使是最优秀的船长也会迷失方向，导致船只偏离航线数百公里或在礁石海岸搁浅，而熟悉的航线又容易遭到海盗的袭击。葡萄牙、英国、西班牙和荷兰政府都开出了巨额悬赏以寻求可行的解决方案。尽管那个时代的一些顶尖科学家，包括伽利略、乔瓦尼·多梅尼科·卡西尼（Giovanni Domenico Cassini）、牛顿、爱德蒙·哈雷（Edmond Halley）在内，都试图攻克这一难题，但在长达4个多世纪的时间里仍未能解决。

现在，惠更斯正在沿着最初由生于弗里斯兰省的同胞——天文学家杰玛·弗里西斯（Gemma Frisius）提出的思路来寻求解决方案。1530年，弗里西斯意识到，经度可以通过精确的计时来确定，至少在理论上这是可行的。假设一艘船上有一个时钟，从母港起航时进行了精确的校准，此后一直按照母港时间运行。通过把母港时间带到海上，航海家可以在到达地的正午时刻（即太阳升到最高点的时候）参考时钟的时间来确定经度。由于地球需要24小时才能完成360度的自转，因此到达地时间与母港时间每一小时的时差便对应经度的15度。在距离上，赤道上的15度便是1 609公里，所以为了使这一策略切实可行，钟表的精确度必须达到1天中只有几秒的误差。人们面临的挑战便是设计一个稳定的机械钟表，必须能够克服船只在波涛汹涌的海面上起伏颠簸，也必须能够克服不断变化的湿度、压力和温度的影响，因为这些环境变化会使钟表的齿轮生锈、弹簧拉长、润滑油变厚，导致钟表过快、过慢或是停止。

16～17世纪初的钟表都是非常不精准的，当时最优秀的钟表在理想条件下一天也要差上15分钟。然而，惠更斯的新摆钟可以比之前的精准100倍。经度问题的解决方案似乎可以垂手而得。1664年，在与伦敦皇家学会以及一名船长共同合作展开的一次海上实验中，惠更斯特制的两座航海时钟航行到了非洲西海岸以外的佛得角群岛，成功地测量出了沿途各处的经度。双时钟的设计提供了有益的冗余；如果一个时钟停止或需要清洁，另一个仍然可以保持准确的时间。但后来的测试显示时钟并不可靠。它们在良好天气条件下表现尚可，但在风大浪急的海面上，钟摆的摆动就会受到干扰。

在此期间，惠更斯留在了海牙，通过莫里爵士与伦敦皇家学会通信，二人都在询问正在进行的海上实验的结果，并报告自己对于完善时钟设计的最新尝试。大约就在这时，1665年2月下旬平常的一天，意外发生了。在一封写给父亲的信中，惠更斯写道：

我不得不在自己的房间里待了好几天，忙着观察我新做的两个时钟。我注意到了一个绝妙的现象，之前从未有人提及。把两个摆钟挂在一起，中间只隔30～60厘米，它们就会精确地保持一致，进而毫无变化地一起振荡。欣赏了一会儿后我终于明白，这种现象是通过某种同步发生的：把两个钟摆的摆动节奏搞乱，不出半小时，它们总是会趋于一致，并一直保持下去，直到我让它们停下来。然后我将它们分开，一个挂在房间的一端，另一个挂在4.5米开外，在一天之中，它们之间有了5秒的误差。因此，它们先前的一致在我看来是由钟摆运动造成的空气轻微扰动引起的。钟表总是被关在盒子里，每个都有将近45千克重。当二者一致的时候，钟摆并不是平行振荡，而是以相反的方向彼此接近和分离。

1665年2月24日，在一封写给朋友德斯吕塞（R.F. De Sluse）的信中，惠更斯用“不可思议”描述了这种同步现象。2月27日，他匆匆将这封信交给莫里，让莫里向皇家学会传达这一观察结果。

在接下来的一周中，惠更斯进行了一系列实验来探索引发这种同步的原因。他把两个时钟挂在同一根木梁上的两个钩子上，结果发现，当他把两个时钟转到彼此相差90度的时候，或是分开1.8米以上的时候，两者间的同步就消失了。而当他在二者之间放置一块大木板，阻断空气流通时，同步仍然存在。这证明了惠更斯先前的猜测是错误的：两个时钟完全没有通过空气通信。

后来，惠更斯怀疑，时钟可能会通过它们的共同支撑物的微小摆动相互作用。为了研究这种可能性，他试图将两个时钟挂在分隔开的木梁上，两根木梁搭在了两把背靠背放置的椅子背上。同样，钟摆仍然会保持同步。它们的钟摆分开又合拢，像鼓掌的双手。在同一时刻，一个钟表发“嘀”的声音，另一个就发“嗒”的声音。随后，惠更斯扰乱了它们的同步，观察会发生什么事情。实验结果一定吓坏了惠更斯，因为椅子开始摇晃起来。钟摆一致的时候，椅子是静止不动的，但现在它们开始颤动，在地板上发出“咔哒”声。椅子持续摇晃了半个小时，直到时钟又恢复同步后才平静下来。

惠更斯有了自己的答案。尽管每个时钟都被放置在36～40千克重的铅制盒子内，但钟摆的摆动使盒子产生了轻微的运动，从而使得木梁发生颤动，木梁又使得椅子发生颤动。当两个时钟同步的时候，即它们的钟摆刚好彼此朝相反方向摆动的时候，此时大小相等、方向相反的力作用在木梁上，二者相互抵消，椅子得以保持静止。反之，当惠更斯扰乱同步的时候，两个方向上相反的力不再保持平衡。二者合力中的一部分拖拽着木梁来回移动，椅子随之发生颤动。正如惠更斯所言，“同步一旦实现，椅子就不会再移动，只是在阻止时钟脱离‘同步状态’，因为钟摆一旦要脱离同步，椅子微小的移动便会使它们恢复到先前的位置”。用现代术语讲，惠更斯发现了通过负反馈实现稳定的现象。

伦敦皇家学会对惠更斯的解释感到失望，不是因为他们认为惠更斯的解释是错误的，而是担心他是正确的。在该学会1665年3月8日的会议记录中写到，“某些成员怀疑这些钟表在海上运行的精确性，理由是，如此轻微、几乎无法察觉的运动会引起钟表运行的改变”。换句话讲，惠更斯自己给出的理由暗示：他的钟摆是极其灵敏的，但又因为过于灵敏以至于无法解决经度问题。

钟表的同步，在短短几周前还显得如此神奇，现在却让惠更斯陷入了麻烦。于是，他不再进行研究，也不再设法解决经度问题。经度问题的解决方案不得不又等了几百年。到了18世纪中期，有一个没接受过正规教育的英国人叫约翰·哈里森（John Harrison），他发明了一系列由各种金属零件制成的航海时钟，它能够克服金属零件的生锈问题，并且巧妙地补偿了不同温度下零件彼此之间的伸缩。他将自己制作的第四个航海时钟命名为“H-4”，该时钟装饰有由钻石和红宝石制作的零件，这使它几乎能够无摩擦地运行。“H-4”只有1.4千克重，直径为12.7厘米，刚好可以放进衣袋。在18世纪60年代进行海上测试的时候，该时钟测量经度时的准确性达到了16公里，这足以使哈里森赢得英国议会的两万英镑奖金，这相当于今天的数百万美元。

虽然经度问题已成为历史，但时钟一致问题却日渐成为科学研究的中心议题。昔日的天才惠更斯（牛顿曾称他为“德高望重的惠更斯”）也无法领会宇宙在他房间里透露的全部秘密。作为300余年后的后知之明，我们现在知道了这些现象背后的含义。惠更斯发现了一种自然万物中无处不在的驱动器，他发现了无生命的同步。

◎　　◎　　◎

我们能够一起唱歌跳舞、齐步行进、齐声鼓掌，我们认为这些都是理所当然的。同步是我们的第二天性。但正因为它来得如此容易，所以我们对它的实际需求的了解却很少。它似乎至少需要低水平的智能、调整行动时间的能力以及预料他人行动的能力。这就是为什么关于成千上万的萤火虫一齐闪光的报道多年来引起了广泛质疑，以及为什么蟋蟀的合唱、雄性招潮蟹的引诱策略（对着雌蟹一齐挥舞巨大的蟹螯）让我们印象深刻的原因。

这些有生命体的同步伟业总是可以归因于进化的奇迹，归因于数百万年的自然选择的魔法。正是在这种情况下，我们可以清晰地看到惠更斯意外发现之中的震惊之处。

惠更斯的摆钟没有生命。无意识、无生命的事物也可以自发同步。

时钟的同步告诉我们，同步的能力不依赖于智能、生命及自然选择。它源于最深刻的万物之源：数学和物理定律。

这个洞见催生了同步科学的大繁荣。例如，如果没有同步，我们就不会有激光眼科手术、CD播放器、超市结账扫描仪以及我们身边其他需要激光的物品。激光高强度、高相干性、针尖一般的光束是数以万亿计的原子同步发射光波的结果。这些原子与普通灯泡中的原子没有区别，关键在于它们的配合方式。与不同颜色和不同相位的普通光不同，激光只有一种颜色和相位，就像一支合唱团正在演唱同一个音符。激光可以达到极高的强度（尽管不必如此）；可以在狭窄的光束中前进；可以聚焦在一个微小的点上。与之相反，普通光只能以高昂的能量成本为代价达到极高的强度；四散传播，并迅速衰减；很难汇聚。激光所有的优点使得它易于控制和操作。例如，激光手术可以让能量聚集到一点，它比所有外科手术刀都更小巧，因此可以接触到其他手段难以接近的病变组织。此外，激光手术失血量更小，因为可以瞬间凝血；激光在切割的同时还可以对创口进行烧灼消毒。

在激光发明后的很多年里，没人知道该用它做什么。有些人开玩笑将激光的用途描述为一个正在寻找的答案。然而，这个基础研究的新生儿诞生于人类对光波同步的纯粹好奇，如今已成为我们这个时代最通用的设备之一，它的应用没有人可以预见。在庆祝激光诞生40年的聚会上，1981年诺贝尔物理学奖的共同获得者阿瑟·肖洛（Arthur Schawlow）(9)回忆道：

我们认为它可能有一些通信和科学用途，却并不知道可以应用到哪里。如果有，也一定是受到了阻碍，没能成功实现……可以用于医疗是很好的。你们中的一些人可能听到我以前说过：虽然报纸上有很多关于死亡射线的谈话，但据我所知，还没有任何真正的死亡射线。激光的首个应用是视网膜手术，预防视网膜脱落导致的失明。我和汤斯都未听说过不用激光进行的视网膜手术，如果有的话，那么我们也许就不会下功夫研究原子受激发射了。

“原子受激发射”是激光的工作原理。但我有点儿不好意思承认，我已经对自己解释了十几次，但这些解释似乎都没能产生作用。所有关于原子激发和粒子数反转的言论都是耳边风，是徘徊了几秒钟的模糊认识，随后便一扫而过。我一直希望找到一个对我来说有意义的简单比喻，使我能够更简单地想象和记忆，现在我认为自己终于想出了一个比喻，但这个比喻相当疯狂。如果你对激光有所了解，或并不在乎激光的工作原理，那么可以直接跳到下一节。

试想一下，你早上醒来，发现自己在一个陌生的星球上，除了一个西瓜和一个凳子外空无一物。你很好奇凳子是干什么用的，你猜了猜，把西瓜放了上去。西瓜不可思议地颤动起来，在凳子上躁动不安。它几乎立即滚了下来，坠落到地面上。在落地的瞬间，西瓜会喷射出一粒种子，像子弹一样朝任意方向飞出。

到目前为止，我所描述的是普通光产生方式的一种比喻。例如，你打开烤箱，看到线圈发出明亮的红光。其中发生的事情是，电流流过线圈，将它加热。热量将线圈中的原子提升到了更高的能量水平，这就是把西瓜放在凳子上所象征的意义。在很短的时间里，每个被加热的原子自发地回落到其最低能量水平，即它的“基态”，并发射一个光子（光的粒子）来释放多余的能量，这个过程被称为“自发辐射”。这就像是躁动不安的西瓜滚下凳子，射出一粒种子。因此，热线圈发红光是因为它的激发态原子自发辐射出了大量红色光子。

随着你继续探索这个星球，你很快就会来到广阔领域的边缘，成千上万的西瓜躺在地上，每个西瓜旁边都放着凳子。这引发了一种有趣的可能性猜测：如果一发种子子弹击中了另一个西瓜会发生什么情况？让我们开始行动，举起一个西瓜，放在凳子上。它迅速掉落，并朝随机方向发射一粒种子，种子碰巧击中了地上的另一个西瓜。被击中的西瓜一下跳上了自己的凳子，随后开始在凳子上颤动，不久后又掉下来发射了自己的种子，方向也是随机的。这是一个惊人的景象，一粒种子触发另一个西瓜跳上凳子，然后落下来……通过举起最初的西瓜，你无意间开启了一个连锁反应，反应很弱、不会爆发：它的规模始终保持在一粒种子飞在空中的状态。如果有一粒种子没能击中西瓜，飞到了其他地方，这个过程便会完全停止。

这个连锁反应很有趣，但它并不是对于激光的比喻。它无法使光增强，无法增加空中的光子数量。还有一个物理图景我们尚未考虑：如果一粒种子击中的不是静静躺在地上的西瓜，而是击中了一个在凳子上摇摇欲坠的西瓜会怎样？为了找寻问题的答案，我们可以同时把很多西瓜举起来放到凳子上，在它们中的任何一个掉落之前迅速跑开，然后站在一旁观看。终于，有一个西瓜掉落，发射了一粒种子，击中了另一个摇摇欲坠的西瓜。（这种概率很高，因为我们之前把很多西瓜放到了凳子上。）接下来发生的事情令人惊讶，射入的种子并没被吸收，而是直接射穿了西瓜，它的飞行路径也没有发生改变；更不可思议的是，现在它在和另一粒与它完全相同的种子一起运动，二者步调一致。就如同先前射入的种子已经被克隆一般，之前是有一粒种子在朝那个方向飞行，而现在有两粒。

这就是激光背后的关键过程，被称为“受激发射”，你可以看到，它提供了一种增加沿着特定路线飞行的光子数的方法。每一次，一个光子撞击一个被激发的原子，光子就会进行自我复制，放大该方向上的光量，这正是激光的英文LASER首字母缩写代表的含义：受激辐射光放大（Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation）。辐射是被激发的，而不是自发的，因为射入的光子引发了激发态的原子射出新的光子。

最重要的是，发射的光子与衍生的光子是无法区分的。如果你认为这些光子不是粒子，而是一种微小的光波，那么它们就是完全同步的。它们所有的波峰和波谷都是一致的，这意味着它们携带着相同颜色的光，处于同一方向和同一相位。

没有常识性的方法可以理解受激发射是如何形成的，或者说为什么新的光子会是旧光子的副本，这种现象是量子力学奇特逻辑的结果，原子和亚原子世界中的物理学会打破我们日常生活中的直觉。1917年，爱因斯坦发现了受激发射在理论上的必然性，后来人们又花了43年时间才想出如何利用这一原理创造出第一道激光。

事实上，仅有受激发射还不够；激光的形成还依赖于其他两个关键因素。首先，我们必须找到一种方法，让大多数西瓜在大部分时间里都待在凳子上，因为它们是唯一能引起受激发射的对象。地面上的西瓜毫无用处。这意味着我们要花费很多能量，因为每发生一次受激发射西瓜就会落地。这个不断把西瓜举回凳子上的过程被称为“抽吸”激光，目的是产生“粒子数反转”，这个过程主要取决于你使用的激光类型，我们可以通过加热原子、用闪光灯照射原子或向原子放电来一齐激发它们。注入的能量会使粒子数反转，从这个意义上讲，它将很大一部分原子从它们偏爱的基态提升到了更高的能级。

其次，我们需要找到一种使光增强并创造在唯一方向运动的窄光束的方法。二者都可以通过把原子放在光的回音室中实现，物理学家把回音室称为“共振腔”。管风琴是声音的共振腔，吉他的琴身也是，它们可以把琴弦微弱的震动增强使之成为乐器完整的声音。激光的共振腔也做着相同的事情，不同的是，它处理的是光波。我们取一个长薄玻璃管，用适当的原子或分子气体填充它；或取一个实心的红宝石棒……总之有许多方法可以用于制造激光。然后，把镜子放在两端，按下开关开始抽吸激光（举起那些西瓜）。接着，自发射开始启动连锁反应。需要注意的是，那些最初的光子是朝随机方向射出的。当它们触发后续的受激发射过程时，那些最初的光子便会克隆自己，但因为它们仍然运动在初始时的随机方向上，它们中的许多会撞上管壁被吸收掉，因此它们对激光没有贡献。换句话讲，这些方向现在都已被巧妙地过滤掉了。只有在镜子之间来回反弹的光子幸存了下来。它们不仅幸存了下来，而且还会增殖。每经历一次反弹，它们都会产生越来越多的完美副本，从而加强它们的光，并创造出由完美的同步光子组成的壮丽光束。为了使其中的一些光射出来，我们应让其中一面镜子的反射率略小于100%，于是，射出来的一小部分同步光就是我们看到的激光束。

最核心的谜团就在这里：为什么新创建的光子总是与那些制造它们的旧光子同步呢？这个问题在下一章我们深入了解量子领域的同步时将会再次出现。

◎　　◎　　◎

另一类无生命的同步现象出现在美国电网的核心，即向美国的家庭和办公室的电源插座提供交流电的电气巨头。美国各地成千上万座发电厂连接在一起，组成了两个巨大的、同步的机器，即为落基山脉东西两侧的所有州供电的区域电网。（得克萨斯州有自己的电网。）每个网格就像一个巨大的发电机，其内部的所有发电机组同步旋转。

我已经听说过电网多年，但并没有真正考虑过它的意义。也许你也像我一样，从未考虑过你使用的电力来自何处；如果考虑过的话，那么你应该会猜测是来自附近的发电厂，大多数人的感觉都是如此。然而事实是，在美国中西部地区的热浪中，威斯康星州的空调使用的电力可能来自南卡罗来纳州的某座发电厂。如果没有同步，电力的无缝传输是不可能实现的。

下面，我们简要地概述一下电力系统的运行原理。发电厂利用某些形式的自然能量驱动涡轮，让发电机旋转产生电力。例如，发电厂可以燃烧煤、石油、天然气或使用核能，创造出足够的热量将水烧开形成蒸汽，然后用蒸汽驱动涡轮机旋转。也有发电厂利用水流来转动水电站水轮，例如利用尼亚加拉大瀑布。电力一旦产生，就变成更高的电压，高达765千伏，以便将电力输送到全美范围内的输电网络中。这使得发电厂可以在全美范围内传输电力，将电力输送到电力短缺的地方或赚取差价。在线路的终端，电压降到120伏，成为美国家中和办公室中所使用的电力。

电网的起源可以追溯到1882年，当时托马斯·爱迪生创立的、位于曼哈顿的珍珠街发电站开业，它可以为59个客户提供电力。这项新技术立即引起了轰动，到了19世纪80年代晚期，其他几座城市也实现了电气化。爱迪生年轻的公司——通用电气，用直流电为城市提供电力（就是我们熟悉的电池的供电形式），电流平稳地从高电压流向低电压，类似于水流下山坡。

然而，直流电的麻烦是它的传输范围不能超过几个城市街区。在长距离传输中，大量电力会转变成热量耗散掉，这是电线上的电阻导致的必然结果。唯一的补救办法是用高电压低电流传输电力，因为耗散的能量与电流的平方成正比，所以要使电流尽量小。但这个方案并不可行，因为爱迪生的客户需要低电压，给他们的台灯和其他小型电器供电。当时迫切需要的是一种被称为直流变压器的装置，它能将直流电从高电压变成低电压。而没有人知道如何制作这种装置，爱迪生也不例外。

与此同时，在19世纪90年代，西屋公司正在实验一种新的电流——交流电，它由尼古拉·特斯拉首创，交流电可以随发电机的旋转同步交替改变电流的方向。这两种方式之间展开了激烈的竞争，最终交流电胜出，因为它更容易将高电压变成低电压，反之亦然。同时，从本质上说，交流发电机更简单，因为旋转的磁体可以自动产生交流电，而将交流电变成直流电只需要一个额外的步骤。

交流电的主要问题是应该使用什么样的频率。换句话讲，就是电流每秒钟应该摇摆多少次。1900年，当各方争取决定权的时候，许多美国当地的电力公司实行独立运作，尝试了不同的选择。有些公司顽固地坚持使用直流电，而另一些公司产出的交流电频率为25赫兹、50赫兹、60赫兹、125赫兹或133赫兹。例如，尼亚加拉大瀑布的水电站和其他水电站偏爱25赫兹，因为发电机中的涡轮机在以这个速度运行时效率最高。但这个频率有一个奇怪的缺点，不是在工程方面，而是在心理方面：25赫兹会使白炽灯也以这个频率闪烁，大多数人都会注意到，并感觉心烦不已。今天，北美洲的交流电频率标准为60赫兹，而世界其他地区都是50赫兹。

渐渐地，随着对电力需求的增长，地方电厂规模扩大，侵占了彼此的势力范围。在这个时候，互联电网诞生了。电网合并有很多优点，如网络系统更为可靠，因为发电厂可以将富余的电力传送到另一处设备出现故障或发电量不足的电厂。合并还可以带来更高的经济效益：不同地区的电厂可以买卖彼此的电力，赚取基于不同服务成本的差价，甚至有时从电网购买电力比电厂自己发电更便宜。

互联电网的技术难点在于，所有生产的电力都必须被同步到相同的旋转速率，即便它们可能相隔数百公里之遥。同步在这一点上至关重要。没有同步，电能会在网络中来回晃动，在输电线路中引起巨大的电流波动。最糟糕的情况是，发电机可能会吸引大量的能量聚集，导致爆炸或机组严重损坏。（现在已有特殊防护设备会断开不同步的发电机。）解决方案的一部分来自物理定律。电气工程师发现，并联的发电机具有天生的自同步倾向：这是关于自同步的一个绝佳例子，其精髓基于惠更斯的时钟同步现象。

两台发电机自同步的情况最容易理解。如果它们以不同的速率旋转，速率慢的发电机就会从速率快的发电机那里吸收能量，最终慢的那台会加速，快的那台会减速，以弥补差异。用更专业的物理术语讲，任何引起一台发电机牵引另一台发电机的干扰，都会被立即流过的补偿电流所抗拒，于是产生了扭转力矩，使两台发电机的速率变得更加接近，及至相等。因此，两台发电机倾向于自同步。

互联电网的缺点是故障会传递。这种多米诺效应十分复杂、无法预知，极具戏剧性。在1965年9月9日晚用电高峰期间，从尼亚加拉大瀑布到纽约市的高压电线正在满负荷运行，电力的洪流在电网中横冲直撞。但在下午5：15之前不久，保护装置失灵，阻塞了30万千瓦计划送往纽约的电力，这些电力立即被岔开到了电网中的其他地方，一个断路器跳闸后触发了连锁反应，将整个美国东北部的电力系统分隔成一个个孤立的电气岛。5：15多伦多停电；5：18罗切斯特停电；5：21波士顿停电。最终，位于新罕布什尔州、佛蒙特州、马萨诸塞州、康涅狄格州、罗得岛、纽约市以及宾夕法尼亚州部分地区遭遇了停电，3 000万人生活受到影响，其中部分地区停电长达13小时。

偶尔有类似这样的连锁故障发生是可以理解的。电网是一个非常复杂的动力系统，承担的工作十分艰巨：即时提供需要的电力，其电压大小和频率必须正确。与其他产品不同，电力无法储存，它必须在现场生产，发电是最初的“分秒不差”的工业。使发电任务更为艰巨的是，用户对系统的需求取决于不可控制的因素，例如热浪和人的心理怪癖。当法官宣读完辛普森杀妻案(10)的判决书时，整个美国电网中的用电量迅速下跌，大概是因为数百万人一听到判决就关掉了电视机。现在，随着电力工业解除了管制规定，以及自由经济对于电网运行的潜在的不稳定影响，工程师和科学家面临着更大的挑战，必须确保有史以来最庞大的机器继续像过去几十年一样可靠地运行。

◎　　◎　　◎

在其他技术应用领域，同步被用于保持事物的有序性。一天中，两个或两个以上的远程位置的精确协议是达成电子银行转账、同步电视直播以及传送一切事物（从电子邮件到电台上的歌曲）的关键。当你收听一个广播电台时，你需要设置到正确的频率，使你的收音机与广播同步。没有这些，你就无法接收到承载着音乐的无线电波，除了静电的噪声，你什么都听不到。相同的原理也应用于手机、卫星通信以及所有其他形式的无线通信中。

计算机芯片中的所有电子组件都是在相同的时钟频率下同步运行的。微电子晶体每秒振动数十亿次，一致地控制数字电路的开启和关闭，这有助于芯片中数以百万计的电路彼此高效地通信。这种集中化设计使得所有的组件都隶属于一个专制的主时钟，其中存在一些明显的缺点：15%的电路浪费在分配时钟信号上，而且时钟本身就会消耗20%的电能。但工程师们仍然倾向于这种设计，因为多个本地时钟就像萤火虫群和昼夜节律起搏器细胞一样，我们仍然未能充分理解并轻易地在实践中模仿。

同步的高新技术应用是惠更斯摆钟和经度问题的嫡系后裔。今天，世界上公认的最好的计时装置是原子钟。与所有早期的时钟类似，它依赖于对周期事件振荡的计数。但原子钟计算的不是太阳的升起、水龙头的滴水，也不是钟摆的来回摆动，而是铯原子在两个能级之间的来回跃迁。国际时间标准，由科罗拉多州博尔德的美国国家标准与技术研究所维护的NIST-F1原子钟确定，它就是一台铯原子钟，运行2 000万年的误差不超过1秒。而目前正在开发的一个新的光学时钟的精度是这台铯原子钟的1 000倍。从宇宙诞生到现在，它的误差不超过1秒。

对于精确计时的痴迷不仅仅是科学家一丝不苟的体现。正如精确的时钟是解决经度问题的关键，原子钟使得我们可以精确定位地球上的任意位置，误差不超过几米，这种技术被称为全球定位系统（GPS）。全球定位系统由美国军方开发，目的是使弹道导弹可以从潜艇上更准确地发射。1991年，全球定位系统成功引导巡航导弹射入巴格达的一栋楼房的窗户，并为联军部队在夜间的伊拉克沙漠中导航，从此，全球定位系统开始受到公众的关注。全球定位系统在和平时期的应用包括帮助迷路的出租车司机导航，应用于精细农业，自动为救护车和消防车计算最快的路径以提升911报警系统的能力。改良版的全球定位系统正在测试应用于大雾中的飞机盲着陆，在这种情况下，飞机在水平和垂直方向上的定位误差不能超过10厘米。但是，全球定位系统不仅仅是一个导航系统，它还可以将时间同步到万分之一秒以内，这对于协调银行转账以及其他金融交易非常有帮助。

全球定位系统由在地球上空17 700千米的轨道上运行的24颗卫星组成，它们的排列使得在任何时刻，地球上的任意位置都至少可以看到6颗卫星。每颗卫星上都载有4台原子钟，彼此之间与博尔德的主时钟的同步误差不超过十亿分之一秒。任意全球定位系统接收机，例如你在汽车或手持设备上发现的那些，都会接收到（至少）4个卫星信号，并利用这4个数字来计算它的三维坐标和当前时间。计算依据的是三角测量的一种形式：卫星持续发射无线电信号，每个时间戳(11)都精确到纳秒（这是星载原子钟的时间）；然后由接收机对接收时间和发送时间进行比较，将二者的差值乘以光速便可计算出设备与卫星之间的距离。在同一时刻与至少4个卫星做相同的计算（我们已知所有卫星的精确位置），接收机在1/10秒内便可以完成对自身的定位，误差不超过几米。

◎　　◎　　◎

无生命的同步的力量延伸到了广阔的太空，范围远远超出了全球定位系统中的人造卫星。我们往往没有意识到宇宙尺度的同步，因为宇宙涉及高深莫测的距离和时间。但是，当天文学家发现了围绕格列泽876（Gliese 876）恒星运行的两个小行星时，他们注意到的第一件事是，两个行星都处于轨道共振状态。轨道共振仿佛优雅的舞蹈，在相同时间内，一个行星环绕它的恒星两圈，而另一个行星环绕一圈。地球的卫星——月球的情况则更为引人注目：月球自转的速度与围绕地球公转的速度相同，这也就是为什么我们总是只看到月球的同一侧，即有“人脸”图案的那一侧，而永远看不到“后脑勺”的黑暗一侧的原因（见图4-1）。

图4-1　月球自转及绕地球公转示意图

月球的公转与自转之间的同步可以直观地进行解释。为了简化问题，我们假设月球围绕地球公转的轨道是圆形的。圆的大小由两个力的平衡所决定：来自地球的万有引力和月球做圆周运动时产生的离心力，离心力使得月球有飞离地球的倾向。（当你乘坐汽车遭遇急转弯时，把你推向车门的力就是离心力。）这两种力，即引力和离心力，在月球的中心完美实现了平衡。但要记住的是，月球是一个巨大的球体，并不是一个点。月球中心以外的点的受力并不完全平衡。在月球的近地侧，引力更强；远地侧则离心力更强。这种不平衡造成了月球上有两个小凸起，一个在近地侧，一个在远地侧。地球上也是如此，月球的引力是导致海洋中产生潮汐的原因。在月球上，由于没有水，“潮汐效应”并不明显，但仍然很重要，正是它将月球从球形变成了雪茄的形状。由于地球的引力作用，雪茄总是想径直指向地球的中心。即使月球绕着地球转动，它也要固执地始终对准，同时，月球也在以一种非常精确的方式自转，它需要在地球的吸引下准确地旋转它的自转轴。这就是如今月球自己发现的运行条件：即所谓的1：1自转轨道共振，或称潮汐锁定。

如果月球违背了这个共振条件，潮汐力就会将它扭回到对准地球的状态。想要了解其中的原因，我们可以先来假设雪茄没有指向地球中心的情况（见图4-2）。

图4-2　月球绕地球公转受力图

此时的情况有点像不指向北方的指南针：力场（对于指南针来讲是磁力，对于月球来讲是引力）施加了一个将雪茄恢复到平衡位置的校正力矩。具体而言，地球的引力向一个方向扭转月球近地侧的凸起，向相反的方向扭转远地侧的凸起，但是近地侧受到的扭转力要远强于远地侧，因为它距离地球更近。其效果就是对雪茄进行调整，使其强制执行1：1自转轨道共振。

相比于指南针，一个更形象的比喻是我童年时的一个大受欢迎的玩具，即一个带有圆形底座头轻脚重的不倒翁；如果你试图打翻它，它会自动立起来。月球同样也是头轻脚重的，从这个意义上讲，它近地侧的凸起受到地球引力的作用更强，因此提供了必要的纠正扭矩将月球拉回同步。

◎　　◎　　◎

另一种形式的天文同步可能涉及恐龙灭绝。一个永远改变了地球上生命过程的事件，使得小型哺乳动物得以大量繁殖，并进化出了人类。根据路易斯·阿尔瓦雷茨（Luis Alvarez）和沃尔特·阿尔瓦雷茨（Walter Alvarez）父子研究小组以及他们的团队提出的理论，恐龙和许多其他形式的生命突然灭绝是因为某个巨大的物体——也许是一颗小行星，也许是一颗彗星，在约6 500万年前撞击了地球。撞击的破坏力相当于1亿颗氢弹，大火、闷热的天气、有毒的酸雨、遮天蔽日的灰尘和烟雾持续数月，造成了全世界的毁灭。

为了了解这样的灾难为何与同步相关，我们首先需要了解为什么陨石偶尔会从天空坠落，撞击我们的星球。这些流星被认为是太阳系早期造星失败后的遗留物。那时，尘埃粒子围绕太阳旋转，逐渐合并成巨石，进而聚集成为越来越大的星体，最终形成了我们今天看到的行星。

由此产生了太阳系最显著的特征之一，即内行星（水星、金星、地球和火星）与下一颗更远的行星——巨大的木星之间的空隙。大多数人对这些星球之间的距离缺乏直观的认识。这些距离似乎高深莫测，难以理解。但我们还是可以在纽约伊萨卡岛感受一下。多亏了一个被称为“萨根行走”（Sagan Walk）的太阳系同比模型，这个名字是为了纪念已故的卡尔·萨根（Carl Sagan），他在康奈尔大学度过了自己大部分的职业生涯。漫步在当地的小镇上，从广场中央的太阳开始，你会立即遇到四颗内行星，每颗约有豌豆大小，分别安装在它们各自的有机玻璃展示架内部。只需几步就可以从一颗走到下一颗，从水星到火星只需要一次短暂的漫步：所有的内行星都在同一个广场上。但要抵达下一个行星，你必须离开下议院沿着大街走几分钟到麋木餐厅，木星就守候在那里。为什么内行星与木星之间有如此巨大的空隙呢？

事实上，这并不是空隙。在火星和木星之间，有一片由数以百万计围绕太阳运行的岩石组成的区域，统称为小行星带。有些岩石是实心的，而其他的则被认为是松散的碎石堆，其组成部分从沙粒到数公里宽的巨石不等。碎石堆有一种奇怪的统一性；它们是通过彼此间的引力维系在一起的，这与我们熟悉的坚硬岩石不同，坚硬岩石是通过化学键结合在一起的。

在其他几个方面，小行星带同样是个谜。一方面，它似乎比理论上要稀疏得多。如今，小行星带上所有物质的总量只有月球质量的1/20。尽管它曾经一度包含了足以形成数个像地球一样大的行星的质量，在今天却没有任何这种迹象。它们都去了哪里？

下面我们将会看到一个与此相关的谜题。一个多世纪以来，天文学家们已经意识到了小行星带上的神秘空隙，即没有小行星存在的环形凿孔，就像老唱片中歌曲之间的间隔一样。1857年，丹尼尔·柯克伍德（Daniel Kirkwood）发现了这一现象，他先前是位小学教师，用学生们使用的教科书学会了代数，后来成为印第安那大学的数学教授。通过钻研天文学家收集的数据，柯克伍德注意到，这些空隙并不是等距的，它们的位置也没有遵循任何明显的规则。

一个重要的线索出现于1866年，当时柯克伍德将这个难题改写成了一个时间问题，而不是距离问题。他想知道一个假想的小行星在空隙中绕太阳公转一周需要多长时间，通过调用开普勒第三定律（天体与太阳之间的距离和天体公转周期之间的数学关系），柯克伍德可以计算出每一个空隙的轨道周期。例如，在最大的空隙中的一颗小行星围绕太阳公转一周需要大约4年时间：这是一个有趣的数字，因为它正好是木星的轨道周期12年的1/3。同样，另一个空隙中的小行星围绕太阳公转5圈与木星公转2圈的时间相等。事实上，所有的空隙都遵循同一个完美的规则：它们的轨道周期与木星的轨道周期总是满足整数比，例如3：1，5：2，7：3，2：1……

这些数字不是巧合。这些空隙现在被称为“柯克伍德空隙”，它们是天文同步的迹象。它们暗示木星的引力是“始作俑者”：木星的引力会与任何误入这些空隙中的小行星产生“共振”，有节奏地扰动它，并最终将它掷出小行星带。

以上便是共振机制的运行原理。我们可以假设，一个公转周期约为4年的小行星，它的公转速度是木星的3倍，对应于3：1的柯克伍德空隙。木星遵循着几乎呈正圆形的公转轨道庄严地行进着，小行星从木星旁边开始前进，然后沿着细长的椭圆形轨道朝太阳冲去。太阳强烈的引力会将小行星吸引到近日点，然后迅速将它送回木星，在相同时间内，小行星公转3圈，木星只公转1圈。在小行星公转第3圈的末尾，它又回到了位于木星旁边的初始状态。换句话讲，小行星与木星的最接近点总是出现在二者轨道中的相同位置处。

这些亲密接触对于小行星有极强的干扰效应，木星体积巨大，当二者最接近的时候，木星的引力对小行星的吸引最明显。此外，因为相互作用总是出现在轨道上的同一点，因此同样的干扰效应会加倍累积。几百圈后，周期性的拉扯积累到扭曲小行星路径的程度，就会使之变得无序，这大大增加了它离开小行星带的概率。（相比之下，如果小行星不处在3：1共振状态，它最接近木星的点会随机分散在轨道上，从长远看，其整体效果会相互抵消。）

计算机模拟表明，从小行星带上甩出的小行星倾向于飞向太阳或飞出太阳系。偶尔，它们会与一颗内行星相撞。如果那颗内行星恰好是地球，且这颗小行星比珠穆朗玛峰更大（基于埋在墨西哥尤卡坦半岛下的撞击坑的大小，可以推断出谋杀恐龙的杀手显然是一颗飞向地球的行星），那么你便会发现天文同步对于我们是多么的重要。

然而，这种说法并没有完全回答第一个谜题。柯克伍德空隙太窄，无法解释所有疑似从小行星带中丢失的质量，认为木星的吸引将其全部弹出的解释似乎极为不可能。天文学家约翰·钱伯斯（John Chambers）和乔治·韦瑟里尔（George Wetherill）最近提出了另一种解答。他们提出，在太阳系诞生初期，几个行星胚胎——有的有火星大小，合并成了小行星带中的岩石（正如它们在其他地方所做的一样，最终形成了我们今天看到的行星）。这些原行星会搅动小行星带中的其他岩石，将它们推入共振地带，主要是弹出，因而使得小行星带变细的速度远快于木星引力单独作用的结果。随着时间的推移，部分甚至所有胚胎行星就会自己进入这些空隙中，它们的结局只能是被弹出小行星带，永远消失。

天文学家亚历山德罗·莫尔比代利（Alessandro Morbidelli）和乔纳森·卢尼勒（Jonathan Lunine）更进一步推测表示，这些固执的行星胚胎中可能有一个曾经撞上过年轻的地球，撞击导致洪水泛滥，形成了海洋。而关于地球的水来自何处仍是个谜。其他内行星上都没有水，或只有极少量的水。鉴于地球在太阳系中的位置，我们拥有的水似乎远比应得的多。

传统的解释是，彗星上拥有比其他已知天体更多的水，在地球形成的晚期，有彗星撞击了地球，将水带到了地球上，形成了我们今天看到的江河湖海。但天文学家们也对这一观点提出质疑，因为彗星中的水的化学成分与地球上的水有很大不同。彗星含有较高比例的重水，重水中的氢原子拥有一种罕见的变异，普通的氢原子原子核中只有一个质子，而重水中的氢原子原子核中有一个质子和一个中子。另一方面，人们发现在一些被认为是小行星碎片的富含碳元素的陨星上发现的水与海洋中的水更匹配。

于是，新的假说随之而来，即地球上拥有巨量的水可能是运气使然，是与一颗小行星带中弹出的冰冻星球撞击的幸运结果。果真如此的话，那么我们必须感谢天文同步，它不仅杀死了恐龙，为我们的祖先腾出生存空间，而且它还提供了生命之源——水。

◎　　◎　　◎

宏大的同步可以发生在宇宙这个最大的尺度上，而在最小的尺度上发生的同步可能会更惊人。在物质的深处，此时的振子是电子，它们就像是微观世界中的萤火虫。但与为了寻求数学上的简便而假定萤火虫完全相同不同，这些量子粒子是真的相同。宇宙中的每一个电子都是无法区分的。它们没有年龄，不会破裂或缺损，它们的完美超越我们见到过的一切群体行为。

在日常生活中，我们习惯于无序形式下的电子，即不合群的惊慌孤立的粒子。驱动烤面包机的电流就是无数狂奔的电子，它们快速冲过灯丝，用它们的“怒气”加热着灯丝。但如果我们取出相同的电子，并对它们进行协调，你便得到了科学界已知的最引人注目的现象之一：数以万亿计的电子步调一致地前进，没有电阻的阻碍便通过金属，没有以摩擦或热的形式耗费任何能量。这种难以想象的光滑导体今天被称为超导。与钟表的同步类似，超导也是偶然之间发现的，在研究温度接近绝对零度，电会发生什么现象时，科学家发现了超导。

05
量子的合唱：同步无孔不入

我6岁的时候，父母给了我一个大电池玩，是那种野营强光手电筒用的电池。不知何故，我突发奇想，用电线把两个电极连在了一起。当我去朋友凯西家，向他展示我的新玩具时，我能够感觉到手中的电线和电池变得越来越热。电流在我无意间制作的电路中无穷无尽地流淌着，电路中的电阻对电流的阻碍作用产生了大量的热量。

在这一现象的微观层面，数以万亿计的电子在电线内部四处乱撞，被铜原子的晶格随机反弹到任意方向，有点像弹球机中的弹球被缓冲器反弹的情形。事实上，这种混乱比弹球的比喻表现得更为夸张。铜原子并不像缓冲器一样是固定的，它们总是在运动。环境温度越高，它们的运动幅度越剧烈。所以更恰当的比喻是：一堆弹球你冲我撞地通过由振动的缓冲器组成的障碍物。每一次与振动的原子晶格的碰撞阻碍了电子的流动，从而形成了电阻。

20世纪初，这种导电模型被所有物理学家所熟知。它预示着金属的电阻会随温度的降低而稳步下降（因为更微弱的晶格振动意味着更少和更轻微的碰撞）。当实验证实了这种预测之后，一些物理学家开始对一个问题感到好奇：如果温度一直下降到绝对零度会发生什么。绝对零度是热力学中的最低温度，在该温度下，所有的原子运动都会停止。有部分科学家认为，电阻会随温度的降低而继续下降，然后在绝对零度时突然消失。而另一部分科学家认为，电阻会下降到某个下限，但永远不会完全消失，因为任何真实的晶格都难免存在杂质和瑕疵。这些缺陷总会产生一些电阻，即便在绝对零度时也不例外。

绝对零度条件下的电阻值问题多年以来悬而未决，因为没有人知道如何才能将温度降到如此之低。直到荷兰物理学家海克·卡默林·翁内斯（Heike Kamerlingh Onnes，1913年诺贝尔物理学奖得主）发明了一种液化氦气的方法，可以将物体冷却到-269℃，相当于高于绝对零度4度（4K）。问题终于取得了突破，翁内斯处在了解决这个问题的独一无二的位置上。1911年，翁内斯发现之前两个阵营的预测都是错误的。他把装有水银的细管浸入液态氦中进行降温，一开始，正如大家所期望的那样，水银的电阻逐渐下降。但随后，当温度下降到4.2K时，电阻开始急速下降；温度再略微下降一点后，电阻完全消失了。

翁内斯发现了超导现象。

从经典物理学的角度看，超导现象似乎是不可能的。没有电阻的导电材料听上去更像想入非非的永动机。永动机可以永远运转，没有任何摩擦，也不需要任何能量。但是翁内斯的发现并不违反热力学定律。原因在于，他的系统实际上并没有像一台机器一样运转，从某种意义上讲，它在环境中没有执行任何工作。然而，排除这个关键问题，超导体似乎有能力成为一种“永动机”。后来的实验证明，一个电流脉冲可以一连数年在超导导线构成的回路中流动，不发生任何能量损失。根据我们的认知，这听起来难以置信，超导态的电阻不只是接近于零，它完全就是零。我们无法通过实验证明它，因为这需要使脉冲电流永远持续。但是这些实验可以得出一个固定的电阻上限。它只有室温下的铜的电阻的一百亿亿分之一。这个数字小于0.000 000 000 000 000 001。

在翁内斯取得发现后的几十年里，科学家一直对超导现象迷惑不解。为什么电阻会如此突然的下降？它为什么会在高于绝对零度的温度下消失，而此时原子的晶格仍然在振动？设想数万亿个弹球直接冲过微振的缓冲器，甚至几乎不看它们一眼，这似乎非常荒谬。传统模型似乎存在着严重的错误。

◎　　◎　　◎

20世纪初，每当科学家们在原子和电子的微观领域深入探索事物本质的时候，整个物理学都出现了类似的崩溃。例如，经典物理学无法解释电子围绕原子核运行的稳定性问题。当时的主流理论认为，电子在围绕轨道运行的过程中会不断地辐射出能量，这会使得它们坠入原子核中。幸运的是，这个糟糕的现象并未被观测到。

在接下来的几十年里，上述矛盾先后被物理学的革命性分支——量子力学的创始人马克斯·普朗克（Max Planck）解决了。普朗克提出，物质和能量本质上是离散的。普朗克假设，能量被打包成一小块一小块的，随后他发现，如此便可以解释材料加热到炽热温度时发出辐射的特征模式。爱因斯坦提出了光量子（现在称为光子）假说，以解释令人困惑的光电效应现象，即在光的照射下，某些金属中的电子会被激发出来。在爱因斯坦的工作（后来他以此赢得了诺贝尔奖）发现之前，没有人能理解为什么某些颜色的光能够激发出高速的电子，其他颜色的光则完全无效。尼尔斯·玻尔（Niels Bohr）通过设定限制的方法解决了电子向原子核坠落的难题。玻尔宣称，电子被限制在一组离散的圆形轨道上，其角动量被量子化为了最小的度量单位，一个单位的角动量被称为普朗克常数（Planck’s constant）。由此，玻尔能够计算出氢原子在受到激发时所发射的光谱，即由彩色光波组成的条形码。计算结果与数十年来无法解释的测量结果完全吻合。

量子论后来的概念似乎更加违反直觉。光有时是粒子，有时是波。电子、原子以及所有的量子物体都是如此。甚至虚无的真空也不再是看上去的那样。在量子场论中，真空变成了粒子和反粒子的滚滚狂潮，它们突然从虚无中诞生，然后同样快速地消失。

如果要用一句话总结古怪的量子的精髓，这句话一定非沃纳·海森堡（Werner Heisenberg）著名的不确定性原理（uncertainty principle）莫属，也是谚语“鱼和熊掌不可兼得”的改进版。不确定性原理表达了某些成对的物理变量之间如跷跷板般的变化关系，例如一个电子的位置和速度。降低其中一个物理量的不确定性必然会增加另一个的不确定性，你无法同时降低二者的不确定性。例如，你越精确地限制一个电子，它的波动就越剧烈。压低跷跷板的位置一端，就会迫使速度一端上升。相反，如果你试图限制电子的速度，那么它的位置就会变得越来越模糊，电子几乎可以出现在任何地方。

多年来，科学家们用“这些稀奇古怪的效应仅局限于亚原子领域”这个信条来安慰自己。今天，我们对其有了更多了解。我们知道，超导现象就是量子力学入侵日常宏观世界的结果，它暗示着锁在地窖里的古怪精灵正在爬上楼梯。

◎　　◎　　◎

事实证明，超导之谜的关键是电子出色的配对和同步运动的能力。为了理解电子的这种合作如何成为可能，我们首先需要更多地了解一些量子群体的行为规则。

所有的量子粒子可以归类为“费米子”和“玻色子”。费米子是领地中的隐士：没有两个费米子可以同时处于相同的量子态。这个规则被称为泡利不相容原理（Pauli exclusion principle），它解释了电子填充原子周围的轨道壳层的有序方式：一次一个，轮流排队，就像人们礼貌地在剧院的一排座位上依次就座一样。费米子趋向于彼此互相避让，最终服从化学基本定律，尤其是元素周期表的结构、原子间化学键的规则以及磁体的特性。

玻色子的特性与费米子相反。它们是群居的，多个玻色子可以同时处于相同的量子态，没有数目的限制。事实上，玻色子更喜欢成群结队：某个状态下的玻色子数量越多，对其他玻色子就越有吸引力。确切地讲，一个玻色子采用某一特定状态的概率正比于已经处于这种状态的玻色子数量加1。这意味着，一个包含了99个玻色子的量子态的吸引力比一个空的量子态高100倍。从这个意义上讲，玻色子是根深蒂固的工匠和墨守成规者，它们喜欢合唱。

第一个构想出这种量子合唱模型的人是爱因斯坦。1924年，爱因斯坦新收到了一位不知名的年轻印度物理学家萨特延德拉·玻色（Satyendranath Bose）的信，他有一个离经叛道的想法想要发表，但他的论文被一个学术期刊拒绝了，现在，他希望再次尝试投稿前可以得到爱因斯坦的认可。不同于之前经常收到的各种奇怪的书信，这封信激发了爱因斯坦的好奇心。玻色发现了一个巧妙的方法来重新推导最初由普朗克在1900年解决的黑体辐射定律，这一理论上的突破开启了量子革命。普朗克之前的观点有一个很特别的特征，甚至连普朗克自己也对它不满意，但现在，玻色似乎设法将它用更优雅的形式表现了出来。然而，爱因斯坦经过仔细审阅，注意到了隐含在玻色的计算中的奇怪逻辑。处于相同能级的量子粒子是难以区分的，在列举这些量子粒子的所有不同排列组合方式的过程中，玻色假设了一种新的计数规则。

这个计数问题有点像“同卵双胞胎彼得和保罗坐在两把椅子上，有多少种不同的排列组合方式”，如果用正常的计数方法，我们会说有两种：保罗坐在左边，彼得坐在右边；或者相反。但如果彼得和保罗的长相完全一样，那么如果你过了一会儿再回来，你永远不会知道他们是否调换了椅子。由于我们无法区分他们，所以就只有一种排列组合方式：每把椅子上坐着双胞胎之一。玻色说，当物体难以区分的时候，我们就需要采用不同的计数方式。事实上，玻色在数年后承认，自己并未意识到这种方法的新奇之处。对他而言，在黑暗中凭借敏锐的直觉命中目标似乎是自然而然的。

爱因斯坦对玻色的工作进行了延伸，他考虑了所有遵循这种奇特统计方式的量子粒子集合的群体行为。玻色只关注了纯辐射，例如所有形式的光，光由疑似没有质量的光子组成，而爱因斯坦将这个理论推广到物质，即由有质量的粒子组成，例如原子。爱因斯坦的数学计算预言了令人震惊的结果：当冷却到足够低的温度时，这些玻色子（它们的新名字）显示出了量子的一种同步，它们简直行动如一体。这些粒子的个性荡然无存，融合成了一种难以描述的物质，既不是固体也不是液体，而是一种新物质。

爱因斯坦的推理太专业了，即使采用比喻的方法，也难以在这里描述。而应用海森堡在三年后的1927年提出的不确定性原理，可以更容易地得出爱因斯坦的结论。尽管现在有点不合时宜，但是接下来的简明论证却是今天大多数物理学家理解爱因斯坦预言的这种现象的方法。

我们试图表明的是：在足够低的温度下，大量玻色子可以融合成单个的实体。当你思考一个玻色子时，请不要思考一个点；相反，你要构想一个模糊的、朦胧的概率云，它会告诉你玻色子最有可能在哪里被发现（见图5-1）。

图5-1　概率云

概率云模型可能有助于让你回想起古老的《花生》漫画中的角色“乒乓”(12)。你很少会看到乒乓，你看到的都是他周围的一团尘土，你知道他就在里面的某个地方。同样，玻色子也被一个球形的阴霾所笼罩，它是由概率分布所组成的一系列同心壳层，黑暗的中心是最有可能找到粒子的位置。这个中心是概率分布最高的区域。用接触量子理论之前的常规方式进行思考，这里就“是”玻色子所在的位置，虽然也总是有机会在概率云遥远的边缘找到它。

现在我们可以想象一群这样的概率云，它们都在三维空间里随意飘来飘去。这个群代表玻色子气体，问题是：当我们把这种气体的温度冷却到接近绝对零度时会发生什么。根据海森堡不确定性原理，注定会发生一些奇怪的事情：这些模糊的东西会变得更加模糊。概率云会扩大并且变得稀疏，这意味着玻色子可以在更广阔的范围内游荡。至于其中的原因，可以回想一下前文提到的跷跷板。冷却玻色子，将它们减速到几乎静止，作用是将它们的速度限定到一个确定数值（它们的速度不可能小于零）。现在，由于跷跷板的速度一端被压低，所以位置一端必然会上升。同理，玻色子的速度变得越确定，它们的位置必然会变得越不确定。换句话讲，它们变得更模糊了，它们的概率云向外延伸了（见图5-2）。

图5-2　不同温度状态下的概率云

在临界温度处，概率云扩大了很多，于是它们开始重叠，玻色子也开始混合。爱因斯坦说，一旦发生这种情况，它们中的一大部分就会自发坍缩到相同的、能量最低的量子态。甚至爱因斯坦自己也不确定这个预测该如何解释。爱因斯坦在1924年12月给他的朋友保罗·埃伦费斯特（Paul Ehrenfest）的信中写道：“这个理论很漂亮，但它会有几分道理呢？”

在爱因斯坦的数学概念提出71年后，1995年，他的设想在科罗拉多州博尔德的一所实验室中达成了。利用磁场、蒸发冷却技术以及类似于光盘播放器中的激光，埃里克·康奈尔（Eric Cornell）和卡尔·韦曼（Carl Wieman）将稀释后的铷原子气体冷却到了高于绝对零度不到百万分之一的温度。即使是专业的低温物理学家，也会对这个温度倒吸一口冷气。在这些很可能是宇宙历史上绝无仅有的极端条件下，康奈尔和韦曼观测到成千上万个原子表现为一个原子的形态。2001年，康奈尔、韦曼以及麻省理工学院的沃尔夫冈·克特勒（Wolfgang Ketterle）分享了当年的诺贝尔物理学奖，以表彰他们创造了物质的这种奇特状态，现在我们称之为玻色-爱因斯坦凝聚体（Bose-Einstein condensate）。瑞典皇家科学院在新闻稿中写道，三位科学家成功使原子实现了“合唱”。

玻色-爱因斯坦凝聚体几乎就是难以想象的外星产物。没有人确切知道该如何描述它的意义。人们常用的说法是，许多单个的原子凝聚成了一个巨大的“超级原子”。其他人则将这种新状态描述为“一锅模糊的、重叠的炖菜”。我个人比较喜欢瑞典皇家学院使用的语言。“原子合唱”的比喻说出了它真正的精髓。同正弦波或其他任意波一样，与玻色子（或是我们一直说的概率云）相关的量子波都有振幅和相位。在玻色-爱因斯坦凝聚体中，所有这些量子波是携手并进的。它们的波谷和波峰完全对齐，物理学家称之为“相位相干”。类似地，当耦合振子系统同步振动的时候，所有振子也都具有相同的相位。不同的是，振子不会真正合并成一个。

量子相位相干不仅仅是神秘的奇闻逸事。它带给了我们20世纪最重要的发明之一——激光。正因为光子是由玻色-爱因斯坦统计(13)所支配的难以区分的粒子，所以把大量的光子置于同一量子态是可能的，它们的表现就像一列单独的、巨大的光波。当一个能量过程，例如电流或闪光灯，将原子激发出最低能量状态，把它们的一些电子提升到更高的能级（请回想被举上凳子的西瓜）；当这些原子释放，将过剩能量以光子的形式发射，使它们在激光腔内以随机方向飞出，大部分光子会被腔壁吸收，但那些在两端的两个镜子之间移动的光子会继续来回反弹，彼此加强，邀请其他光子加入它们的量子态。由于典型玻色子的“友好”特性，每个反弹回来的光子会招募新的光子到光波中，从而完成被称为“受激发射”的连锁反应过程：它们刺激其他光子与它们自己同步释放，进一步增强光波、刺激辐射，等等。当光波变得足够强时，它们中的一些穿透前端的镜子（只是部分反射），呈现出一道强烈、狭窄的同步光，激光就这样产生了。

◎　　◎　　◎

量子同步同样解释了超导现象的原理。这个论证很棘手，因为我们一直在讨论的群体行为不会轻易出现在电子中。电子作为费米子，生来就是不合群的。相反，超导依赖于一种微妙的机制，可以刺激电子成对加入，使它们变成玻色子，所有限制全部失效。这些成对的电子自发形成玻色-爱因斯坦凝聚体，这种同步合奏使得它可以承载电流毫无阻力地流过金属。

事实上，对于超导现象的解释姗姗来迟。它需要对量子理论有着超过50年的领悟，1957年，物理学家约翰·巴丁（John Bardeen）、利昂·库珀（Leon Cooper）、罗伯特·施里弗（Robert Schrieffer）终于对超导现象做出了解释。他们的解释中最不可思议的创新点是，电子可以配对。通常情况下，我们往往认为电子是相互排斥的，因为它们都带负电荷。

电子配对机制是间接的。电子之间的相互作用是由带正电荷的离子的晶格影响的。（早先，我们把这些离子称为原子。但由于它们会自由分享各自的一些传导电子，因此它们带正电荷，被称为离子。正电荷是电子配对机制的关键。）因为二者电荷极性相反，所以当一个电子通过晶格时，它会轻轻拉拽晶格。这种变形会产生一个带有略微过量正电荷的空间区域，从而吸引第二个电子。正是由于这种间接作用，两个电子联系在了一起。

通过某些现象可以直观地感受这种机制，虽然都不太恰当，却具有启发意义。我们可以设想一个在水床上滚动的保龄球，它会使水面产生一个凹陷，从而吸引另一个保龄球尾随它的轨迹。这里的保龄球就像电子，可变形的水床就像晶格。或者也可以将这种图景想象为自行车比赛，领骑的选手率先冲破空气，跟随在他身后的第二名选手就会受到更小的空气阻力。但这种设想的问题在于，超导体中的成对电子之间的距离实际上是相当远的，第二个电子并非紧跟在第一个身后。从这方面看，成对的电子更像是一对相隔很远距离跳舞的青年情侣，在房间两端步调一致地移动。尽管二人之间可能有很多其他青年舞者，但他们二人的情侣关系是毫无疑问的。毕竟，房间里只有他们在步调一致地一起跳舞，在物理学家看来，就是成对电子的运动是“强相关”的。

配对的重要性在于，它改变了电子结交的意愿。单个的电子是费米子，是固执的隐士。但一旦有两个电子配对成功，实际上就变成了玻色子。（这与量子理论相符，表明费米子和玻色子之间的区别类似于奇数和偶数之间的区别；两个费米子配对成为一个玻色子，而两个奇数相加则成为一个偶数。）一旦电子耦合形成了这些所谓的“库珀对”，它们便极度渴望与其他玻色子结交，以至于它们都挤进了相同的量子态——最低能量状态。接着，它们会全都失去自己的身份，凝聚成玻色-爱因斯坦凝聚体。在青年舞会的比喻中，这就意味着整个人群都在同步跳着集体舞。

巴丁-库珀-施里弗理论（The Bardeen-Cooper-Schrieffer theory）巧妙地解决了一些关于超导性的谜题。最重要的是，它解释了为什么电阻会在低于临界温度时下降到零。这种解释与库珀对的集群行为有关。在电场作用下，成对的电子会以严格同步的步伐通过超导体。任何与杂质或振荡离子的撞击，即任何可能引起阻力的事件，都会使得电子对进入另一个量子态。但要记住，加入某一特定状态的概率与n+1成正比，其中n是处于该状态的玻色子数。加入群体的吸引力是其他选择的几十亿倍，所以没有哪一对会自动散伙。创造电阻的唯一方法是同时驱散亿万对成对的电子，如此极端的事件几乎是不可能发生的。因此，超导体的电阻是零，或至少小于科学家可以测量到的任何电阻。

该理论还表明，超导性不仅仅是普通导电性的延伸。以前，我们总是会发现一种貌似自相矛盾的现象：在正常导体中导电性最好的银和铜，几乎没有超导性，甚至在高于绝对零度0.001度时都不显示超导性。然而根据新理论，我们便可以解释这种现象。良导体导电性好正是因为它们的载流电子无视晶格的存在。但由于它们通过激励电子和晶格各行其道，所以这些材料没有机会形成库珀对。配对机制严重依赖于电子使晶格变形的能力（类似于在水床上滚动的保龄球），从而使得第二个可以跟随在它的轨道上。如果水床很硬，第一个保龄球不能使水面产生凹陷的水槽，第二个球就没有机会跟随它。所以良导体都是糟糕的超导体，因为它们无法形成必要的库珀对。

最后，该理论解释了为什么电阻在特定温度会突然下降。这与水处于零度会突然结冰的原理有些类似。两个过程都是相变，都是自组织对于随机运动的胜利。在冰点时，水分子得以平静下来，使得它们之间的吸引力将它们结合成晶体。类似地，在超导现象发生的临界温度，原子晶格平静下来，使得电子形成库珀对，凝聚成玻色-爱因斯坦凝聚体。在这两种情况下，温度下降毫厘便可导致天壤之别。

该理论的一个定性含义是，没有物体可以在较高的温度下（也许是20K至50K之间）显示出超导性，因为晶格振动太剧烈。这似乎又是一个成功的预测。多年来，通过尝试各种各样的金属组合，实验者逐步以每次零点几度的温度提升着世界纪录，最终定格在23K。难以逾越的上限正如预想的那样，至少在20世纪80年代中期之前是这样。

◎　　◎　　◎

1986年，科学家发现了高温超导电性，在学界引起了震动。首先有科学家宣布陶瓷材料在创纪录的30K以上的温度时变成超导体。仅仅两年后，世界纪录达到了令人难以置信的125K。截至本书截稿时，有科学家提出，高温超导电性的物理基础可能是由磁性的相互作用影响的，而不是先前认为的晶格振动。需要注意的是，虽然巴丁-库珀-施里弗理论在低温下表现得很完美，但它并不是故事的全部。

这些进展重新推动了超导性可能的实际应用。即使在其最初的低温形式下，超导性也具有巨大的经济效益和节能效用。由于采用超导材料制成的电线没有电阻，不会产生热量，所以它们可以承载非常大的电流，而同样的电流流经普通电线则会引发火灾。基于同样的原因，它们也更节能。（美国能源部估计，美国生产的全部电能的7%以上都浪费在了电阻和输电过程中的其他损耗上，而使用超导技术的电网会将这个数字减小一半。）除了效率上的好处，巨大的电流还可以用来驱动强大的电磁铁，形成强大的磁力，将火车抬离轨道，从而消除车轮与钢轨之间的摩擦，这也是日本磁悬浮列车的理论基础。1997年，日本运输部长授权建造山梨磁悬浮火车试验线。两年后，MLX01测试车速度达到了552公里／小时。在军事领域，超导磁体也极具应用价值，包括船舶推进系统，超灵敏的潜艇和水雷探测器，用于摧毁敌人电网和电子基础设施的电磁脉冲发生器等。

尽管极具潜力，但超导技术在市场上的实现却十分缓慢。其中面临的一个障碍是达到超导状态所需要的低温，这种低温环境只有实验室中复杂的制冷系统中才能实现。这也是高温超导电性的发现引起巨大轰动的一个原因：只要通过液氮冷却就可以达到临界温度，液态氮既廉价又丰富。因此，目前更严重的障碍变成了用新材料制造高强度的柔性导线。像其他陶瓷一样，它们易碎，易破裂。我们同样很难制造出实用长度的导线；由于材料的缺陷，当它们太长时往往会失去超导性。此外，最佳的超导导线的形式是将新材料包裹在银中，尽管成本会随着需求的增加而减少，但也使得它比铜导线的成本高20倍。最后，虽然磁悬浮列车的技术已得到了证实，但它们在欧洲和美国的广泛应用却遭到了政治和环境问题的阻挠。

在20世纪60年代初，还没有人梦想过这些事情。新的巴丁-库珀-施里弗理论带来的成果刚刚在世界各地的实验室和大学中展现。对这些结果进行深入研究的是剑桥大学的一位年轻的研究生。他是个身材矮小，说话细声细语的威尔士人，戴着黑框眼镜。他即将发现量子同步的一些惊人的启示，最终使超导性在意想不到的领域发挥了作用：从医学成像到世界上运行速度最快的超级计算机。与此同时，他的职业生涯也发生了意想不到的转变。

◎　　◎　　◎

1962年，22岁的布赖恩·约瑟夫森在剑桥大学读书，是一位研究生。他的专业是实验物理学，但他发现自己被理论物理迷住了，尤其是在菲利普·安德森（Philip Anderson）的课程上学到的东西。安德森是超导和固体物理学专家，在贝尔实验室工作，度假期间正在访问剑桥。没多久他便注意到了约瑟夫森。在授课中遇上约瑟夫森“是非常让人紧张的体验，我可以向你保证”。安德森说：“因为一切都必须正确，否则他就会在课后出现在我面前，解释给我听。”

一天，约瑟夫森向他的老师展示了自己做的一些计算。约瑟夫森曾想过如果他把两个超导体用非常薄（只有1～2纳米厚）的氧化层连接起来，会发生什么现象。他脑海中的画面看起来像一个三明治：面包片是超导体，切得非常薄的肉片是氧化层。

约瑟夫森无法完全相信自己的方程组。方程组表明，电流流过氧化层时没有遇到电阻。根据经典物理学理论，这无疑是不可能的。因为氧化物是绝缘体，它可以完全阻挡电子的流动，就像让电子穿过一堵砖墙。然而，约瑟夫森的计算说明，他可以把绝缘体变成超导体，把它从一个极端转变到另一个极端。在这种情况下，电子会感觉它们行进的道路畅通无阻，并没有砖墙的阻碍。这里的电阻为零，而不是无穷大。

约瑟夫森的预测基于一种量子效应，它被称为量子隧穿。形象地来说，就如困在井里的粒子无须爬出来便可逃脱。仿佛变魔术一般，它们可以穿过墙壁，甚至不留一个孔洞。

与很多量子理论类似，隧穿违背了我们关于世界运行规律的常识。但当我们回想起量子同样具有波动性的时候，矛盾看上去稍微缓和了一些。就像喧嚣聚会中的声波可以穿过看似坚不可摧的约瑟夫森的氧化层，隧穿不仅是一种假设的可能，它是真实发生的，有实验已经证实了它。事实上，就在若干年前，在伊瓦尔·贾埃弗（Ivar Giaever）还是纽约州特洛伊的伦斯勒理工大学的一名研究生，他证明了单个电子可以通过绝缘屏障从一个超导体穿越到另一个，但是这需要电压在幕后帮忙。现在，约瑟夫森的计算显示了一些更奇怪的东西：没有电压的推动，隧穿仍然可以发生。

为了直观地感受这种矛盾现象，我们可以把电流类比为水流。就像水往低处流一样，电流会从高电压流向低电压。现在我们再来想象两个桶，每个桶底部都有一个小洞，通过一个细软管连接，水可以在它们之间流动（类似于由薄氧化层连接的两个超导体）。如果你在每个桶中注入等量的水，一个挂在楼梯间的顶部，另一个放在底部，那么水就会从高处的桶流向低处的桶。但如果两个桶挂在同一高度，并保持稳定，那么水不会自发在两个桶之间流动。水不会平级流动。这正是约瑟夫森的方程所预示的：两个相同电压的超导体之间没有电流。

如何使水的横向流动成为可能？约瑟夫森正在考虑一种完全陌生的物质，一种完全不像水的物质——量子流体，这是库珀对的完全同步的合奏。我们所习惯的液体都由彼此之间不合作的分子组成。在微观层面，即使是小溪中平静的溪水，也不过是一堆分子在激烈地乱撞、滑落、翻滚、抖动。但是超导体中库珀对的液体在以一种我们几乎无法想象的方式遵守着纪律。所有的成对电子相位一致；它们的量子波的波峰和波谷完美地叠加。正如约瑟夫森的假设，如果氧化层足够薄，那么这些量子波就可以穿透障碍物，影响另一侧的超导体。这种耦合可以使得库珀对穿过绝缘体的隧道。换句话讲，方程组预言了“隧穿电流”的存在。

即便是量子理论，这个结论看上去也古怪至极，所以约瑟夫森请求他的导师看一看他的工作成果。安德森自然乐意效劳。“到现在我才了解约瑟夫森有多么优秀，我会不加怀疑地接受他说的一切。然而，他自己似乎半信半疑，所以我花了一个晚上来思考描述这种电流的术语。”这个术语就是“隧穿电流”。库珀对在穿过绝缘体时会保持完好，这真的可能吗？貌似更合理的假设是，它们分裂成了单个的电子，产生正常的电流，就像贾埃弗在他的早期实验中看到的一样，电流在流动过程中会遭遇电阻。

也有科学家对于这个问题提出了更进一步的质疑，约瑟夫森的论文导师布赖恩·皮帕德（Brian Pippard）曾经主张，库珀对的隧穿不大可能是真实的，也很难检测到。粗略地讲，这就像是同一地方遭遇了两次雷击。单电子穿过绝缘体的概率很小，所以两个电子同时隧穿的概率便是刚才那个数的平方——一个近乎无穷小的数。但约瑟夫森的数学计算表明，两个电子隧穿的概率与一个电子不相上下。“我花了数日之久来说服自己，我的计算没有错误。”约瑟夫森在转年写道。进一步的信心来自皮帕德和安德森，他们审查了约瑟夫森的工作，对他的观点表示了赞同。约瑟夫森的数学证明是正确的。然而，他们三人心中都没有十成把握。

约瑟夫森理论中的其他含义同样令人不安。他的方程预示，超导电流的强度应该取决于障碍物两边量子波的相对相位。如果有某种方式能够使得两个超导体的相位略微不一致的话，超导电流就会出现。相位差越大，超导电流就越大，但都存在于一定的限度内。一旦两列量子波之间的相位差达到了1/4周期，即90度，超导电流就会达到最大值。（方程组预测，一般情况下，超导电流与相位差的正弦函数成正比。）为了驱动量子波脱离同步，约瑟夫森假设，通过将外部电流源接入三明治结构，将电子注入系统。

根据方程组的计算，只要施加的电流不太大，它就可以表现出假想的超导电流的形式。但很显然，只有有限大小的超导电流才可以以这种方式传导。如果尝试传递更多的电子，那么多余的电子便不会配对。它们会自发分开，产生电阻，造成两个超导体之间的电压差。然后，障碍物的任何一边的量子波都将相互解锁，它们的相位会以某一速率渐行渐远。这个速率与新产生的电压差成正比。由于超导电流取决于相位差的正弦值，以及相位差随时间的增加量，所以该理论说明，三明治结构中的恒定电压差会产生非恒定的交变电流。

这种预测同样违反常识。对于普通电阻而言，固定的电压会产生恒定的电流，就像挂在楼梯间高处水桶中的水会稳定地流入低处的水桶。然而，根据约瑟夫森的方程组，隧穿电流不会流向任何地方；它会在合适的位置以正比于电压的频率振荡。为了更具体地理解这种现象有多古怪，我们可以试想这对连在一起的水桶来说意味着什么。如果用约瑟夫森的量子流体替换掉水，我们会看到量子流体诡异地在两桶之间的软管中来回晃动，净流量为零。即使我们把楼梯上方的水桶挪到更高处，以增大压力，向下流的水的净流量仍然为零，只是晃动得更快些而已。这种效应现在称为“交流约瑟夫森效应”。

交流约瑟夫森效应另一个引人注目的方面是，产生振荡频率的电压比值被认为是自然界中的一个普适常数。无论振荡电流多大，或超导体使用的是哪种金属，这个比值总是相同的。该比值是由普朗克常数（所有量子现象强度的测度）除以电子电荷量（电荷的基本单位）的值的两倍。这些数字表明，超导电流应该会极其快速地实现隧穿，即三明治结构中仅仅千分之一伏的电压产生的交变电流一秒钟会反转1 000亿次，这个数字比今天最快的家用电脑的运算速度还要快大约50倍。

约瑟夫森的预测似乎几近荒谬，但它们是正确的吗？要知道，当今顶尖的固态物理学家是绝不会容忍这些的。

◎　　◎　　◎

与此同时，约翰·巴丁已经获得了他第一个诺贝尔奖。1956年，巴丁同威廉·肖克利（William Shockley）和沃尔特·布拉顿（Walter Brattain）共同被授予了诺贝尔物理学奖，以表彰他们发明了晶体管。16年后的1972年，巴丁再次获得诺贝尔奖，这次是因为他解决了前文讨论的长期存在的超导之谜（与利昂·库珀和罗伯特·施里弗共同获奖）。

巴丁阅读过年轻的约瑟夫森的论文，他确信论文中的论据是错误的。1962年，在一篇文章的“证明中添加的注释”中，巴丁驳斥了约瑟夫森所谓的超导电流，断言“电子配对不会延伸到障碍物中，所以不存在这样的‘超导电流’”。

1962年9月，诺贝尔奖得主和研究生之间面对面的对决在伦敦玛丽女王学院的低温物理会议上发生了。在讲座开始前，贾埃弗简要介绍了对决的双方。他后来回忆道：

在伦敦，人们在大厅里四处徘徊，我把约瑟夫森介绍给了巴丁，约瑟夫森试图向巴丁解释他的理论。但巴丁微微摇了摇头，说“我不认同”，因为他已经仔细思考过这个问题。在简短的谈话期间，我一直站在旁边。接着巴丁离开了，约瑟夫森非常沮丧。他表示无法理解巴丁居然是一位著名的科学家。

会议室挤满了人。巴丁坐在房间靠后的位置。当时会议的主席认为，听取辩论双方的观点很有益处。约瑟夫森首先上台发言，他发表了预先准备好的演讲，解释了为什么他认为库珀对的隧穿是一种十分重要的效应。随后巴丁走上讲台回应。当他争辩说，电子配对无法延伸到障碍物时，约瑟夫森打断了他。两人的论战你来我往。约瑟夫森回答了所有对他的新想法的异议。会议气氛自始至终文明有礼，两人都保持着骨子里的冷静和理性。然而，辩论的过程似乎暗示，约瑟夫森对超导理论的理解要优于它的创造者。

当时，几乎没有观众发表意见，因为很少有人能够在两人中做出选择。然而，一位来自斯坦福大学的杰出的物理学家得出了一个与之无关的明确结论：他离开了会议大厅，认为他的学校应该聘用约瑟夫森。

与此同时，安德森的休假结束了，他返回了贝尔实验室，感觉自己变成了约瑟夫森的“最热心的传教士”。他和同事约翰·罗厄尔（John Rowell），一名娴熟的实验者，开始着手探寻隧穿电流。几个月后，他们成功了。实验的测量结果显示了可以证实直流约瑟夫森效应的现象：正弦波依赖于超导电流的相位。此外，他们还发现了磁场中超导电流的独特特性。几个月后，其他科学家证实了交流约瑟夫森效应。在这些决定性的实验成功之后，巴丁终于谦和地承认约瑟夫森是正确的。

◎　　◎　　◎

接下来的一年里，大家认识到，这些现象不仅局限于超导性。理查德·费曼用他绝妙的方法对其刨根问底，得出了一个基本的论点，表明约瑟夫森效应确实具有普遍性。1962—1963年，在加州理工学院，费曼在课程结束时向自己的学生展示了它，后来记载在《费曼物理学讲义》中。

费曼的论证表明，约瑟夫森效应会出现在任意通过弱连接耦合形成的两个相位相干的系统中。相干意味着每个系统都表现出单一的量子波特征；弱意味着波只有轻微的重叠，但并不相互干扰；重叠区域跨越弱连接，使得粒子可以在其中实现隧穿，从而耦合这两个系统。只通过这些假设，费曼便重新推导了约瑟夫森发现的一切。他预测，如果两侧的耦合粒子的平均能量不同，那么它们就会以某一频率来回振荡，振荡频率等于两个粒子的能量差除以普朗克常数。但这个预测多年以来都未被证实（除了在超导体中），因为测量过程存在技术上的困境。1997年，经过30年的努力，约瑟夫森效应终于在另一个相位相干系统中被发现：超流态氦。

超流态氦是我们在进行楼梯间的水桶的思想实验时所假想的量子液体的具体实现，其形态几乎是超现实的，既可以沿着容器壁爬出容器，也可以在无限小的微孔中流动。它没有黏度，所以光滑得令人难以置信。例如，假如慢慢旋转一个装满了超流态氦的碗，你会看到容器旋转，但氦不旋转。现在，我们舀出一杯超流态氦，将它竖直放在碗的上方。一滴超流态氦会抗拒重力，爬上杯子的内壁，翻过杯口，落回到碗里。这一滴刚刚落下，另一滴便开始爬上杯子。像科学幻想一样，超流态氦会自发落回碗里，一次一滴，直到杯子流空。

这种怪异的形态是量子同步的一种表现形式。当液体冷却到非常低的温度时，就会变得高度有序。正常情况下，它们会凝结成晶体。但氦的两种同位素，氦3和氦4，至少在通常压力条件下不会凝固。随着温度一路下降到绝对零度，它们会一直保持液态。这种液体通过另一种意义上的自动排序解决了矛盾：经历玻色-爱因斯坦凝聚，变成了量子的合唱。这里的玻色子是氦4原子或氦3原子对，类同于库珀对。在极低的温度下，所有原子的运动减慢，引起量子波的延伸，所依据的是前文提到的海森堡不确定性原理。在临界温度，量子波重叠，自发落入相同的量子态，将数万亿计的原子同步为相位相干的超流体。

1997年，加州大学伯克利分校由谢默斯·戴维斯（Seamus Davis）和理查德·帕卡德（Richard Packard）带领的物理学家团队，让水桶思想实验变成了现实。他们取了不同压力下的两小匙超流体，通过薄弱的连接，即上面打了数千个狭小微孔的超薄柔性膜，将它们耦合起来。根据费曼的分析，超流体会在微孔中来回振荡，其振荡频率与压力差成正比（然而正常的流体只是简单地从高压侧流到低压侧）。这个实验非常与众不同，部分是因为氦不带电，这意味着它的流量无法像电流一样被检测到；部分是因为微孔必须特别小，大约比细菌小100倍。

戴维斯和帕卡德花了10年的时间来寻找预期的振荡，但一无所获。现在他们有了新策略，一个新的研究生团队正准备开始尝试。他们的计划是，瞬间将薄膜歪斜，将液体挤压到一侧，创造一个瞬态的压力差。然后，随着薄膜回到平衡状态，他们便可以监控内部超流体的振荡。交流约瑟夫森效应的特征是振荡的频率逐渐降低，随着压力差重新降为零，振荡的声音会逐渐变得低沉。但即使有最好的示波器，研究生们也没发现任何类似的东西。他们把原因归咎于系统中存在过多的噪音。经过几个月的努力仍一无所获，他们非常沮丧，准备放弃实验。

他们的导师帕卡德让他们关掉示波器，尝试用听筒听振动的声音。学生们不同意，认为这毫无作用，在他们看来，那里一无所有。“他们确实不想做了，最后他们找到的不想做的原因仅仅是实验室中没有听筒。”帕卡德回忆道。于是帕卡德去了附近的一家电子器材商店，花1.5美元买来了听筒。学生们说连接器错误，帕卡德又买来了适配器。

研究生谢尔盖·佩列韦尔泽夫（Sergey Pereverzev）不情愿地插上了听筒，按下开关开始了实验。他几乎是从椅子上摔了下来。他的耳朵立即听到了示波器错过的东西：一个尖锐的声音，它的声调逐渐降低，像一枚坠落的炸弹。一切正如费曼的理论所预测的那样。

◎　　◎　　◎

在过去40年中，量子同步引人注目的表现已经催生了若干实际应用。约瑟夫森的超导三明治结构——约瑟夫森结，催生了最灵敏的科学探测器。例如，一种被称为超导量子干涉器件的装置，利用的是超导电流在磁场中极度的灵敏性。超导量子干涉器件可以测量比原子核小1 000倍的位移，或比地磁场弱1 000亿倍的磁场。超导量子干涉器件应用在天文学中，可以用于检测来自遥远星系的微弱辐射；在无损检测中，它可以发现隐藏在飞机铝皮之下的腐蚀部位；在地球物理学中，则可以用于协助定位深埋地下的石油资源。

超导量子干涉器件由两个通过超导材料回路并联约瑟夫森结组成。为了想象这一情景，请将你的手臂举过头顶，双手紧握在一起。你的双肘就代表两个约瑟夫森结，由你的手臂和肩膀组成的圆环代表超导回路。超导量子干涉器件的基本原理是，磁场中的变化会改变两个约瑟夫森结两侧的相位差，从而改变它们之间的隧穿电流。就像池塘里的涟漪，可能会在碰撞时加强（波峰遇到波峰），也可能相互抵消（波峰遇到波谷），超导量子干涉器件双臂中的量子波的干涉方式敏感地依赖于它们的相位，进而依赖于回路中的磁通量。这样，超导量子干涉器件微小的磁通量变化就转变成了可测量的电流和电压的变化，使得超微弱的电磁信号可以被检测和量化。

一些最引人注目的应用是在医学成像领域。利用由数百个超导量子干涉器件传感器组成的阵列，医生可以精确地确定脑肿瘤的部位，以及与心律失常和致痫灶（直接引起某些癫痫发作的部位）有关的不规则电通路。超导量子干涉器件阵列可以描绘身体产生的磁场中微妙的空间变化，得到的轮廓图使计算机可以重建产生信号的组织内的区域。这些步骤与常规的探查术不同，完全是无创的。尽管多通道成像机高昂的价格妨碍了它的广泛应用，但从长远来看，它们有可能大大降低医疗保健成本。例如，利用超导量子干涉器件阵列定位致痫灶大约需要3个小时，而另一种方法是在病人的大脑中植入电极，这需要持续一个星期之久，花费5万美元以上。

约瑟夫森结也被视为新一代超级计算机可能的组件。其具有的一个优势的特征是它们的原始速度：它们开启和关闭的频率为几千亿赫兹。而或许更重要的是，约瑟夫森晶体管产生的热量是传统半导体的千分之一，这意味着它们可以排布得更密集，而不会发热。我们总是喜欢密集的排布，因为体积小的电脑运行速度更快。通过使用较少的电线，它们受光速的影响更小，这最终决定了信号从电路的一个部分传递到另一部分所花费的时间。

由于这些诱人的优良特性，IBM为这个备受瞩目的项目投入了15年和3亿美元，以研发超导计算机，这是一种超快且通用的机器，其逻辑和内存芯片使用了约瑟夫森结制造的开关。这是很自然的想法，因为某些类型的结有两个稳态——一个是零电压，另一个是正电压。任何有两种状态的器件都是用作开关的候选，对应于计算机使用的二进制逻辑。类似地，计算机内存某一特定位的有无会被编码成相应的约瑟夫森存储元件中的电压的有无。

1983年，IBM放弃了这个项目，理由是开发高速存储芯片十分困难。管理层认为，等到这种新计算机建成的时候，它的性能也不会比半导体计算机领先很多，这种方法的革命性变革无法得到充分体现。从那时起，日立、日本电气公司、富士通和其他日本企业便一直追逐着约瑟夫森计算机的梦想。

◎　　◎　　◎

实际上，约瑟夫森本人几乎没有参加出自他本人工作成果的新产品的开发。1973年，33岁的约瑟夫森获得诺贝尔奖后放弃了主流物理领域，开始全神贯注地研究超自然现象：顺势疗法(14)、超感官知觉（ESP）、遥视(15)，甚至用意念弯曲勺子。如今他仍然在研究这些问题，他的态度是，这些现象应当受到科学界更多的关注，不应该被列入“黑名单”，而目前的情况正相反。

当我们告诉我的学生们约瑟夫森现在的样子时，他们大笑不已。我的同事们的反应也类似；他们通常摇摇头，抱怨他误入歧途，而少数人甚至变得十分愤怒，认为他把自己的名望投入到了主要由骗子和盲从者组成的领域中。最近，这种敌意完全公开了，原因是约瑟夫森蓄意挑起了事端。

2001年10月2日，英国皇家邮政局发行了一套特殊的邮票，以纪念诺贝尔奖设立100周年。邮票上附有一个小册子，小册子中是诺贝尔奖全部6个奖项（物理学奖、化学奖、医学奖、和平奖、文学奖以及经济学奖）的英国籍获奖者受邀撰写的关于所获奖项的短文。对于物理学奖获奖者，他们碰巧选择了约瑟夫森。以下是约瑟夫森的短文：

物理学与诺贝尔奖

布赖恩·约瑟夫森

剑桥大学物理系

物理学家试图将自然的复杂性降低到一个统一的理论中，其中最成功和最通用的量子理论，已经与数个诺贝尔奖相关，例如狄拉克和海森堡获得的那些奖项。100年前，马克斯·普朗克最初尝试解释热体辐射的精确能量，这是以数学形式捕捉神秘的、难以捉摸的世界的开端，这个世界上包含着“相隔很远存在的幽灵般的相互作用”，这足够真实，并催生了诸多发明，例如激光和晶体管。

量子理论正卓有成效地与信息论和计算理论结合。这些发展可能会让我们可以解释传统科学中无法理解的过程，例如心灵感应，英国目前已处在了该领域研究的前沿。

心灵感应？总有一天它会被量子力学解释吗？毫无疑问，物理学界迅速对此表现出了厌恶。“这完全是垃圾。”牛津大学量子物理学家戴维·多伊奇（David Deutsch）说：“心灵感应根本不存在，皇家邮政局被一派胡言蒙骗了。”“我很怀疑，”加州大学圣芭芭拉分校的诺贝尔奖得主赫伯特·克勒默（Herbert Kroemer）说，“很少有人相信心灵感应的存在，同样也不相信物理学能够解释它。皇家邮政局卷入其中似乎是个错误。当然，如果美国邮政局做了这样的事情，我们中的很多人都会很愤怒。”对此，皇家邮政局做出了无力的辩解，一位发言人说：“抱歉，我们只能访问为数不多的几位英国籍诺贝尔物理学奖得主，所以只好选择了约瑟夫森。”

物理学界的傲慢是毫无根据的。约瑟夫森曾经是一个英雄，现在仍然是。当我读到他对超自然现象的讨论时，并不感觉逆耳和荒谬。他似乎的确对这些可能性很好奇。他希望科学家们更仔细地观察它们。量子理论本身就很奇怪，几乎就像约瑟夫森所思考的事情一样牵强。正如100年前没有人会相信，数十亿个电子能够一起同步，穿过坚不可摧的壁垒。

但这并不是说我同意约瑟夫森的观点。约瑟夫森相信，“有些人可以在没有物理接触的情况下使金属弯曲”，这太难接受了。在任何情况下，每当我想到他现在的样子，最强烈的感觉就是怀念。即使分开30年了，但物理学界的很多人仍然很想念他。

06
晃动的千禧桥：中间物的弱耦合

这是一段隐藏的平行时间，形形色色的人在不知不觉的同步中继续着自己的生活。1962年，布赖恩·约瑟夫森刚刚开始他的研究生生活；阿瑟·温弗里进入了大学；米歇尔·西弗尔在法国的一个地下洞穴里瑟瑟发抖，亲身体验着无人知晓的“时间之外的生活”的影响；诺伯特·维纳骑着他的独轮车穿行于麻省理工学院的走廊，吃着花生，抽着雪茄，寻找着他的下一位听众；列夫·朗道正躺在莫斯科的一家医院中，惨烈的车祸已经让他昏迷数月。这些科学家都对同步科学已经做出了或注定要做出开创性的贡献。然而他们都没有注意到彼此的存在。几十年后，我们才开始意识到他们之间的深刻联系，以及他们与克里斯蒂安·惠更斯之间的联系。而在整整300年前，惠更斯还在他的卧室中养病，观察到了钟摆的同步摆动。但现在，我们可以把上述科学家的工作看作是一个复杂整体的一部分，彼此之间通过数学建立起了联系的桥梁。

我们注意到的第一座桥将日常经验中的熟悉世界与量子的陌生世界联系了起来。1968年，贝尔实验室的麦坎伯（D.E. McCumber）和RCA实验室的斯图尔特（W.C. Stewart）各自独立找出了分析约瑟夫森结电学特性的方法，就好像它只是电路中的一个普通元器件一样。正如电阻满足欧姆定律（通过电阻的电流与它两端的电压成正比）一般，约瑟夫森结服从它独特的电压和电流的关系。具体而言，当外部施加的电流通过约瑟夫森结时，电流会分开流过三个独立的通道，每个通道都代表着不同的传导机制。部分电流由库珀对运载，这种怪异的超导电流在绝缘障碍中隧穿时没有受到任何阻力，而剩余的电流则由通常不成对的电子和位移电流（一种与节点处变化的电压相关的传导方式）运载。

通过研究所有三种路径，麦坎伯和斯图尔特发现，节点的动力学特性可以通过其变化的相位自然地表达，显示出障碍一侧与另一侧之间的量子波是多么不同步。这真是一个新奇的事物：在一般电学定律中，没有任何规律表现出量子力学的特征。但随着研究的深入，麦坎伯和斯图尔特注意到，电学振荡的方程更像是一个化了装的老朋友，任何一个物理系大一新生都认识它。它便是钟摆的运动方程。

这是一种让数学家充满敬畏的巧合。“这是一种奇妙的感觉，”爱因斯坦说，“为了识别出复杂现象的统一性，要去观察貌似完全无关的东西。”从表面上看，惠更斯的钟摆和约瑟夫森结似乎是截然不同的——钟摆看上去很舒服很熟悉，处于人类经验的尺度内，就像荡秋千的孩子一样普遍，像落地式大摆钟的嘀嗒声一样舒适；而超导结是异类的，振荡速度是心跳速度的1 000亿倍，是电子穿过坚不可摧的壁垒的超现实主义结果，仿佛鬼魂穿过墙壁一般。但这些差异都是假象。从本质上讲，约瑟夫森结和钟摆的动力学特性是相同的，它们的模式在时间上是相同的：这是一个代数题目的两种变化。对老朋友的识别同样有不可避免的困难。问题在于，钟摆的方程是非线性的。

具体而言，钟摆的重力扭矩是摆角的非线性函数。你可以这样理解它，设想你手持杠铃，伸开手臂将它抬离自己的身体：垂直向下，水平与肩平齐，举过头顶，等等。此处，重要的是不要混淆重量和扭矩之间的区别。无论杠铃在哪里，重力对它的作用都是相同的，向下的拉力只由杠铃的重量决定。但在某些角度上，重力会猛烈地向下扭曲你的手臂，扭矩测量的就是这种扭转效应的强度。当你的手臂垂直下垂时，扭矩是零，你的手臂不受到任何方向的扭转倾向；当你将手臂稍稍抬起一个角度时，这时扭矩几乎还是垂直下垂，但向一侧歪了一点，此时重力会产生一个很小的扭矩。起初，扭矩的增加几乎与角度成正比。偏转2度时的扭矩是偏转1度时的2倍，这是一个完美的近似。对于这些小角度的偏转，扭矩可以认为是角度的线性函数：角度加倍，扭矩随之加倍。在这种情况下，扭矩与角度的函数图像是一条直线。

但随着角度增加，近似线性不再成立。扭矩的增加比你期望的更慢，它落在了先前的直线的下方。当你的手臂侧平举，即角度为90度时，最大的扭矩就会出现。长时间保持这个姿势举杠铃很难做到。如果你把胳膊举得更高，举过肩膀，此时扭矩开始下降，最终，当杠铃垂直在头顶上时，扭矩减小到零。因此，扭矩与角度的曲线看起来像一个向下拱的弓，并不是线性的。事实上，它是一个正弦波的一段弧。

现在我们来看看扭矩与约瑟夫森结之间的联系。正弦函数同样出现在了早期的直流约瑟夫森效应中，即超导电流与穿过节点的正弦相位成正比。穿过节点的相位就类似于钟摆的角度。事实证明，方程中的所有条件都有与之对应的条件。正常电子的流动对应钟摆由摩擦引起的阻尼，钟摆的质量就像是结点的电容，施加到钟摆的扭矩就像驱动结点的外部电流。

这些机械学的类比在科学上总是有价值的，它们能使陌生变得熟悉。此处，这个比喻可以让我们将钟摆的直观感觉转移到约瑟夫森结中。例如，当结点稳定运行时，相位恒定不变，这种情况下就不存在动力学特性，也没有需要研究的东西；结点的表现就像完美的超导体，只有超导电流流经。机械模拟的情形是，钟摆被恒定的力矩扭转到一侧，静止不动，倾斜在水平线下的某个角度上。这种情况下，不存在摩擦和惯性，因为没有移动的物体，只有重力单独来平衡施加的扭矩。只有当我们施加低于临界值的小电流通过结点时，这种简单的情形才会出现。

更有趣的情形是，我们施加大于临界值的电流流过结点，相位作为时间的函数就会突然开始以一种复杂的方式改变。一旦相位开始变化，结点两侧便会出现电压。然后，因为交流约瑟夫森效应，超导电流开始在两个超导体之间来回振荡。同时，这个电压也驱动一些普通的未成对电子通过电阻通道，而位移电流同样也在争夺它在总电流中的份额。三个通道都变得活跃起来，它们的相互作用产生了三者之中电流的令人困惑的涨落。所有这些复杂现象都可以追溯到结点处相位的非线性动力学特性。在机械方面，你要设想钟摆以变化的速度转过顶端，减速上升、加速下降，自始至终将施加的扭矩与变化的摩擦力、重力以及惯性的合力相平衡。

如果我们想让事情进一步复杂化，让扭矩本身随时间变化，如同洗衣机的来回搅动，此时钟摆的旋转会变得混乱，它会以各种各样的方式旋转，随意地改变方向。与约瑟夫森结相对应的电痉挛的验证是混沌理论的成功实验之一。在此之前，物理学家一直将钟摆看作规则钟表的标志，而在突然间，钟摆成了混沌的范例。

最重要的是，旋转的钟摆和约瑟夫森结的动力学特性都被同一个非线性的方程支配。正如前文强调的，非线性问题是丰富、迷人，而又非常困难的。它们位于数学的前沿，甚至远远超越了前沿。20世纪70年代至80年代，混沌理论的研究进展打开了我们的眼界，让我们得以了解钟摆和约瑟夫森结的动力学特性，并破译它们的密码。

◎　　◎　　◎

钟摆和约瑟夫森结的联系只是同步景观中众多引人注目的桥梁之一。我和我的同事偶然发现了另外一个，它也许更出乎意料，因为它将生物振子群体与耦合成大型阵列的约瑟夫森结阵列的动力学特性联系到了一起。这个新发现的联系的意义仍然十分神秘，但它似乎很重要，因为它将两个伟大的科学领域联系到了一起：一部分处理早期观测到的有生命的同步：泰国和马来西亚的萤火虫，夜晚蟋蟀的合唱，动植物被太阳牵连的生理周期；另一部分用于处理无生命的同步，这是一条沉睡了数百年的线索，我们从惠更斯和他的同步钟摆开始，到了20世纪，随着各种奇妙的振子的发明才被唤醒：如发电机和锁相环、激光和晶体管以及现在的超导约瑟夫森结。很明显，生物和非生物振子群体都容易自发同步，但是直到1996年，我们才意识到它们中隐藏的机制有多么类似。结果证明，这种相似是家族性的——它是相同数学血液的一个标志。

通过研究约瑟夫森结阵列，联系被发现了，这种结构对应于同步层次结构中的下一级别。我们已经讨论了最低的亚原子级别，这是约瑟夫森自己考虑的级别，即数万亿个同步的库珀对来回一致地在结点中隧穿，产生了在绝缘层中振荡的超导电流。下一步是将许多这样的电子振子耦合到一个阵列中，探索它们之间的同步。根据先前的比喻，库珀对像管弦乐队中的一个个小提琴手，彼此和谐地组成了一个纪律严明的弦乐组——约瑟夫森结。接着，许多不同的乐器组（弦乐组、木管组、打击乐组）组成了一个更大的管弦乐队，即约瑟夫森结阵列。然而这个乐队中并没有假想的指挥者，阵列应当是自发同步的。

鉴于我们已经了解了单个约瑟夫森结的特性，那么现在我们面临的挑战就是预测约瑟夫森结的群体行为。这个问题很重要，因为约瑟夫森结阵列已经应用到了许多现代技术中，从大脑扫描仪及其他医学影像设备，到应用于射电天文学和监测大气污染波段的电磁辐射探测器。美国官方电压标准是由美国国家标准与技术研究所维护的，利用了由19 000个约瑟夫森结串联耦合成的阵列。电路设计者希望能够预测出实现某些特定功能的阵列的最佳布局，但由于支配它们的非线性方程组难以处理，所以科学家们不得不依靠天分，或反复进行试验。

理论家们试图通过强行将方程转化成线性模型来提供指导，其代价是极端近似。这种削足适履的方法偶尔会阐明最对称的集体行为，例如完全同步的状态，所有结点都在同步振荡。但作为一种探索工具，线性理论是不恰当的，它缺乏远见，无法提供关于阵列自组织的无数种选择方式的任何暗示。

只有应用几何学、可视化，以及要求全局思维的非线性动力学，才能胜任这项工作。当然，这项工作是艰巨的，它需要立即看到所有的可能性，需要探讨数百个非线性方程的动力学特性，这对应上百个维度的抽象空间中的数学变换。但在1990年前后，在混沌理论获得成功的鼓舞下，非线性领域已经准备好了去迎接这一挑战。理论家们充满了自信和渴望，而擅长数学的生物学家已经纵身投入了高维空间，在黑暗中摸索，尝试去了解关于萤火虫、神经元、心脏细胞耦合的理想模型。在下文中，我们将体验佐治亚理工学院的一位年轻的物理学家科特·威森弗尔德的新视角，他想要将其带入到约瑟夫森结阵列的分析中。

◎　　◎　　◎

1990年，威森弗尔德已经名声大噪。1987年，他与同事共同撰写了论文，介绍了“自组织临界”(16)的概念。这是一个雄心勃勃的理论，它宣称能解释为什么那么多复杂的系统似乎永远停留在灾难的边缘。该理论后来被应用于解释在大规模的灭绝事件、地震、森林火灾以及其他复杂过程中观察到的奇特的统计模式。在这些过程中，多米诺效应通过系统传递，通常会产生小瀑布，偶尔则会引发大洪水。这项工作勇敢无畏、极富争议。大多数物理学家认为它是我们理解复杂系统的一个重要进展，而一些怀疑论者则认为这只是一时流行，爱开玩笑的人则称之为“平凡的自我吹捧”。

当时，威森弗尔德是布鲁克海文国家实验室的博士后研究员（如今他是一名助理教授），想要独自进行探险。他一直着迷于耦合非线性振子，甚至在刚刚开始自组织临界的研究时还特意研究了耦合摆。他对约瑟夫森结阵列的电路方程倍感亲切，因为这让他想起了自己过去常常思考的钟摆问题。当威森弗尔德开始同彼得·哈德利（Peter Hadley）和马克·比斯利（Mac Beasley）一起工作时，他便正式踏入了这一领域。哈德利是斯坦福大学的研究生，比斯利是哈德利的导师，也是超导专家，他们已经意识到非线性动力学可以用于约瑟夫森结阵列的分析。当他们得到了威森弗尔德的帮助时，这个项目便开始了。这是一个强大的团队：哈德利是一名勤奋的学生，在计算机模拟方面拥有高超的天赋和敏锐的嗅觉；比斯利身材瘦长，满头白发，见识广博，经验丰富；威森弗尔德则是非线性动力学领域的顶级高手之一。

他们决定着重研究“串联阵列”，即所有的结点首尾相连。从数学的角度看，这种结构是最容易处理的，同样可应用于发电技术。虽然单个的约瑟夫森结只能产生大约1微瓦的电力，这对于任何实际应用而言都太过微弱，但通过合作，它的输出可以显著放大。正如全体观众同步鼓掌的声音要大过任何一名观众单独鼓掌一样，相比于单独的约瑟夫森结，同步的约瑟夫森结阵列是更强大的辐射源。例如，如果你能找到一种方法劝诱1 000个结点同相位振荡，那么传递到另一个器件（与阵列并联的“负载”）的能量将放大100万倍（联合功率正比于结点数的平方）。可难点之一是找到一种方法来使它们同步。没有人知道电路的最佳结构或负载的最佳种类。事实上，甚至没有人真正知道为什么阵列应该或不应该同步。这是一个根本性的问题，是整个领域的共同障碍。

威森弗尔德和他的合作者清楚，负载的电特性（阻碍电流的方式）很可能是至关重要的。没有负载，结点永远不会同步，它们甚至无法感受到彼此的电子振荡。最简单的负载特性类似于电阻，通过的电流与它两端的电压成正比，或者它的特性可能更像电容（通交流、隔直流）或电感（与电容相反，通直流、隔交流）。在一般情况下，负载可能涉及三种阻抗的组合，根据不同的强度加权，有很多种选择。

通过对上述多种情况进行计算机模拟，三位科学家绘制出了同步状态的稳定性特征，了解了哪种负载可以最好地同步阵列。但是他们同样也碰到了预料之外的东西，这些东西引人注目、难以忽视。当阵列不同步时，它们通常会陷入一种完全不同的秩序中：所有的结点以相同的周期振荡，但都竭力保持在步调最不一致的状态，仿佛它们互相极力排斥。威森弗尔德团队称这种奇怪的组织模式为反相状态，后来又被称为伸展状态。

对于两个结点而言，伸展状态就像惠更斯所观察到的钟摆同步时的现象：钟摆以相同的速率摆动，但两者整整相差半个周期。一个发“嘀”声，同时另一个发“嗒”声。对于两个以上的结点，伸展状态将周期划分为相等的部分。如果有10个结点，它们将执行相同的动作，彼此相隔1/10个周期。它们全都按照相同的方式运动，彼此错开相同的时间。我们很想将这种群体行为想象为优雅的舞蹈，在阵列中荡漾的波，但这种想象是一种误导。波不一定必须从一个结点传递到相邻的结点，它们可以按照任意次序传递。如果将电子振荡想象为机械振荡的话，那么伸展状态看起来会有点像一排跳舞的机器人，它们全都执行相同的一套动作，但在空间上是任意排列的：一个机器人完成某个动作，然后队尾的机器人完成相同的动作，接下来任意一个位置的机器人也完成相同的动作。机器人可以以任意次序跳舞，每种排序都是一个有效的伸展状态。它们只在空间安排上有所不同，并不是执行的动作或彼此间的时间间隔不同。

阵列越大，序列的空间排列的可能性就越多。数量的增长极为迅速，甚至比指数增长更快，例如5个结点有24种伸展状态，10个结点有32 680种伸展状态。威森弗尔德认为，这种爆炸性的增长可能会为未来的约瑟夫森计算机提供存储器体系的结构基础，每个存储器可以被存储为一个不同的伸展状态。相比于0和1的静态集合，伸展状态将以一种动态模式进行编码，即阵列中电子运动的螺旋舞。神经科学家认为，我们对气味的记忆就与之类似，此时的振子是大脑嗅球中的神经元，不同的激发方式编码不同的气味。

通过仅仅几个结点，你就可以制造一个巨大的存储器，想要多大就有多大。但这里有一个问题：为了让方案有效运转，每个状态都必须是稳定的，以阻止电路中的随机噪声引起的状态变化。现在的问题就变成了，伸展状态是稳定的吗？它们的稳定性如何取决于负载？当时的威森弗尔德还无法用数学的方法解决这个问题。更重要的是，他意识到自己仍然缺乏全局性理解。除了同步状态和伸展状态，还会有哪种状态呢？它们如何组成一个整体？威森弗尔德的目标野心勃勃：对于任意数量串联的结点以及与阵列并联的任意类型的负载，他都要去了解其所有可能的群体行为。

◎　　◎　　◎

1990年，当我在得克萨斯的一次会议上遇到威森弗尔德时，立即产生了一种亲切感。我们年龄相仿，具有相似的背景和科学志趣，而且我们发现在一起时双方都很开心。他向我介绍了他对约瑟夫森结阵列问题的观点，我当即感觉我们在一起工作或许会很有趣。威森弗尔德或许对这件莫大的乐事感到有些纠结，特地向我说明了这项工作的科学应用前景（如果有人问你为什么要做这项工作，你应该严肃回答自己的理由）。但老实说，应用不是我们对这些阵列感兴趣的真正原因，驱动我们的是纯粹的好奇心，是解决美丽耦合振子系统的数学问题所带来的一种纯粹的快乐。

尤其是，这个方程组本身就有着令人陶醉之处。每个结点之间的耦合似乎都是相同的，尽管在物理上它们是串联的，就像链条中的环形连接，但方程使它们看起来更像是多对多连接的。这让我备感惊诧和惊喜。通过先前对佩斯金的心脏细胞模型以及温弗里和藏本由纪的生物振子模型的研究，我已经熟悉了这种怪异的、超对称的连接。在那些设置中，多对多的耦合单纯是为了便于研究。没有人知道正确的方程组，大家自然都从最简单的例子开始。当然，真正的心脏细胞和萤火虫与近邻个体的相互作用要远强于远处的个体。

当与先前相同的平等主义耦合出现在约瑟夫森结的方程组中时，我机警地点点头。“不，不，”威森弗尔德告诉我，“确实是那样。多对多耦合在这里完全正确，它直接来自电路方程。方程的原理是，当结点串联时，每个结点上流过的电流大小相等，就像一队救火队员传递的水一样。”威森弗尔德答应会议结束后给我写一封长信，记录下所有的细节。

在我打开信封之前，我便从他写地址的笔迹知道，和他在一起工作会很有趣。他的笔迹优雅、高低起伏，清晰而又奇形怪状。经历了多年学生考试阅卷工作的我总结出了一套业余的笔迹分析方法，屡试不爽：如果所有答案都用紧密细小的字母书写，像机器一般完美，仿佛打字机打出来的一般，那么这名学生一定是班中的顶尖学生。顺便一提，这条规则对凌乱的字迹则不起作用。笔迹潦草的学生有可能一塌糊涂，有可能才华横溢，也有可能处于二者之间的任何位置。但优美的笔迹本身就是个好现象。

威森弗尔德建议我们从最理想化的可能问题开始：两个相同的约瑟夫森结串联，由恒定电流驱动，假设负载是一个电阻，每个结点中只有两条路径。（对于某些类型的结点，第三条路径——位移电流，可以忽略，这是一个不错的取舍。）

这些简化的优势在于，我们可以通过绘制普通的二维图片将系统的动力学特性可视化。在任何给定的瞬间，每个结点都有明确的相位，就像快照中的钟摆歪在了某个角度上。通过水平绘制一个相位，竖直绘制另一个相位，我们便可以将所有可能的组合表现为正方形中的点，任意一个方向都有360度可能的相位，这个正方形可以被称为系统的“状态空间”。它有一个有趣的几何特性，让人联想起一款老式电脑游戏，一艘宇宙飞船从屏幕右边起航，然后神奇地出现在了左边，撞到底部后又从上边出现。约瑟夫森结阵列的状态空间也拥有这种神奇的特性，因为相位360度和0度没什么区别（就像一个垂直的钟摆，你转动它旋转了一周后，它仍是垂直的）。由于正方形的左右边缘对应相同的物理状态，数学家们便想象它们无缝连接在一起，就像你把一张纸卷成一个圆柱体，把边缘粘在一起。此外，顶部和底部边缘同样也是相同的，所以它们也应该连在一起，这意味着圆柱体弯曲成了圆环状，形成了一个圆环面（见图6-1）。

图6-1　串联约瑟夫森结的二维示意图

结论是，这个最简单的约瑟夫森结阵列的状态空间相当于一个圆环的表面。环面上的每一个点都对应阵列的电气状态，反之亦然。随着时间的推移，阵列的状态时刻都在变化，圆环面上的对应点平滑地过渡，像一粒尘埃轻轻滑过表面。这个假想的流谱——它的漩涡和回流、静止和奔流，都是阵列固有的电路方程。鉴于当前相位的数值，方程决定了它们将会在下一个瞬间如何变化。

方程组是非线性的，我们无法寄希望于明确解决它，但我们认为，推断流谱整体的定性特征或许是可能的。例如，停滞点（圆环面上微粒卡住的位置）对应阵列的电平衡状态，所有的电流和电压不随时间变化，这种状态的稳定性可以通过想象微粒被推离进行评估；如果它总是自动返回，仿佛被吸入了排水管，那么这种平衡状态就是稳定的。或者假设流谱包含一个封闭的回环，微粒可以在漩涡中循环不休，经过一定时间后总是重新回到它的起始位置。这种循环意味着一种周期性重复，即阵列中的电子振荡。威森弗尔德和我知道这样的循环是必然发生的，但我们完全不了解它的稳定性，不知道它是否会把附近的状态带入漩涡。

最简单的循环是同步振荡，两个结点的相位在任何时刻都是相等的。相应的轨迹沿着正方形的主对角线流动，自左下角出发，然后到东北方，直至从右上角离开，随后立即返回左下角（因为360度和0度对应同一相位）。在正方形上看，轨迹似乎从一角不连续地跳跃到了另一角，但在表现系统真正状态空间的圆环面上看，则并没有显示出跳跃，这种过渡更像是无缝的。

我们在分析整体流谱时震惊地发现，每条轨迹都在以类似的方式重复自己。每个解都是周期性的。从表面判断，这可能并不令人十分惊讶。至少在中学教科书中，没有假想的轴承，没有空气阻力，钟摆的来回摇摆就是永恒重复的。在这种情况下，无论你从多大的角度释放钟摆都不重要，无论多大角度，它都会一直摇摆下去。其他“守恒”的机械系统也是如此，在假想的理想化条件中，不存在一切形式的摩擦和机械损失，机械能完全守恒。但这也正是约瑟夫森结阵列的周期性运转状态对我们来说如此令人震惊的原因——阵列中存在摩擦。在电气术语中，摩擦就意味着电阻。结点自身存在电阻（对应于正常电流的通路），负载也是一个电阻。但不知何故，约瑟夫森结阵列却是一个守恒系统。

威森弗尔德和我推断这种矛盾的状态可能是只研究两个结点的人为结果。对于两个以上的结点，也许这个系统可以张开它的两翼，表现出更具代表性的行为范围。我有一些古老的计算机程序，用于早期研究生物振子的工作。我曾经用其中一个程序来模拟温弗里和藏本由纪的模型，数百个彩色的点围绕着一个圆形轨道运行；还有一个程序用来模拟佩斯金的心脏细胞模型，事实证明，这十分有助于当振子释放时对其进行频闪拍照。所有这些程序都可以适用于分析约瑟夫森结阵列方程组。如今，随着威森弗尔德回到佐治亚理工学院，我回到麻省理工学院，分工就成了情理之中的事情。我们决定，由威森弗尔德和他的学生郭曾（Kwok Tsang）负责对两个以上的结点进行数学分析，而我则负责尝试对其进行计算机模拟。

◎　　◎　　◎

10个结点似乎是一个相对较好的起点：这个数字足够小，在可控范围内；但又太大，不太容易观察。现在的轨迹不是在正方形或圆环表面上流动，而是在一个十维空间内流动。我的优势在于，我的计算机程序能够快速大量地处理非线性方程，一次向前推进一小步，然后将结点不断变化的相位显示为围绕圆形轨道运行的10个点。最终图像令人眼花缭乱，因为10个点不停地旋转着，你感受到的完全是一种铺天盖地的旋转。感知相对运动中的逐步调整尤其困难，而频闪的把戏可以给我们些许宽慰。当一个预先指定的结点达到特定的相位时，假想的闪光灯开启，可以同时照亮其他9个结点的相位。这样便不再受旋转之苦，但仍有9个点需要同时观察。追寻9个点的运行轨迹相当于描绘一个九维空间。

人脑无法轻而易举地想象三维以上的空间，计算机的平面屏幕将显示的维度进一步限定在了二维，所以我需要找一些方法来扩展自己的思维，以了解这个九维空间里发生的事情。摆弄了一会儿后，我最终决定采用多面板方式，就像20世纪60年代的那些虚情假意的电影，在多个画面中分别显示不同的演员。一个面板描绘2号结点和3号结点的相位，每个结点各用一个轴表示。其余的面板分别显示结点3和4、4和5等的相位。我们指定1号结点触发频闪：每当它越过指定的起跑线（其周期中的一个特定阶段），计算机便在每个面板中绘制出对应的点，代表那个瞬间的相位。结果就是，计算机屏幕上充满了面板，每个面板随着每次频闪的闪光不断更新。

在通过这些新假想的眼睛观察系统之前，我需要预测一下自己可能看到的东西。最坏的情况是，如果方程组的解非常复杂，这些点会在每个面板上疯狂地跳来跳去，逐渐填充为模糊的一团。如果它们呈现出一定结构特征的话，那么这一团可能是花边状的，内部有条纹。再如果，事情只是像两个结点那样简单，那么每个点最终都会在同一位置着陆，在计算机屏幕上钻一个洞，并不离开它起始的像素点。这无休止的重复表明，所有的轨迹仍然是周期性的（因为对于一个周期性的解，每当结点1越过起跑线触发闪光，结点2和结点3总是会出现在适当的地方，所有其他的面板也是如此）。

启动计算机开始模拟，我紧紧盯着屏幕。过了一段时间，每个面板上同时出现了一个点，意味着结点1已经完成了1圈，触发了闪光。然后是下一圈，再下一圈。在每个面板中，每个点都持续接近初始点，但又并不完全在初始点的上方。这十分有趣。这些毫厘之间的误差意味着10个结点的轨迹不是周期性的，这也证实了我们当初的怀疑：两个结点太特殊了，无法令人信服地展现出更庞大阵列中的特征。

随着计算机的继续模拟，不同的模式显现了。点的轨迹呈现出了一条曲线，而不再是一团，它们的运动一丝不苟，限制在一个极细的路径中，路径不断延伸，也不断被填充。所有的面板都显示出了相同基本结构的不同版本：一个带有圆角的三角形回路。我担心自己只是偶然间选择了一个异常的起点，因此又尝试了许多其他的初始条件。在看到结果时，我大吃一惊，原来每个起点都会产生自己的圆角三角形，所有这些分离的三角形都可以整齐地嵌套在彼此的内部，就像俄罗斯套娃一般。

这种结构令人难以置信。这意味着方程组包含了一个秘密的对称，一个可能引发这种秩序的隐藏的规律。我从来没有见过这样的东西。每条轨迹都有着广阔到无法想象的十维景观，并伴随着潜在的上、下、前、后、左、右徘徊，还有7个甚至无法用文字描述的维度，然而它们却没有做任何事情，这就像走在钢丝上永远不会坠落一样不可能存在。某些事物将方程的解限制在了全部可能性中的一部分，它甚至与阵列中的结点数量无关：20个、50个、100个……所有模拟轨迹都服从相同的俄罗斯套娃模型的内嵌三角形图案。当我把这个消息告诉威森弗尔德时，他同样目瞪口呆。只有两种可能，不是计算机在捉弄我们，就是约瑟夫森结阵列的数学问题中存在着前所未有东西。

◎　　◎　　◎

在接下来的四年里，我们中的许多人变得痴迷于这个谜团。威森弗尔德和他的学生史蒂夫·尼科尔斯（Steve Nichols）对更广阔的阵列进行了计算机模拟，持续检测这种惊人秩序的相同迹象。北亚利桑那大学数学家吉姆·斯威夫特，想出了一个巧妙的近似方程组，以处理这些阵列的动力学特性。他用所谓的平均方程代替了原方程，平均方程更容易分析，但仍保留了原方程的本质。像所有解谜者一样，当从正面下手难以解决问题的时候，数学家经常求助于近似，至少一开始是这样。通过简化问题，斯威夫特打开了对阵列进行数学分析的大门。在他的带领下，我的学生渡边真也发现了潜伏在斯威夫特的平均方程的解中的俄罗斯套娃结构；随后，借助出色的分析，渡边真也继续证明了大部分相同的结构都潜伏在原始的、非平均电路方程中。结果，渡边真也发现了一个新的“可积系统”，一个数学王国中的罕见明珠。它没有特定的应用，至少没有我们所了解的应用。在我看来，这更像是在海滩上找到了一个美丽的贝壳。

对于由好奇心驱动的研究，除了它带来的乐趣以外，最美妙的事情之一就是它经常有意想不到的副产品诞生。斯威夫特和渡边真也开发的技术让我们第一次可以了解更现实条件下（各个结点不完全相同）的约瑟夫森结阵列的动力学特性。工程师们向来无法分析无序阵列，虽然他们清楚地知道真正的结点的电特性总是存在几个百分点的差异，因为目前的制造技术无法让它们更加一致。结点的差异限制了它们在阵列中的效能，因为它对工程师在探索过程中进行的相关操作产生了抵制。当这样的阵列由外部电流驱动时，它们就会变化无常：如果电流低于某阈值时，它们就会保持不相干，所有结点都在随机的相位振荡，以至于它们的电压相互抵消；当电流超过阈值时，阵列才会开始自发同步。为了试着理解这种行为，威森弗尔德、我与佩雷·科利特（Pere Colet）合作使用斯威夫特的平均方程将方程组转化成了一种更易于处理的形式。

现在，摆在我们面前的是藏本由纪的模型。如《2001：太空漫游》中谜一般的巨石埋在土壤之下，等待着猿人找到它一般，我们也需要从藏本由纪的模型中召唤出通往同步的关键节点。直到现在，藏本由纪模型仍被认为只不过是个方便的抽象概念而已，是了解不同的振子群体在何种情况下，以及如何自发同步的最简单的方法。它诞生于纯粹的想象，被编造成了一幅有关生物振子的漫画：蟋蟀、萤火虫、心脏起搏细胞。现在，它又在超导约瑟夫森结的动力学特性中被发现了。这让我想起了爱因斯坦谈到的那种美妙感觉，识别出了隐藏的统一的美妙感觉。

在我们发表了研究结果不久后，我收到了一封从日本京都寄来的信，藏本由纪用优美的笔迹写道：“我很惊讶，也真的很高兴。我完全没想到我的简化模型可以在实际的物理系统中找到例子。”

◎　　◎　　◎

藏本由纪模型是一个一直在等待问题的解决方案。它从未打算作为任何事物的文字描述，只是作为探索最简形式的自发秩序而产生的一个理想化模型。然而，新发现的它与约瑟夫森结阵列之间的联系立即解释了为什么这些器件会突然同步。这种相变本质上与温弗里在他的生物振子模型中发现的相变相同，藏本由纪后来优雅地将其构筑到了他的可解模型中。数年前，研究约瑟夫森结的专家已经在他们的计算机模拟中看到了这种转变，但并没有理解它的理论基础。换句话说，这种转变从来没有引起人们的注意（阐明了一句格言：你永远不应该相信一个未经理论证实的事实）。

自1996年以来，藏本由纪模型已经出现在了其他物理环境中，从耦合激光器阵列到被称为中微子的细小的亚原子粒子构成的假想振子。我们可能已经瞥见了同步本质中深刻的统一性，无论是否存在有待发现的实际应用。鉴于很多疾病与同步和同步被破坏相关（癫痫、心律失常、慢性失眠），又有很多装置依赖于同步（约瑟夫森结阵列和激光阵列、供电电网、全球定位系统），我们似乎可以断定，对于自发同步更深入的理解势必会产生实际效益。

藏本由纪模型的广泛出现引发了一个问题，即为什么这个特殊的数学结构会如此普遍？说实话，它可能并不是一个普遍现象。我专注于它，因为它是让我们可以很好地理解自发同步的唯一例子。在理论上，我们可以说明，只有当四个特定条件满足时藏本由纪模型才会出现，否则就不会出现。第一，问题系统必须建立于大量的组件之上，其中的每一个都是自激振子。这是一个强大的限制条件，单个元素必须满足极其简单的动力学特性：遵循着标准周期的纯粹的节律性，没有混沌、湍流以及任何复杂的东西，只有重复的运动。第二，振子必须是弱耦合的。从这个意义上讲，每个振子的状态特征可以单独通过相位来描述。如果耦合强大到足以明显扭曲任何振子的振幅，那么藏本由纪模型便不适用。第三，也是条件最严格的，每个振子之间的耦合强度必须相同。自然界中很少有系统会满足这一点。通常情况下，邻近的振子之间的耦合最强，或者由相互影响的网络定义的虚拟邻近的集合之间的耦合最强。第四，振子必须是几乎相同的，其特性散布应该与它们之间微弱的耦合强度大致相同。

鉴于所有这些条件，藏本由纪模型及其相关物的动力学特性似乎开始变得显而易见。然而，突发的同步现象仍然令人吃惊。即使在同步出现后，我们也经常缺乏对它的直觉，特别是关于同步是如何突然自发发生的，就像千禧桥惨案中表现得那样。

◎　　◎　　◎

千禧桥本该是伦敦的骄傲，它的总造价超过了2 700万美元。这座造型优雅、前卫的人行天桥是伦敦一个多世纪以来新建的第一座跨河大桥，连接了泰晤士河北岸的圣保罗大教堂和南岸的泰特现代美术馆。桥身的设计非常激进，它是世界上最平坦的吊桥，弯曲的吊索长达320米，低矮的支架和纤细的钢索紧绷在河上。这个方案诞生于奥雅纳工程公司的建筑师罗曼·福斯特勋爵（Norman Foster）和雕塑家安东尼·卡罗（Anthony Caro）爵士之间的一次不寻常的合作。罗曼·福斯特想象着夜景灯光照亮后大桥的外观，并将其称为“光之刃”。“我记起了电影《飞侠哥顿》（Flash Gordon）。当哥顿抵达深渊边缘时，这座发光的桥出现了。这就是我们想要创造的，尽可能接近飞翔的桥。”虽然奥雅纳的工程师负责建造桥的结构，并为其质量担责，但是福斯特和安东尼似乎很高兴在女王主导的电视开幕典礼上分享一份荣誉。

2000年6月10日，那是个阳光明媚的星期六，这天，这座桥正式向公众开放。警方一声令下，数百名兴奋的伦敦市民从桥两端涌上桥面。几分钟后，大桥开始摇晃，690吨的钢铁和铝材呈现出横向的S形振动，像一条在地上爬行的蛇。惊慌的行人紧紧抓住扶手想要稳住自己，但摇晃越来越剧烈，最终桥体两端的偏斜达到了20厘米。

这个创新设计的提出者罗杰·史密斯（Roger Ridsdill-Smith）是奥雅纳的一名年轻的工程师。他默默注视警方疏导着人群，这本是不该发生的事情，他的大脑高速运转着——计算机模拟、安全评估以及风洞实验(17)都未预见到这样的现象。他确信大桥是安全的，它不可能像保存在粗糙的老电影胶片中臭名昭著的“舞动的格蒂”(18)那样，眼见大桥在垂死中挣扎，在风中扭曲，在扭转振荡中崩塌。事实是，一些东西引发了桥梁共振。警方限制人们踏上桥面，但摇摆仍然在继续。恐慌、羞愧的当局于6月12日关闭了千禧桥，而这仅仅发生在大桥开放两天后。

原设计的批评者对“光之刃”的表现嗤之以鼻。福斯特不再渴望居功，面对记者围攻，他只能勉强挤出一些针对他的工程合作者的言辞激烈的话语。奥雅纳工程公司着手测试了桥梁的振动特性以判断问题的原因。他们把巨大的震动机安放在桥上，在一个可控的频率范围内系统地振动桥身。当以1赫兹的频率振动桥身时，桥身开始出现S型摇摆，就像开放日那天看到的一样。

这是一条重要的线索。1赫兹是正常人步行频率的一半。所有的桥梁设计师都知道，人的步行速度大约是每秒两步，而这些重复的脚步的主要影响是，每一步都会产生一个微弱的横向力。当你站稳右脚时，第一个横向力便走开了一段距离，然后站稳左脚时，下一个横向力又走开了一段距离。这种交替的横向力会以步频的一半振荡，即1赫兹，不是2赫兹。从来没有人想过要担心这些，这并不是英国桥梁设计师设计标准规定中的一部分。在任何情况下，横向力一般都很小，况且人群的步伐肯定是不一致的，所有向左和向右的力在随机发生，因此往往会相互抵消。但若是每个人都不知何故地同步前进，所有横向力就会累加，变得集中。这必然会引起麻烦。

工程师们回去看了大桥开放当天的电视新闻画面，画面显示，随着大桥的摇晃，行人不自觉地调整了步伐，一齐横向行进。这一动作加剧了振动，使得更多人失去了平衡，一齐被甩到同一侧，反过来又加强了他们的同步，使得桥摆动更加剧烈。正是这种没人预料到的连锁反应——人与桥之间的正反馈，引发了千禧桥的摇摆。

这种共振效应与著名的士兵齐步过桥的例子不同，士兵在过桥时必须采用便步走，以避免刺激桥体发生危险的震动。士兵们齐步过桥意味着他们是同步到达桥面的，而行人是随机漫步的；设计师没有理由期望行人自发协调各自的脚步。虽然他们会慎重考虑一群破坏者故意在桥上同步跳跃的可能性，设计可以承受这种损害的桥梁，但他们从未想到，2 000名有公德心的市民会在不经意间使各自的脚步保持同步。

目前人们还不清楚是什么引发了开放日那天的同步。最可能的猜测是，同步是偶然产生的：人群足够庞大的话，在某个阶段便会存在一种可能，即有足够多的人会在偶然间同步行进，一旦振动超过了某个危险的阈值，桥就会出现轻微摇晃。此时，反馈效应开始起作用，并加强摇摆。

奥雅纳后来的研究表明，这种链式反应只有在桥梁非常长、易弯曲、非常拥挤的时候才可能发生。正是各种因素的混合导致了那天千禧年桥的摇摆。特别是，他们发现，如果人数小于阈值时，就不会发生摇摆的迹象。这并不是说人数少时桥的摆动就弱，随着人数的增加摆动逐渐加强。真实的情况是，桥要么一点也不摇晃，要么就是超过了阈值后毫无征兆地剧烈摇晃。就像压垮骆驼的最后一根稻草，摆动的发生是一种非线性现象。

事实上，它听起来很像温弗里模型和藏本由纪模型所预测的相变。正如理论所暗示的那样，振子（在这种情况下是人们的脚步）在低于阈值时的振动频率是不一致的。它们施加的力量会互相抵消。即使它们之间的耦合增强，它们也仍然会保持不一致；并不会逐渐趋于一致。但是突然之间，一旦耦合超过特定的阈值（如有足够多的人在桥上强烈地摇晃它），同步就协同爆发了。

在这里，我们可以看到另一个概念的统一。千禧桥是由中间物的弱耦合诱发同步的例子。在之前的几章中，这个主题已经成为暗流。行人的相互作用是通过他们导入到桥梁中的振动介导的，惠更斯的钟摆也是通过同样的方式通过木梁的摇晃彼此互相感知的。在超导性中，库珀对的形成是因为电子使原子晶格发生了轻微变形；这种变形提供了它们之间的一个微弱的吸引力，就像一个滚动在水床上的保龄球倾向于将另一个球拉到自己的尾迹上。即使在约瑟夫森结的串联阵列中，也存在相同的机制：结点的相互作用只是因为它们在负载中引起的电子振荡。以上四种情况中的振子是完全不同的，但是同步机制的本质是相同的。

桥梁摇晃的症结在奥雅纳的工程师经过为期数月的精心测试后得到了证实，这些测试不仅包括他们引入的巨大的机械振动，而且还有行人走过其他桥梁的可控实验，以及行人在脚步不稳时自我平衡的实验研究。但令人难以置信的是，在桥梁封闭的短短两天后，在所有的研究进行之前，伦敦《卫报》的一名读者就已经给出了正确的解释，那一天是2000年6月14日。

桥上的步调并不一致

2000年6月14日，星期三

《卫报》：

千禧桥的问题（千年虫6月13日再次来袭）与齐步走的人群没什么关系：它与人们试图保持平衡时的动作有关，如果他们行走的桥面发生移动的话，就如同在一条小船上许多人同时站了起来。在这两种情况下，人们在保持平衡时的移动增强了已经出现的摇摆，从而使得摇摆越发剧烈。

“这座桥永远不会倒塌”是真的吗？或由于发生摇摆震动，桥受到损坏了吗？那些讨论过桥的人和为这座桥负责的人都知道，在发出这种声明之前，这个问题涉及的不仅仅是工程原则。

此文的作者怀着他对自己科学洞察力的自信，以及对于公认常识的藐视，写下了自己的名字：布赖恩·约瑟夫森教授，剑桥大学物理系。

07
混沌：蝴蝶效应

爱德华·洛伦茨并不会给人留下一个革新者的印象。他身材矮小、为人谦逊，声音低沉，他的体态和举止更像是安静的乡下人，仿佛缅因州路边小摊上的农民。我在麻省理工学院沃克纪念堂的自助餐厅吃饭的时候，经常看到他。他常常一手牵着妻子，另一只手拄着手杖，步履蹒跚。每学年，当我开始教授混沌课程时，我们都会经历同样的例行公事，但我每次都很期待。我会打电话给洛伦茨教授，邀请他当客座教授为同学们做演讲。而他每次都会满怀困惑地回答：“我该讲些什么？”我说：“讲洛伦茨方程怎么样？”“哦，你是说那个微不足道的模型吗？”然后，就像季节变换一样自然，他也一定会出现在学生面前。但他一般不会讲述洛伦茨方程，而是会介绍说明他当时所做的一切。讲什么并不重要，重要的是我们都在课堂上目睹了这位现代混沌学领域创始人的风采。

要知道，“那个微不足道的模型”永远地改变了科学研究的方向。1963年，洛伦茨正在研究天气的不可预测性，他提出了三个非线性微分方程，但看上去并不复杂。实际上，对于数学家或物理学家而言，它们看上去很简单，就像教科书中的普通习题一样，你会认为自己就可以解出来，但实际上却不能，没人能解开它。洛伦茨方程的解的特征与数学中出现的一切都不相同。他的方程可以产生混沌：由非随机的、确定性的规则支配的看似随机的、不可预测的行为。

起初并没人注意到这个新生儿。洛伦茨的相关研究论文《确定性的非周期流》（Deterministic Nonperiodic Flow）发表在了不起眼的《大气科学》杂志的130～141页，在发表后的最初10年中，大约每年会被引用一次。但在混沌革命达到高潮后，即20世纪七八十年代，这个“微不足道的模型”平均每年的引用次数为100次。

第一次浪潮出现于不同领域的几名科学家意识到，他们看到了同一神秘现象的不同表现形式。在野生动物种群的动力学特性的简化模型中，生态学家偶然发现了混沌。即使在模型本身并不存在随机因子的情况下，种群数量也不是平稳或周期性重复的，相反，它会在一代代遗传中毫无规律骤然激增和衰减。天文学家对观测到的土卫七的运行规律很迷惑，土卫七是土星的一颗小小的、形如土豆的卫星。不像大多数卫星围绕一个轴自转，土卫七的运行更像是杂乱地翻滚，如醉鬼翻筋斗一般。物理学家从对夸克和黑洞的研究中抽出身，把注意力放到了他们先前认为很恼人的一个平常现象里：不稳定的激光束断断续续的脉动，某些电路中的噪声电压振荡，甚至是漏水的水龙头的滴水。结果，所有这些都成了混沌的标志。事实上，从庞加莱开始的少数纯粹的数学家早在70年前就知道了混沌，但几乎没有人可以解读他们的术语或理解他们提出的抽象概念，所以，他们的想法几乎没有产生影响。

这是交叉学科发展所面临的典型障碍。大多数科学家在各自狭窄的专业里都显得心应手，但语言、品位与科学文化的障碍也使得他们与其他专业的科学家相互隔绝。洛伦茨并不是这样。他是一名气象学家，而他最初很喜欢数学。每个领域中都有像他这样的人，在他们各自的群体中显得标新立异。他们的共同点是对于动力学、对于流动、对于隐藏模式和对称性的一种感觉，总之，是对于理论科学最黑暗角落的一种诱惑：非线性问题。

◎　　◎　　◎

数学家斯坦尼斯拉夫·乌拉姆（Stanislaw Ulam）曾说，把一个问题称为非线性问题就像去动物园谈论你看到的所有好玩的非大象动物。他想表达的是，大多数动物都不是大象，大多数方程都是非线性的。线性方程很容易描述，有理想化的解，即原因与结果成正比。例如驱动力与反应就是成正比的。将一条钢梁分别弯曲2厘米和1厘米，前者受到的应力是后者的两倍。“线性”这个词指的便是这个比例：如果你描绘出钢梁的挠度与所施加的力的图表，就可以看到二者呈线性关系。（此处的线性指的并不是次序，例如“线性思维”，如一件事接一件事地直线思考）。

线性方程组是易于处理的，因为它们是模块化的，可以被分解。每一部分都可以单独分析和解决，最后，所有这些单独的答案都可以重组，即将它们逐个加起来，从而得出原始问题的正确答案。在线性系统中，整体精确地等于部分之和。

但线性经常是对于更复杂现实的近似。大多数系统只有当其接近平衡状态，且我们不对系统施加太大压力时才会表现出线性。一名土木工程师可以在风力不太大的条件下预测摩天大楼将如何在风中摇晃。电路只要不被电源浪涌烧毁，它的特性就是完全可以预测的。当系统呈现出非线性，脱离了正常工作范围时，一切都免谈。

然而，我们并不能认为非线性是危险的，甚至是不受欢迎的。事实上，生命本身就依赖于非线性。当整体不等于部分之和时，当事物间出现了合作或竞争，不只是将它们的单独贡献相加的时候，你就可以肯定非线性是存在的。生物学中到处都在使用非线性——我们的神经系统由非线性组件组成；生态学定律（在我们所了解范围内）是非线性的；艾滋病患者的联合治疗——药物鸡尾酒疗法是非常有效的，这正是因为免疫反应和病毒的种群动态都是非线性的；三种药物联合的药效要远强于三种药物的独立药效之和。人的心理状态毫无疑问也是非线性的，因为如果你在同一时间听你最喜欢的两段歌曲，你不会得到双倍的快乐。

非线性系统的这种协同特性正是它们难以被分析的原因。它们不能被分开，整个系统必须作为一个连贯的实体一起检查。正如我们先前看到的，这种必要的全局思维是理解庞大的振子系统如何自发同步的最大挑战。一般来说，自组织的所有问题从根本上说都是非线性的，所以对于同步的研究一直与非线性研究密不可分。

非线性系统的协同特性也是使它们如此丰富多彩的原因。科学中的每个重要且悬而未决的问题，从意识到癌症，再到经济的集体盲目，都是非线性的。在接下来的几个世纪里，科学界会努力攻克非线性问题。从20世纪60～70年代开始，所有同步科学的先驱——维纳、温弗里、藏本由纪、佩斯金以及约瑟夫森，他们已经照亮了一条通向山顶的道路，这是一条通向庞大振子系统的自发有序的路径。随着混沌理论的兴起，又有新的盟友加入了探索。虽然两者的路径不同，却通往同一座高峰。

◎　　◎　　◎

非线性问题先前一直晦暗难懂。正是基于这个原因，洛伦茨在混沌问题上的研究进展足以令人振奋。现在，事情突然变得清晰了，即使是最简单的非线性系统也可以表现出非常复杂的行为，其复杂程度远超出人类的理解范围。这听起来像是一个悲观的结论，但它同样可以让人们燃起希望，这意味着一些看似随机的现象中可能蕴含有更深层的规律。

随后，混沌理论的第二波浪潮到来了，这波浪潮揭示了混沌本身。与它充满误导性的名字不符，混沌实则包含了一种惊人的新秩序。这一关键发现是由物理学家米切尔·费根鲍姆（Mitchell Feigenbaum）完成的。费根鲍姆发现，存在特定的普遍规律支配着从有序到混沌的转变。粗略地讲，完全不同的系统可以通过同样的方式走向混沌。他的预言很快就在电子电路、旋转流体、化学反应、半导体以及心脏细胞的各种实验中得到了证实。这就好像古老的毕达哥拉斯的梦想成真了：世界不是由土、气、火和水组成的，而是由数字组成的。费根鲍姆的规律超越了心脏细胞与硅基半导体之间的表面差异。不同的物质遵循着同样的混沌规律，其他普适定律也很快就会被发现，僵局似乎被打破了。

这是非线性科学史上的一段快乐时光。“混沌”这个词语本身很酷。这个领域被一些人吹捧为20世纪物理学的第三次伟大革命，另外两次是相对论和量子力学。“混沌”首次渗透了非线性的一些奥秘，并在以前似乎毫不相关的领域之间建立了联系。1987年，詹姆斯·格莱克（James Gleick）的畅销书《混沌》（Chaos）将混沌理论推向了大众。书中记述了洛伦茨和费根鲍姆等人的英雄事迹，费根鲍姆留着贝多芬式的发型，一根接一根地抽着烟，午夜游荡在洛斯阿拉莫斯国家实验室的街道上，寻找着湍流的秘密。当时，杰夫·戈德布卢姆（Jeff Goldblum）在《侏罗纪公园》（Jurassic Park）中扮演了一名混沌理论家，身穿皮衣，看起来像个摇滚明星。混沌好像真的来了——特别是在戈德布卢姆在劳拉·德恩（Laura Dern）的导演下完美地表演了蝴蝶效应之后。

在那之后，蝴蝶效应成为这个新科学最为熟悉的标志。这再合适不过了，因为它表现了混沌的鲜明特征。这个词来自洛伦茨1979年的一篇论文的标题“可预测性：巴西的一只蝴蝶扇动了几下翅膀会引发得克萨斯的龙卷风吗”，其背后隐藏的原理是，在混沌系统中，微小的扰动以指数级快速增加，致使长期预测变得不可能。

蝴蝶效应的一个令人沮丧的推论（大约是公认的）是，两个无序系统永远无法彼此同步。即使你做了很大的努力，用同样的方式开启它们，它们的初始状态也仍然存在一些微小的差别。通常情况下，细微的差别在很长一段时间都会很小，但在混沌系统中，错误的级联和反馈十分迅速，系统几乎立刻会出现偏离，从而破坏同步。由此得出的结论可能是，非线性科学中最有活力的两个分支——混沌和同步，可能永远不会紧密结合，因为它们本质上是矛盾的。

虽然这听起来有道理，但是我们现在已经知道，宣称“混沌同步不合法”的论断是错误的。混沌是可以同步的。

这一现象最初发现于20世纪90年代早期，随之出现的是另一个关于混沌本身的视角的转变。传统上看来，混沌被认为是令人讨厌的东西，是应该被抑制和从工程中移除的东西。在革命的鼎盛时期，混沌成了一个著名的让人感到好奇的学科。人们承认它在自然界的普遍性，并揭露了其中隐藏的秩序。没有人知道它是否对事情有益，但这没关系，人们为它自身的缘故而着迷。现在，随着混沌同步的发现，混沌理论再次发生了沧桑巨变。一夜之间，人们开始承诺混沌是有用的。物理学家和工程师都梦想着如何利用其卓越的性能，实现一些潜在的实际应用，例如为手机通话以及其他形式的无线通信加密，以防止被窃听等。

混沌同步的发现同样丰富了我们对于同步本身的理解。过去，同步一直被认为与节律相关，这两个概念如此紧密地联系在一起，人们很容易就会忽视它们之间的区别。节律性意味着某事物在固定的时间间隔内重复之前的行为，同步意味着两件事同时发生。混沌的出现是因为许多同步现象同时也具有节律性。同步的萤火虫不仅闪光一致，它们的闪光还具有周期性，闪光的时间间隔固定；心脏起搏细胞以恒定的速率，步调一致地发射；月球绕地球公转一周的同时也自转一周，它的自转和公转都遵循着周期性，循环往复。

但我们都知道，至少在理论上来说，同步无须周期性也可以持续。这里可以想象一下管弦乐队的演奏家，所有的小提琴在同一时间进入，并自始至终保持同步。但他们的演奏不是周期性的：他们不会一遍遍地重复演奏同一乐章。在双人花样滑冰世锦赛中，选手二人的优雅动作同步发生，但每个动作都别出心裁，从未出现过重复。

这些无周期的同步给我们留下了深刻的印象，让我们欣喜，甚至让我们感动。它们的共同点在于，它们似乎需要智慧和技艺，这也是为什么混沌同步的发现是如此惊人的原因：它表明，无意识的事物可以胜任原始的同步壮举。而纯力学系统即使保持着完美的一致，也会不可预知地发生偏离。

◎　　◎　　◎

要理解混沌同步的工作原理，第一步是理解混沌本身。我们中的许多人从一开始就对混沌抱有错误的成见。（顺便说一句，我们对于周期性的理解就不是这样。我们的本能理解是正确的。我们身边所有的周期——心脏的跳动、四季的更替、卡车倒车时刺耳的嘀嘀声，这些都给了我们正确理解周期性的准确感觉。你能感到自己心中有一面鼓在随着游行队伍的行进而有节奏地震动。现在我们需要培养对于混沌同样的感觉。）

我们迷惑的一部分源于这个词本身。在口语中，混沌意味着一种完全无序的状态。然而，在技术意义上，混沌是指一个随机出现的状态，但它实际上是由非随机规律产生的。因此，它占据了一个介于有序与无序之间的陌生的中间地带。它表面上看起来古怪，实际上却包含了神秘的模式，受严格的规则支配。从短期来看，混沌是可以预测的，但从长远来看，它是不可预测的。它从不重复自己，它的行为是非周期的。

混沌由洛伦茨方程支配，它可被一个奇特而美丽的装置生动地阐明，该装置是洛伦茨在麻省理工学院的前同事威廉·马尔库斯（Willem Malkus）设计的一台桌面水车。它的用途是一个教具，用于给学生们形象化地展示运转中的混沌，是由马尔库斯和他的同事卢·霍华德（Lou Howard）设计的，装置主体是一个转盘，转盘边缘附着数十个漏水的纸杯，样子就像摩天轮上的椅子。马尔库斯告诉我，这个装置的原型“一团糟”，即水从水壶里倒进来，让转盘转动，水会慢慢地从杯子里流出来，洒得桌子和地板上到处都是。而他改良后的水轮则完全是一个独立的机器（见图7-1）。

图7-1　运转状态下的混沌模型

一个直径约30厘米的塑料轮子，在稍微倾斜于水平方向的平面上旋转（与普通的水车不同，普通的水车在垂直平面内旋转）。按下开关，水自动抽到伸出来的支管中（多孔软管），然后通过几十个小喷嘴喷到轮子边缘隔开的腔室中（相当于简易版本中的杯子）。在每一个腔室的底部，水通过一个小孔漏出，汇集在轮子下方的公共蓄水池中，再经过水泵抽回到喷嘴中。这种再循环方案保证了稳定的水流入量。

当你打开机器时，起初并没有什么特别的事情发生。轮子不动，接着水流入腔室，发出潺潺悦耳的声音；与此同时，腔室也在排水，但排水速度慢于进水。一旦腔室太满，轮子变得头重脚轻，就会开始朝一个方向转动，像一个正在倒下的倒立摆。这种转动会将一组空的腔室带到支管下，同时将充满水的腔室从喷嘴下方移开。很快你便会发现一种模式：轮子始终朝一个方向旋转，我们假设其为逆时针方向。一分钟后，旋转变得越来越缓慢，勉强转到顶端，原因是轮子边缘的水的位置使得轮子越来越不平衡。随着轮子尽力完成最后一次转动，旋转减慢并停止，方向就将发生改变，开始朝顺时针转动。片刻之后，这个轮子进入了良好的稳态：顺逆时针随意转动，在不可预知的时间点上变换方向。它可能顺时针旋转三次，然后逆时针转一次，朝一个方向转四次，再朝反方向转七次，没有能辨别出的趋势。这个模型长期的运转状态是非周期的，其中的运动从不衰减、从不重复。

水轮的转动是不规律的，即使它的驱动方式并没有什么不规律可言。水泵以恒定的速率汲水，而轮子似乎无法做出决定。这种运动也是不可复制的，下一次你打开水轮时，它的反转模式仍然无法预测。当你花费极大的精力以确保一切都几乎与上一次一样，它的运动会在短时间内与上一次保持相同，但随后仍然会发生变化，此后则是完全无关的正转和反转序列。

当然，如果你用完全相同的方式开启水轮，那么转动的规律性会再现。这意味着确定性：只有当前的状态才能决定未来的状态。轮子的运动是由确定的方程支配的——牛顿运动定律和流体力学定律，因此，从原则上讲，如果你知道所有的初始变量，那么你就可以预测出轮子未来的运动方式，直至永远。方程本身不包含任何噪声、随机性以及其他的不确定性来源。此外，如果你在计算机上求解方程，使用的初始变量数值完全相同，那么预测的结果每次都是相同的。从这个意义上讲，一切都是可复制的。

但在计算机外的现实世界中，每次运行的变量都不是完全相同的。细微的差异，都会改变轮子的运动，例如上次实验后留在某腔室中的一滴水，或是某位兴奋的观众呼出的一口气。这种变化起初是不易察觉的，但很快就会出现不可预料的后果。

以上这些就是混沌的特征：在确定性系统中看似随机的无规律行为；由于确定性的规律，短期内可预测；又因为蝴蝶效应的不可预测性，长期则无法预测。

◎　　◎　　◎

混沌的现象引起了一些微妙的哲学问题，这些问题蒙蔽了一些粗心的人。例如，我的几名学生对蝴蝶效应嗤之以鼻，认为它平淡无奇。我们都知道，小事情确实可以在我们的生活中引起巨大的不同，甚至会影响国家的命运。由于如此多的复杂性、如此多的无法解释的变量夹杂其中，微不足道的事件有时确实会引发与之不相称的连锁反应。下面是一首描述王国没落的古代诗歌。

断了一枚钉子，掉了一只蹄铁；

掉了一只蹄铁，折了一匹战马；

折了一匹战马，摔死了一位将军；

摔死了一位将军，吃了一场败仗；

吃了一场败仗，亡了一个国家。

但直到混沌理论出现后，这首诗才得到了广泛的认同。类似的连锁反应甚至可以让最简单的系统苦恼不已：水轮、旋转的月球、滴水的水龙头，这些力学系统中的所有定律都已知，只存在几个变量。即使在这些系统中，也潜伏着混沌的种子，随时准备展现它们带来的惊喜。

另一个微妙之处是：在混沌中，每个点都是不稳定的点。这比罗伯特·弗罗斯特（Robert Frost）的书《未选择的路》（The Road Not Taken）中的旅行者所面临的困境更糟，比旅行者被混沌支配的生活更加岌岌可危（充满不确定性）。每一刻都是真理的时刻。每一个决定都会产生长期的后果，将你的生活改变得面目全非。当你系衬衫扣子时，你完全无法预知选择从上向下系还是从下向上系，在其数年后产生的结果会有多么的不同。我们的生活可能就是这样的，我们只能沿着一条轨迹前进，所以我们无法知道当我们从下向上系扣子时，命运会发生怎样的改变。但为了保持心智健康的生活，我们只能相信，几乎所有的决定都是无关紧要的。电影《双面情人》（Sliding Doors）就对这种困境进行了探索，影片中描绘了一个女人生活的两个完全不同的版本，而这两种不同的命运取决于在屏蔽门关闭时她是否赶上了地铁。

相比于混沌系统，有节律的系统并不显现这种对小干扰的过度敏感。拍打一个节拍器，它会断断续续地移动，但随后仍会恢复它持续不断的嘀嗒声。虽然这会使计时产生偏差，但这种偏差不会随着时间的推移而增长。通过下面这个假设，我们可以看得更清楚。有两个相同的节拍器，初始状态是同步的，干扰其中的一个，它恢复后就不再与另一个同步，二者之间会有一个固定的时间间隔，这种差异不会增加也不会减小。更普遍的是，当一个非混沌系统受到轻微的扰动，干扰要么不增加，要么增加幅度非常轻微，且与时间长短成比例。

有人说，误差的增长速度不会快于随时间的线性增速。这里的要点是如何进行定量计算。误差的线性增长暗示，混沌系统至少在原理上是可预测的。潮汐、哈雷彗星的回归、日食的时间，所有这些都有强烈的节律性，因而可以预测，因为微小的干扰不会迅速增长成为主要误差。预测非混沌系统的时间每长一倍，其初始状态的测量精度就要提高一倍。让系统多运行三倍长的时间，你的测量精度就要提高三倍。换句话讲，可预测的范围也是线性增加的，它与初始状态的测量精度成正比。

而另一方面，混沌系统有着一种完全不同的表现方式，正是在这里，我们开始了解到蝴蝶效应真正令人丧失信心的含义。成功地预测一个混沌系统状态的时间长度取决于三个因素：我们可以容忍多大的预测误差；我们对初始状态的测量精度的高低；我们无法控制的时间尺度，又被称为“李雅普诺夫时间”，它主要取决于系统本身的内在动力学特性。

粗略地讲，我们能够预测的时间的极限长度即相当于李雅普诺夫时间，此后，真实初始状态的测量误差会滚雪球似的迅速增大，超出可容忍的限度。通过降低我们的预测标准或提高我们的初始测量精度，我们总是可以预测更长的时间。但问题是，可预测的极限总是取决于初始测量精度：如果你想预测两倍长的时间，且仍要达到相同的精度，那么它将花费你十倍而不是两倍的努力。如果你有雄心，想预测三倍长的时间，那么它将花费100倍的努力；四倍长的时间就需要1 000倍的努力，以此类推。在混沌系统中，所需要的初始测量精度是呈指数级增长的，而不是线性增长。

这种指数级增长是毁灭性的。这意味着在实践中，无论你的仪器有多好，你能够预测的时间永远都不会长于李雅普诺夫时间。李雅普诺夫时间限定了一个极限值，超过了它，便无法得到可接受的预测。对于一个混沌电路，极限值大约为千分之一秒；对于天气，极限值是未知的，但通常来说是几天的时间；对于太阳系，极限值则是500万年。

太阳系的极限值如此之久的原因是，行星的运动在我们今天看来是完全可以预测的；在人类生命的时间尺度上，甚至整个天文学史中，它们都是可预测的。当我们计算数百年前或数百年后的行星位置时，我们的预测是可靠的。但任何关于40亿年前，即地球上刚刚出现生命的时候的行星位置说法，都是毫无意义的。

混沌的最后一个微妙之处与潜伏在其中的一种奇怪的秩序相关。混沌不是无形的（再次声明，不要理会这个词语的通常意义）。对于它底层结构的暗示表现在了玩具水轮的运动中，伴随着它永不停息的旋转和反向。尽管序列从不会完全重复，但它的总体特征保持不变。混沌拥有永远不会改变的品质，这是混沌的本质。

早在20世纪60年代初，当洛伦茨分析他的小模型时，就将混沌的本质具体化了。它呈现出一种怪异而又陌生的形状，而不是一个表面，也不是一个固体的体积。当时，现代计算机图形学尚未问世，将混沌可视化绝非易事。甚至洛伦茨在脑海里想到了它的样子之后，还在挣扎着想找到恰当的语言描述其独特的几何形状。他将其描述为“表面无限复杂”，今天我们把它称为“奇怪吸引子”。

正如圆形是周期的形状，奇怪吸引子则是混沌的形状。奇怪吸引子存在于一个被称为“状态空间”的抽象的数学空间中，它的轴代表一个物理系统中的所有变量。洛伦茨方程涉及三个变量，所以奇怪吸引子存在的状态空间是三维的。对于水轮——洛伦茨方程的精确力学模拟，其中一个变量表示了轮子旋转的速度和方向，而另外两个变量则表现了水如何分布在轮子边缘的两个特定的特征。这些变量在任意瞬间的数值定义了状态空间中的一个点，对应于系统在任意时刻的频闪照片。

在下一时刻，随着轮子的旋转、水的流动及重新分配，状态会发生改变。从一个状态变化到另一个状态，系统伴随着自身的动力学特性而演化，由自己的动力推动前进。就像阿瑟·默里（Arthur Murray）舞蹈课中的图解，洛伦茨方程是决定下一步走向何处的规则。它们决定了状态空间中每个点上无限小的箭头的方向。无论转到了哪种状态，它必须遵循那一点的箭头方向，这将它立即带到了一个新的点上。随着那个瞬间的箭头方向，它会前进到下一点，以此类推。随着时间的推移和变量数值的变化，这个点穿越了状态空间，遵循着一个被称为“轨线”的连续路径，就像数学家头脑中的彗星在假想的空间中运行。这个想法的美丽之处在于，它将动力学特性转化成了几何学。混沌运动变成了我们可以看到的图像，一幅我们可以凝视、检查和研究的静态图像。

混沌是什么样的？轨线永远在状态空间中四处游荡，它永远不会闭合或交叉，因为混沌从不重复。洛伦茨可以证明，他的轨线永远被限制在一个特定的大球体内，所以它永远不会逃逸到无限空间中。轨线被困在这个球里，永远在球中无趣地四处游荡，它必须遵循一个非常复杂的路径。我们渴望把它描绘成一个由混乱的线段缠绕成的球体，杂乱无章，没有任何结构。

但是洛伦茨原始的计算机图象表明，轨线以一种高度组织的方式运动，只运动到了可移动空间中的一小部分。事实上，它似乎被吸引到了一个特定的表面上——一个纤弱、微观的薄膜，更巧的是，其形状像一对蝴蝶的翅膀。轨线环绕在一只翅膀上，以螺旋形状离开中心。当它接近翅膀边缘时，它就会飞奔到另一只翅膀上，并再次开始以螺旋形状离开中心。轨线会在每只翅膀上画上不计其数的螺旋线，然后跳到另一只翅膀上，就像水轮在反向旋转之前沿着一个方向旋转的次数不可预测一样。

正当洛伦茨努力想搞明白计算机告诉他的意思时，他了解到了有些事情一定是错的。他知道轨线不可能被限制在一个表面上：这样就无法避免轨线出现交叉。蝴蝶的翅膀可能看起来像一个单一的表面，但它们实际上必须建立在无限层上，它们紧密堆积在一起，难以区分，像一层层的云母片。

这个无限复杂的表面——奇怪吸引子，包含了一种新的有序。虽然轨线的运动细节不可预测，但它总是停留在吸引子上，总是穿过相同的子状态。它有限的本领解释了混沌中隐藏的秩序，并解释了为什么它的本质永远不变。

为了使这些抽象的细节变得更为具体，我们可以将一个奇怪吸引子可视化为美剧《迷离时空》（Twilight Zone）中的一个未来停车库。车库是全自动化的，你只需坐在方向盘后，牵引装置会钩住你的车，拉着你穿过车库。与洛伦茨吸引子类似，车库分左右两翼；在这种情况下，我们可以称之为东塔和西塔，二者都有无穷多层。当你准备回家的时候，你轻按开关打开牵引装置。下降一段时间后，你会感觉自己正在前进，然而在如此多楼层之间循环已经让你头晕目眩。当你突然意识到自己根本不再前进时，你可能已经突然通过某种方式到达了另一座塔楼接近顶层的地方。随着这段地狱旅程的继续，你会陷入无休止的循环，偶尔在两座塔楼之间来一次不可预测的切换。你注定要永远开下去，虽然你从不出去，但你也永远不会折回到原来的路线上。偶尔你可能会回到同一座塔楼的同一层，但不会再回到相同的位置上。

这就是洛伦茨吸引子的轨迹的命运。牵引装置相当于不同的微分方程，它决定了轨迹，即吸引子每个瞬间的速度和方向。规则是完全确定的：轨迹的命运取决于它的初始条件。同理，如果你从车库里的同一个停车位出发，那么你和你的车每次都会沿着相同的路线被拖拽，以同样的方式加速和减速。蝴蝶效应是通过对初始条件的敏感依赖表现出来的：在比喻中，如果你和旁边车子里的人被要求同时离开，牵引装置会让你们二人在短时间内保持着相同的轨迹，你们二人会透过车窗彼此无可奈何地看着对方，但很快你们就会分道扬镳，分别到达不同的楼层，走入不同的命运。之后，你们二人在两座塔楼之间的循环模式就完全不同了。奇怪吸引子的存在也保证了某种秩序，正如你总是被困在车库里，在相同状态下不断循环，虽然从未经历过相同的序列。

◎　　◎　　◎

虽然混沌的形状十分可怕，但它的声音却异常的温柔舒缓。当通过扬声器播放时，混沌听上去就像白噪声，仿佛帮助失眠者入睡的背景音乐。1998秋，卢·佩科拉开始异想天开地试图利用混沌做一些实用的东西，此时他在混沌的声音中感觉到一种承诺，此前的每个人听到的都只是乏味、无意义的嘶嘶声。

佩科拉是一位有趣的物理学家，他态度谦虚，脸上总是挂着随和的笑容。20世纪80年代中期，佩科拉在位于华盛顿的美国海军研究实验室工作，研究固体中的正电子湮没、磁体中的自旋波及固体物理学中的其他问题。他想改变自己的研究方向，于是便开始痴迷于令人振奋的混沌理论，这在当时是物理学中最热门的话题。他试图证明自己把研究方向转换到这样一个深奥的主题上是正确的。他知道，如果他能够想出一种方法，使混沌能够带来军事、经济或其他方面的实际效益，那么他的上司会更容易接受。此前，这种有关混沌的实用主义思想路线从未发生在任何人身上。那时，混沌理论已被纯粹的研究者、为之着迷的科学家所主导，而不是应用于工程，他们从未考虑过混沌理论的实际应用。

当佩科拉问自己混沌是否有用的时候，他立即想到了通信。或许密电可以通过混沌保密，使之更难被敌人进行拦截和破译。窃听者不可能了解信息的含义，即便了解了，将它从噪音中提取出来也非常困难。怀着搞明白这套加密策略的期待，佩科拉知道，自己先要弄明白如何使混沌的发射机和接收机同步。所有形式的无线通信都依赖于同步。以无线电收音机为例，调谐到一个特定电台的过程是指将接收机同步到广播传输的频率。同步建立后，提取收音机上的歌曲的过程被称为解调，即将歌曲从承载它的无线电波中区分出来。现在，佩科拉面临的挑战是将相同的思路推广到混沌中，此时的载波是混沌波，而不是周期性的无线电波。

佩科拉和他的博士后汤姆·卡罗尔（Tom Carroll）没有通信领域的相关背景，二人都是混沌学领域的新手，他们不知道该从哪里入手。最快的了解方式似乎是通过计算机模拟；至少他们无须花费数周的努力去建造完全无法工作的小装置。于是，他们在计算机前笨手笨脚地模拟着各种各样的混沌系统，用不同的方式连接它们，希望它们的猛烈波动会归于同步。遗憾的是，他们最终一无所获。蝴蝶效应太强大了。他们模拟的发射器和接收器只会在短时间内保持同步，但很快就会不可避免地出现偏离，使同步崩溃。

佩科拉感觉非常沮丧，他前往休斯敦，参加了一年一度的名为“动力学时光”的混沌学研讨会。他坐在观众席，试着集中精力聆听该领域领军人物的演讲。但是他脑海中一直萦绕着同步问题。到了会议结束时，他仍一无所获。佩科拉搭乘晚班飞机回家，在午夜抵达家中，感觉筋疲力尽、没精打采。妻子和孩子们很快就睡着了，而他刚睡着不久，就被他7个月大的女儿安娜的哭声惊醒，是时候给孩子喂奶了。妻子想要起身去照顾安娜，但佩科拉执意要自己去。

佩科拉平和地坐在寂静的房间中，把他的小女儿抱在怀里，他感到了一种轻松，他的头脑不再嗡嗡作响。后来，当他回到床上时，他突然想到了解决方案。“我需要用混沌来驱动混沌——我需要用来自相同种类系统的信号来驱动接收器。”尽管担忧自己会忘记这个想法，但他实在太累了，完全无法爬起来把它记下来。

第二天早上，当佩科拉醒来的时候，他迫不及待地开始动手测试。他想基于洛伦茨方程进行尝试，但他还不习惯在计算机上求解微分方程，所以他尝试了一个更容易编程的混沌系统。佩科拉从不同的状态启动发射机和接收机，然后命令计算机预测它们的行为，直到遥远的未来。随着数字不断被计算出来，这些数字呈现出不规律的上下跳动——这是预想到的混沌的非周期性，但令人惊奇的是，它们的数值在逐渐趋于一致。它们正在趋于同步。通过用自我复制的混沌信号驱动接收机，佩科拉终于成功地诱导它们步调一致地波动了。

从技术上讲，佩科拉的方案可以描述如下：取一个混沌系统的两个副本，将其中一个当作驱动器，即通信应用中的发射机，另一个系统接收从驱动器传来的信号，但并不回复任何信号，因此通信是单向的。（请思考军事指挥中心给战场上的士兵和海上的水手发送加密命令。）为了使系统同步，我们将其中一个驱动器不断变化的变量数值发送给接收器，并用它来替换相应的接收器的变量。佩科拉发现，在某些情况下，接收器所有那些未被替换的变量会自动调整到与驱动器的对应变量同步的状态。完成了这些以后，所有变量现会实现匹配，两个系统完全同步了。

这种描述虽然在数学上是正确的，但并未表现出混沌同步的奇迹。为了具体感知这种现象有多么奇特，我们将混沌系统的变量描绘成现代舞演员。将其与洛伦茨方程进行类比，他们的名字分别为x、y、z。他们每晚登台表演，彼此相互对战，每名舞者都对其余两人的最细微的线索进行回应。虽然他们的旋转和姿态看上去像是精心设计的，但事实却并非如此。而另一方面，他们无疑不是即兴发挥，至少不是字面意义上的即兴。他们的舞蹈动作中没有随机的成分，没有偶然或突发奇想。鉴于其他两人的实时位置，第三人会根据严格的规则作出反应。表演每时每刻都不同（因为非周期性），而且每晚都不同（因为蝴蝶效应），但本质总是相同的，因为总是遵循相同的奇怪吸引子。

到目前为止，这是一个对单独的洛伦茨系统的比喻，扮演了佩科拉的通信方案中的接收器。现在我们假设，时间静止了一会儿，宇宙的法则也暂停了。在这个可怕的瞬间，x毫无痕迹地消失了。在他的地方站着一个新的变量叫作x′。他看上去很像x，但我们通过编程不让它理会本地的y和z。相反，他的行为是由与他相互作用的y′和z′远程决定的，y′和z′是另一个遥远的洛伦茨系统中的发射机的变量，他们都是一个看不见的驱动器的一部分。

这与经典恐怖电影《天外魔花》（Invasion of the Body Snatchers）十分类似。从接收系统的角度看，这个新的x似乎神妙莫测。y和z想：“我们想和x跳舞，但他突然间就不理会我们的信号了。”其中一个说：“喂，x。”另一个低声说：“真的是你吗？”但是x的脸上却挂着一副呆滞的表情。就像电影中一样，x′已经被外星人接管。他同样不再与面前的y和z跳舞，他的舞伴是y′和z′，即y和z的看不见的分身，即位于遥远的平行宇宙中的驱动器。在那个遥远的地方，x′的一切看起来都很正常。但当心灵传输抵达接收器时，他的反应变得迟钝、怪异。这是因为接收器的x已被劫持，扮演x的是不知从何而来的奇怪的x′。因为敏感的天性，y和z调整了他们的舞步，很快一切又恢复了正常。x、y、z三重奏以一种完全自然的方式进行，流过洛伦茨吸引子的状态空间，形成了混沌的优雅画面。

但此时非常危险和怪异的是，y和z现在已经变成了外星人。不知不觉中，他们已经与各自的分身、他们从未遇到过的变量y′和z′形成了完美的同步。在心灵传输来的x′的单独影响下，微妙的信息同样也被传输到了遥远的y′和z′，这足以将接收器锁定到驱动器上。现在，所有3个变量x、y、z已经被劫持，就像有看不见的驱动器在指挥这首曲子。

◎　　◎　　◎

佩科拉的模拟表明，他的方案对于计算机中的方程是有效的。现在的问题是，它在实验室中是否有效。在实验室中，没有哪两个系统永远相同或不受外界干扰。佩科拉仔细考虑了何种混沌系统在实验中最容易控制。电子电路似乎是最自然的选择：它们高速、便宜、易于测量，在短时间内即可提供大量数据。卡罗尔也同意了，开始着手在电子硬件系统中实现洛伦茨方程。他几乎立刻就发现自己遇到了困难，那些特定的方程在某个时期涉及x和y的乘法运算，另一个时期又涉及x和z的乘法运算。要在电子系统中执行这些操作需要乘法器芯片，而卡罗尔发现，现成的元器件的可靠性不足以提供他需要的准确度。一个更严重的问题是，洛伦茨方程中的变量随系统的演化会发生10万倍的变化。巨大的动态范围超出了通常用于驱动电子电路的电源的能力。无奈，佩科拉和卡罗尔只好放弃了搭建洛伦茨电路的想法。

在寻找替代品时，他们咨询了马里兰大学的电气工程师罗伯特·纽科姆（Robert Newcomb），纽科姆设计了自己的混沌电路。纽科姆尽情释放了自己的想象力，他没有强迫自己制作模仿洛伦茨水轮、激光或其他物理系统的电路。他只是对混沌充满好奇，并想要通过电子系统探索它。卡罗尔借鉴了纽科姆的一个秘诀，并证实由此产生的电路产生了电压和电流的剧烈波动。示波器上的结果显示，变量勾画出了奇怪吸引子的轮廓——它与洛伦茨的蝴蝶翅膀不同，但又很相似。电路以数千赫兹的频率运行，表现出了高速、美丽的混沌。

现在，卡罗尔终于可以测试他们的同步方案了。卡罗尔为电路制作了一个副本，根据佩科拉的规则将两个电路连接起来。理论预示，两个电路都会间歇性地振荡，但是二者完全同步。为了测试这种同步性，卡罗尔设置示波器绘制接收器中电压y和发射机中与之对应的电压y′之间的关系。如果这两个波动的变量完全相等，就会呈现出一条45度的斜线（因为当y绘制成水平线，y′绘制成垂线时，如果两者数值始终相等的话，水平位移y必定等于垂直位移y′）。又因为y和y′的数值每时每刻总在变化，它们必定沿着那条斜线来回快速移动，但是从不偏离这条斜线。

卡罗尔按下开关，开启电路。2毫秒内，电压就跳上了那条斜线。“当我想到它的时候，头发都竖起来了。”佩科拉告诉我，“我不认为自己会再经历那样的时刻。这种景象就像看到自己的孩子出生一样。”

◎　　◎　　◎

1991年12月，我在麻省理工学院讲授最后一天的课程。我完成了混沌课程的最后一讲，所有人都鱼贯而出，只有一名学生例外。他满脸自豪，递给了我一张写满了公式和定理的纸，这些公式和定理都用方框圈了起来。为了准备即将到来的期末考试，他将整个课程的精华总结在了一张纸上。看着他如印刷文件一般的手写小字，我就知道自己面对的是怎样的学生了。果然，凯文·科莫是这个班里最优秀的学生之一。

科莫正在做他的博士研究，内容是电路中的混沌同步，以及在通信中的可能应用。当时，我模模糊糊地联想到了佩科拉和卡罗尔1990年的论文，但并未仔细研究过。科莫想把这一切告诉我，他的话语如洪流一般脱口而出，但随后便话锋一转，开始讲述自己的工作，并鼓动我参观他设计的电路——这是首次用电子器件实现了洛伦茨方程的演示。他还想让我检查他的数学证明，一个可以论证无论接收器和发射器如何开始，洛伦茨方程始终有效的新同步方案。他深吸了一口气继续说道，佩科拉和卡罗尔没能提供任何证明，这让他烦恼不已。因为这个证明并不特别困难，只是对李雅普诺夫函数的标准应用而已，就像我们在课堂上完成的那样，所以他怀疑是不是自己漏掉了什么东西。

事实证明，科莫所做的一切都是正确的。他的证明是正确的，他的电路成功模拟了洛伦茨方程（佩科拉后来才承认，他完全不知道科莫是如何让它工作的）。但这一切都不是科莫成名的原因。在下一年的课程中，他和他的导师奥本海姆首次证明了混沌加密是可能的，混沌同步确实可以用来提高通信的保密性。

他们的方法主要是基于掩盖，弗朗西斯·福特·科波拉的电影《窃听大阴谋》（The Conversation）中的神秘夫妇就使用过同样的策略（既不成功，又令人难忘）。这对夫妇担心自己处于监视之下，于是便绕着繁忙的城市广场行走，并相互耳语，他们确信街头音乐家的大声喧闹会掩盖他们的谈话。在科莫和奥本海姆的版本中，背景噪声是电子混沌的嘶嘶声，它由洛伦茨电路中的变量x产生。在任何消息被发送到接收机之前，x被附加在信息上，以掩盖信息。为了更好地覆盖原信息，在整个频率范围内，x的声音必须远大于信息的声音，就像街上的音乐声比耳语声音要大得多一样。当然，如果接收器无法解读掩码之下的信息，那么这种加密便毫无意义。这时，同步就登场了。科莫的方案可以确保，当接收机由混合信号（信息加上掩码）驱动时，接收机会与掩码保持同步。将混合信号中的掩码减去，信息就显露了出来。这种方法具有很高的私密性，因为一名窃听者无法轻易进行相同的解析：他不知道要减去什么，也不知道混合信号中的哪部分是掩码，哪部分是信息。

科莫在选修完我的课程一年后，回来为我最新一期混沌课的学生现场演示了他的加密方案。首先，他向我们展示了他的发射电路：一块装有电阻器、电容器、运算放大器以及模拟乘法器芯片的小电路板。电路中的三个不同的节点电压x、y、z都与洛伦茨的同名变量成正比。当科莫在示波器上显示出x和y时，奇怪吸引子熟悉的蝴蝶翅膀图案以一个发光的幽灵般的形象显现在了屏幕上。然后，他把扬声器连接到发射机上，我们便都听到了混沌的声音，就像收音机里噼啪作响的静电声。然后他拿起另一块电路板，即为了匹配发射器而制作的接收器，在一个关键位置用弹簧夹将二者连接起来。科莫再次用示波器进行测量时，屏幕上显示出了熟悉的45度斜线，这表明两个电路正在同步运行。

当科莫用电路来掩盖信息时，他博得了满场喝彩，他选择了玛丽亚·凯莉的主打歌《情感》的录音带。播放完原版歌曲后，科莫接着又播放了掩盖后的版本。从当时的情况看，人们绝不会感到有一首歌曲掩藏在这嘶嘶声中。然而，当掩藏的信息被发送到接收器时，它的输出几乎与最初的混沌完全同步，瞬间的电子减法完成后，我们又听到了玛丽亚·凯莉的歌声。歌声听起来虽然很模糊，但并不影响人们对它的理解。

◎　　◎　　◎

当科莫和奥本海姆的论文在1993年发表时，并没有对佩科拉造成多么大的冲击。因为佩科拉和卡罗尔已经沿着相同的路线苦干了三年，但他们被禁止透露任何事情，包括发表他们的研究成果。

早在1989年秋，他们的混沌电路便成功实现了同步，那时佩科拉和卡罗尔就已经开始考虑混沌加密的问题了。即便缺乏在通信或编码理论方面的基本知识背景，他们仍然想出了一个笨拙的方法，这种方法需要发送两个信号：一个信号用来建立接收机和发射机之间的同步；另一个是混合信号，负责携带极低功率信息的掩码。这种策略与几年后科莫和奥本海姆提出的策略本质上是相同的，科莫的方法只用了一个信号（x加信息）就实现了双重用途：既建立了同步又携带了信息。从这个意义上讲，佩科拉和卡罗尔的方法不够简洁，但两者的总体思路是相同的。

美国海军研究实验室的太空作战组对佩科拉和卡罗尔的工作产生了兴趣，原因在于它提供了潜在的编码和加密卫星通信的新方法。从1988年起，美国海军研究实验室开始为卡罗尔提供资助，想仔细看看两位物理学家的工作。一位高级军官告诉佩科拉，要对工作保密，他们计划请一名外面的专家来评估电路。佩科拉的行动受到了严格的限定。他和卡罗尔不能问这名专家任何问题：不能问他为谁效力，甚至不能问他的名字。“我们该怎么称呼他？”佩科拉问。“叫他比尔。”他的上司说。私下里，佩科拉和卡罗尔称神秘的比尔先生为“X博士”。

原来，X博士是一名年轻男子，严肃称职，带着一台安装有模拟电路仿真软件的计算机。X博士似乎不熟悉混沌理论，但他非常了解通信原理，想要迅速对电路进行仿真。佩科拉和卡罗尔后来被告知：X博士断定，他们的电路的表现与描述完全一致，但是他怀疑电路是否可以实现编码和加密。

太空作战组的其他访客很快尾随而来。佩科拉天真地与其中一人打赌，彩头是一罐啤酒，他打赌自己可以在混沌中隐藏一列正弦波，并让访客将它提取出来。参观者启动了一分钟的电路，测量了电压波形，然后进行了快速傅里叶变换，由此计算出传输信号的每个频率的强度，正弦波作为频谱的尖峰赤裸裸地展现了出来。佩科拉此时意识到，对于加密，他需要了解的东西还有很多。

太空作战组的科学家得出的结论是，这个新计划很有趣，但没什么值得海军依赖的东西。佩科拉和卡罗尔终于获准公开他们的成果，但由于他们想申请一项专利，他们的律师建议他们继续对研究成果保密，所以他们并未发表任何东西。

太空作战组还让他们接触到了美国国家安全局，这是政府编制和破译密码的机构，对外高度保密。佩科拉参观了机构总部，向一名聚精会神地听他介绍、但没有做出任何回应的密码学家展示了他的成果。“就像对着黑洞讲话一样。”佩科拉说，“信息只有输入，没有反馈。”会议结束后，佩科拉意识到自己落了东西，需要回去与他在国家安全局的联络人联系。但他把电话号码弄丢了，他看了看电话簿，惊讶地发现了这个秘密组织的清单。他拨通了电话，联系到了服务台。与服务台人员的谈话很容易让人想起巨蟒组合(19)的样子。

“可以告诉我Y上校的电话吗？”

“我不确定是否有名叫Y上校的人在这里工作。”

“好吧，那么我留下我的电话，请你转告他为我回电可以吗？”

“我不确定他是否在这里工作。”

“这里难道不是服务台吗？”

“是的，您需要什么信息？”

◎　　◎　　◎

对混沌同步的早期研究工作导致人们对混沌加密的前景保持着一种乐观主义态度，尤其是没有密码学背景的物理学家更是充满憧憬。20世纪90年代初，在物理学杂志上看到题为关于“安全”通信大有希望的论文很普遍。但有专家对其更为了解。从一开始，奥本海姆就提醒我和科莫要小心炒作的结果。“你永远也不能说这种方法是安全的。”奥本海姆警告说，“安全意味着无法破解。我们不知道它是否安全。它可能能进行一些低级保密，但也仅此而已。掩码方案通常很容易破解。”

对于使用手机的人，即使是最低级别的私密也是受欢迎的。戴安娜王妃需要它，因为记者会拦截她与情人詹姆斯·吉尔比（James Gilbey）的通话，随后便传出了“电话门”绯闻。1989年，查尔斯王子同卡米拉·帕克·鲍尔斯（Camilla Parker Bowles）的更为亲密的通话内容被曝光。当纽特·金里奇（Newt Gingrich）和他的律师讨论针对他的道德案件时，他们的手机通话被民主党支持者使用警方安装的扫描器进行了录音。手机扰频器至今仍然存在，但这往往需要花费数百美元。混沌掩码或许可以是击败窃听者的更便宜的替代品。

另一方面，对于军事和财务应用则需要更强大的加密功能。到目前为止，基于混沌的方法已被证明非常脆弱。新罕布什尔大学的数学家凯文·肖特（Kevin Short）展示了如何破解几乎迄今为止的每一个混沌密码。当他解开了科莫和奥本海姆的洛伦茨混沌时，他的研究结果引发了非线性科学家之间的小型军备竞赛，因为研究人员试图开发越来越复杂的体系。但到目前为止，赢家总是破译者。

最有前景的进展之一来自1998年佐治亚理工学院的两位物理学家格雷戈里·范·威格林（Gregory Van Wiggeren）和拉贾什·罗伊的工作成果。他们使用激光和光纤代替发电机和电线，完成了混沌通信的首次实验演示。在他们的光学系统中，携带着隐藏信息的混沌光波以每秒1.5亿位的速度进行传输，比用电子器件实现的速度快数千倍。甚至对于实现更高的速度，他们的系统中也不存在理论上的障碍。

使用混沌激光通信的另一个优点在于，混沌要复杂得多，难以破解。复杂度可以被所谓的“奇怪吸引子的维度”量化，它是维度一般概念的自然概括。但与直线（一维）或平面（二维）不同，奇怪吸引子的维度通常是带小数点的。例如，洛伦茨吸引子是由无限多的二维薄板组成的，这意味着它有无限大的表面积，但没有体积。这就像它听上去的那样神秘，它大于平面，但又小于立方体，因此，它的维度>2，<3。对于范·威格林和罗伊的掺铒光纤激光器而言，奇怪吸引子的维度是未知的，但它几乎肯定是一个小数，而且更重要的是，它的数值非常大，似乎至少有50，对应于一种非常疯狂的混沌形式。有关这种新的编码形式是否比先前的方法更安全尚未有定论。

除加密应用之外，混沌同步更为恒久的馈赠或许是加深了我们对同步本身的理解。从现在起，同步不再只与节律性相关，与之相关的还有循环、周期、重复。混沌同步得以让我们与宇宙中的一种令人眼花缭乱的新秩序面对面，至少我们先前从未认识过它：一种我们曾认为只有人类才有的时间艺术形式。它揭示出了同步更加无处不在的面貌，至少比我曾经猜想的更加微妙。

08
三维中的同步

1981年平淡的一天，在英国剑桥大学，我第一次偶然间邂逅了同步。大学毕业后，我获得了马歇尔奖学金，在剑桥学习数学，那段时光完全是一种颠沛流离的感觉。英国女孩从来都听不懂我的笑话，抱子甘蓝是灰色的，细雨是无情的，卫生纸是苍白的。我的课程也单调无比，都是经典物理学中过时的话题，例如陀螺的旋转动力学。这些问题复杂难解，丝毫不吸引人。

我希望自己能重燃学术热情，我穿过街道，到赫弗书店浏览生物数学方面的书籍。作为一名大学高年级学生，我曾写过一篇关于DNA几何形状的论文，内容是与一名世界级的生物化学家做原创研究，使用一些我正在学习的数学，并将其应用到一个尚未解决的染色体结构的问题，整个体验非常令人兴奋，以至于我确信自己要成为一名数学生物学家。到书店后，我扫视着书架，脑袋一歪，一本书的名字突然出现在我的视野中：《生物时间的几何学》。这是一个奇怪的巧合。我那篇关于DNA的论文标题是“有关几何生物学的论文”。我原以为是自己最先异想天开地将几何学与生物学联系到了一起。但那本书的作者，普渡大学生物系教授阿瑟·温弗里，显然已经将它们联系了起来。

书的封底折页上的推荐语看上去很振奋人心：“从细胞分裂到心跳，有规律的节奏遍及每个有生命的有机体。生命循环最终是生化机制，但许多支配它们的编曲原则本质上是数学。”我翻阅目录，马上就意识到这不是寻常科学家的工作。不，不只是不寻常。温弗里正在打破一切规则。总之，他是顽皮的。书中的一个章节介绍关于月经周期的数学，他居然使用了自己母亲的数据。其他章节里也有同样古怪的内容：章节标题中的双关语，作者的个人故事充斥其中。我开始怀疑温弗里这本书的真实性，因而把书放回了书架，离开了书店。

几天后，我感觉自己是被温弗里的书勾回赫弗书店的。温弗里的书实在太诱人了，我不得不再次回来阅读。为了查验他的凭据，我翻到了参考书目：1967—1979年间的36篇论文，有几篇出自最负盛名的期刊，例如《科学》、《自然》以及《科学美国人》。这应该有足够的说服力了，但由于某些原因，我又把书放了回去，几天后才又回来看它。最终我意识到这太荒谬了——上帝一定在阻止其他人买走书店里唯一的这一本书。我投降了，买下了它。

每天读这本书都有一种新的喜悦。温弗里的整合非常出色，而且完全是原创。他逐章建立了一个数学框架，揭示了各种生物振子工作的潜在统一性。他把自己的想法应用于心脏节律、脑电波、月经周期、昼夜节律、细胞分裂周期，甚至内脏中的波。但温弗里的想法远远超出了这些。他做出了惊人的预测，并在实验中不断得到证实，其中的一些甚至解决了生与死的问题。

这是第一次，我感觉到自己的职业生涯开始了。我兴奋地给温弗里写信，询问他该去哪个研究生院学习数学生物学。我从未听说过关于这个学科的任何正式课程。因为这个学科太新、太边缘了。两个星期后，当我拿起从普渡大学寄来的回信时，我的脉搏都加快了。信中，蓝线的学校作业纸上潦草地写着红色记号笔的字迹，很多词句还用箭头连接起来，这是温弗里的亲笔回信：

史蒂夫·斯托加茨：

毫无疑问你应该来找我。

接下来的两页都是慷慨的建议，

他最后写道：

保持联系，你看上去很有趣。

阿瑟·温弗里

梦想成真了。从那时起，温弗里成了我心目中的英雄。但温弗里是在生物系，生物学研究生学位并不在我的计划中——数学才是我的专业。那么暑期和他一起工作怎么样？我羞怯地提出了自己的请求。两个星期后，我收到了他的答复：

1981年12月10日
在收到你1981年12月1日来信的5分钟后

亲爱的史蒂夫：

这周，一大叠钞票落在了我的身上，因此毫无问题，我能为你支付暑期薪水……我的实验室里有足够的空间，有两台苹果电脑，还有各种超棒的配件……我要研究的是“三维扭曲的拓扑问题+扎鲍廷斯基的汤中振荡的化学波+心肌的‘兼职’应用”，这个春天，你可以阅读我关于心脏猝死的论文。我非常高兴能与你一同完成这些挑战。我认为我们在一起会学到很多。

我不希望……或……或其他人再为你提供职位，除非你拒绝了这个职位。但愿如此。

情不自禁的阿瑟·温弗里

◎　　◎　　◎

温弗里的研究议程，就像他写给我的字迹凌乱的信中所述，超前于所有人的思想。当然，温弗里完全游离于主流科学之外，随着科学走向狭窄的专业化趋势以及对简约的强调，人们钻进了越来越小的研究单元中——而温弗里从不思考单个基因、夸克或神经元通道。他甚至游离于混沌革命之外，所有的混沌学研究者都感觉自己位于浪潮之巅。但是实际上，混沌革命已经走向成熟，即将让位于下一波伟大的浪潮：即由很多部分组成的非线性系统的研究。后来这类研究被称为“复杂性理论”，这一运动看上去像混沌的自然产物，但在其表象之下，复杂性理论学家们专注的不是小系统不稳定的行为，而是着迷于大型系统有组织的行为。温弗里最早的关于生物振子自发同步的工作已经触到了这一主题。到现在，它已经在几个方面趋于成熟了。

例如，温弗里在信中提到了他关于“扭曲的三维+振荡的波”的研究计划。这里的关键词是三维。没有人研究过在三维空间中相互作用的自激振子的行为。正如我们早先看到的那样，当理论家们第一次开始分析振子种群的动力学特征时，他们只聚焦于时间上的同步，完全忽略了空间，并不考虑振子的位置。维纳、藏本由纪、佩斯金，甚至温弗里自己的研究成果，都被限制在了最简单的可能情况，即振子多对多耦合，此时振子间的彼此相互影响都是完全相等的。全局耦合被认为仅仅是简化的第一步而已，这是走入多振子动力学丛林的最快道路。这里无须考虑空间结构，每个振子都是所有其他振子的邻居。

一旦掌握了这种情况，下一级理论阶梯便是考虑放置在一维的链或环中的振子。正如你所期望的那样，现在会发生一些新的事情，它超越了纯粹的同步：波动可以一个振子接一个振子地稳步传播。事实上，在局部耦合的振子模型中，波比同步更普遍。我们都有过在体育场看球的体验：在巨大的体育场里，发起一波“人浪”并保持下去很容易，比让全体球迷同时起立和坐下容易得多。当一些数学家试图攀登更高的维度——研究二维平面中的振子时，他们必须竭尽全力。此时，分析变得几乎无法处理。所以，当温弗里决定继续攀登三维时，没有人跟随他。

思考这些问题的原因是，大多数真实的振子都是局部耦合的，而非全局耦合。肠道是一条遍布振荡神经和肌细胞的长管，分割成一个个圆环，它们有节律地收缩，设定好的动作使得消化道的波动按照从胃到肛门的正确方向前进。振荡组织的每一环与其两侧最近的邻居发生电耦合，使得肠道实际上就像一条一维振子链。胃有点儿像神经肌肉振子形成的二维口袋，从这个意义上讲，胃的细胞有节奏地蠕动，主要与它们胃壁表面的邻居相互作用。心脏是由独裁的振荡细胞和无条件服从它们命令的“易受激”的细胞组成的厚厚的三维集合；如果受到足够强烈的电刺激的触发，它们发射一次便回去休息，等待下一个触发脉冲。当心脏正常运转时，心脏起搏器产生电兴奋波，沿着特殊的导电纤维来到泵房（心室），引起心室收缩并将血液泵到身体各处。

然而，在患病的情况下，易受激细胞会叛变，转而维持自己的波，这道电子龙卷风挡住了从心脏起搏器传来的信号。心脏病学家数十年前就已经知道，这种“潜在旋转”或“杂技动作”可能导致心动过速（异常快速的心跳），然后恶化为致命的心率失常，医学上称为室上颤动，此时，心肌因极度痛苦而无助地扭动、抽搐、颤抖，但无法泵血。每年，成千上万表面看上去健康的人（没有心脏病病史的人），因心脏陷入了这种有害的组织模式导致猝死。当温弗里的信中提到“心肌的兼职应用”时，他指的就是这种奇怪的电子龙卷风。他想搞清楚它们的成因、行为以及如何应对它们。温弗里希望，一旦理解了其基本原理，就可以设计出比今天的粗糙装置柔和很多的除颤器，今天的粗糙装置通过电击来挽救生命，简直让人痛不欲生。

1981年，非线性动力学显然没有发展到可以预测这种三维旋转波行为的程度。我们无法计算出它们的实时演化、无规律的移动以及电子湍流的旋转模式。即便在超级计算机的帮助下或许可以计算，这样的尝试也都是不成熟的，因为我们不知道如何解释这些发现。实际上，甚至没人知道这些影影绰绰的家伙的图像究竟是什么样的。它们尚未被心脏病专家直接看到过。所以温弗里觉得，第一步是学习如何识别它们，在头脑中构想它们的特征，以免日后担忧它们的惯常行为特征。

对于三维形状的研究，我们需要粗糙的数学，无须在乎时间，但需要在乎空间。当温弗里提到“拓扑谜题”时，他指的是数学的一个分支——拓扑学，拓扑学是研究连续的形状、刚度被弹性取代时的一种广义几何。在拓扑学看来，好像一切都是橡胶制成的。形状可以连续变形、弯曲或扭转，但不允许切割。正方形与圆形是拓扑等价的，因为它们都没有“洞”。而另一方面，圆形与8字形不同，因为8字形不用剪刀剪开的话，无法避免交叉点。从这个意义上讲，拓扑学是将形状分成广义的类的理想方法，基于的是它们的纯连通性。温弗里的计划是利用拓扑学对人们可能会遇到的易受激细胞在三维空间的波动进行分类。知道了哪些是可能的，他便可以知道在以后的实验中要寻找什么，并希望可以识别出各种奇异的结构。

◎　　◎　　◎

1982年6月闷热的一天，我抵达了温弗里的实验室，他正全神贯注于一些书面工作，独自坐在实验室的长凳上，衬衫敞开着。他的这种不拘小节让我有些尴尬——我父亲陪伴我完成了从康涅狄格到印第安纳的跨州驾驶，这是父亲第一次见到我的偶像，但是温弗里这种无拘无束的友好完全打消了我们会面前的疑虑。很快，父亲告辞离去，实验室中只剩下我和温弗里两个人，还有散落四处的烧杯、本生灯和剃刀刀片。我后来发现，剃刀刀片是他的首选切割工具。当他用刀片切割铁丝或微孔滤纸时会高兴地喊着“吱吱吱吱”。

实验室里很安静。没有研究生或博士后。但我已经准备好了——在先前的信件中，当我询问谁会和我们一起工作时，温弗里回信道：“现在，我可以编造另一名学生+同事的故事了。但老实说，一个也没有。也许我已经远离了社交，也许我有狐臭，不知道……但我的实验室中人口密度等于1。你的到来会是个奇异事件。这打击到你的信心了吗？”

我们只有三个月的时间在一起工作，所以我需要快速学习。温弗里感觉我应该亲自动手操作：暂时无须使用数学或计算机。我的第一个项目是一个实验，温弗里称之为“扎鲍廷斯基的汤”，这种化学反应可以维持波的激发，非常像触发心跳的电波。但它比真实的心脏简单很多，甚至没有生命、没有肌肉也没有任何形式的运动。它是探索激励波以最纯净的形式传播的理想平台。这种方法，就像果蝇在遗传学的作用一样，它在心脏波动中也起着相同作用——用方便、简洁的方法揭示复杂现象的本质。

通常情况下，在化学实验里，你期待的最有趣的结果只是一股烟或一股毒气而已。相比之下，扎鲍廷斯基的汤提供了源源不断的快乐。当按其原有配方调制时，它的行为像一个自激振子，仿佛起搏细胞的化学模拟。它的颜色交替改变，有节奏地在天蓝色和锈红色之间变换数十次，直到最终在约一个小时后稳定在平衡状态。如果我们可以在分子尺度上进行观察，这种表现会显得更加令人印象深刻：数以万亿计的耦合振子，完美地同步行进，这是有史以来最大规模的广场舞。

如果使用新的、更微妙的配方，此时它的反应则非常令人兴奋。起初，它看上去非常不活泼，振荡也消失了。但是，如果你将一层薄薄的红汤倒入培养皿，然后用一根银线或一根热针刺它时，它会瞬间发射一圈蓝色的圆波，像野火一样扩张和蔓延。这就是化学波，即化学反应从还原态变为氧化态时传播的激发脉冲。一旦波被传出，反应恢复平静，再次变红，就像草原大火后的草会重新生长一样。然而，这个比喻并不完美。化学品的恢复比草原更快；第二波会紧随其后。

化学波与传统物理课程中研究的波完全不同，不同于声波或池塘中的水波。当化学波通过扩散传播时，液体的表面不会忽高忽低，仍是一动不动。这种传播是一种激励模式，一种化学上的蔓延。这些波也不会像声波或涟漪一样，从波源传出后就开始衰减。化学波的每处介质都提供了新的能量源，为波增添能量，防止它衰减。

现在假设你在培养皿中的两个不同的点上引爆了两列化学波。蓝色的圆圈扩大并相互蔓延。当它们相遇时，不会互相渗透或叠加，而会湮灭。这种现象的原因与汹涌的草原火灾相遇时消失一样：它们无法燃烧彼此的灰烬。在这个比喻中，灰烬对应于耗尽区，即波浪过后的耐火带。化学介质需要时间恢复，才可以再次变得活跃。

在许多方面，这种化学介质的行为像人类的性反应。性的唤起和恢复取决于神经组织的属性，这就像扎鲍廷斯基的汤，属于一类被称为应激介质的广义系统。神经元有三种状态：平静态、激发态和耐火态。通常一个神经元是平静态。对于不够强的刺激，它几乎没有响应，并返回休息。但一次充分的刺激会激发神经元，导致它发射。接下来它变为耐火态（一段时间内无法再次被激发），最后再回到平静态。与之类似，化学波会产生动作电位，即沿神经轴突传播的电波。动作电位在传递中同样没有衰减，当二者相遇时会彼此湮灭。事实上，另一种兴奋介质——心脏中的电波状态也是如此。这就是这种抽象的美丽之处——兴奋介质的性质主宰了一切。研究一个例子即可一举掌握所有情形。扎鲍廷斯基的汤、神经组织，以及心肌之间的相似性向下延伸到支配它们非线性动力学的数学方程结构。这种相似性根深蒂固。

但扎鲍廷斯基的汤有许多优点，特别是对于一个刚上手的实验员来讲。无须牺牲任何动物也没有复杂的剖析，例如神经网络的错综复杂或心肌中扭曲的纤维结构。最棒的是，波是肉眼可见的，它们移动缓慢，所以无须任何精心制作的记录装置。相比之下，心脏电波可视化至今仍然是一项艰巨的技术挑战，即便在有着大笔预算的实验室也不例外，心脏电波可视化要求电压敏感性染料、多电极阵列以及其他顶尖水平的技术。

在扎鲍廷斯基的汤的帮助下，科学家们已经开始解开波在应激介质中传播的秘密。特别是，扎鲍廷斯基的汤中发现了一种新类型的波：一个螺旋形旋转的、自维持的波。虽然它的几何形状很优美，但其后果却是破坏性的。心脏中旋转螺旋波是心跳过速的罪魁祸首，在最坏的情况下，室上颤动会导致心脏性猝死。

◎　　◎　　◎

对扎鲍廷斯基的汤及其非凡的螺旋波的发现是一段教条、失望，但最终得到证实的故事。当然，扎鲍廷斯基的汤不是真名——它只是温弗里平时对它的称呼。今天它被称为B-Z振荡反应，得名于发明并改进它的两位苏联科学家鲍里斯·别洛索夫和安诺托里·扎鲍廷斯基（Anatol Zhabotinsky）。

在20世纪50年代早期，别洛索夫尝试用试管实验描述克雷伯氏循环，克雷伯氏循环是一种发生在活细胞中的代谢过程。当别洛索夫将柠檬酸和溴酸根离子混合在含有铈催化剂的硫酸溶液中时，他惊讶地观察到，混合物变成了黄色，约一分钟后褪成无色，再一分钟后又回到黄色，然后又变成无色，这样交替振荡了数十次，直到约一小时后最终达到平衡。

现在，化学反应可以自发振荡已经不足为奇，这种反应已成为化学课堂上的一个标准演示实验。但在别洛索夫的时代，他的发现太过于激进，以至于没有人会相信。人们都认为，由于热力学定律，所有化学试剂溶液都会单调地走向平衡。各种期刊都拒绝刊登别洛索夫的论文。一名编辑甚至在退稿信中讽刺地写道“据说是发现的发现”。

别洛索夫万分沮丧，决心永不与化学界的同事分享他的技术突破。他在一次苏联医学会议中发表了一个简短的摘要，但没有人注意他，直到多年以后那篇摘要才唤起人们的注意。然而，关于这一惊人反应的谣言却于20世纪50年代末在莫斯科的化学界中广为流传，1961年，一位名叫安诺托里·扎鲍廷斯基的研究生被他的导师派去深入调查别洛索夫的发现。扎鲍廷斯基证实，别洛索夫始终都是正确的。1968年，扎鲍廷斯基在布拉格国际会议上公开了这一发现，这个会议是一个只允许西方科学家和苏联科学家参加的罕见场合，当时，参会的科学家们对生物振荡和生物化学振荡抱有浓厚兴趣，B-Z反应被视为更复杂的系统的一个可处理的模型。

结果证明，生物学的类比是惊人接近的。在20世纪70年代初，扎伊金（A.N. Zaikin）和扎鲍廷斯基在B-Z反应的薄薄的未受刺激层中发现了激发波的传播。波类似于同心圆，在相遇时湮灭，就像神经或心脏组织中的电波。它们的波源似乎是一些类似于心脏起搏器的东西，随机的散点自发喷出波。

温弗里在学习了这项成果后，写信给扎鲍廷斯基（二人在两年前的布拉格会议上相遇，后者当时还是一名研究生），询问他是否见过除了同心环之外的其他波形。温弗里在自己的某次真菌实验研究中观察到了螺旋波，但那是有生物钟的生物组成的更复杂的系统。温弗里好奇螺旋形是否会在扎鲍廷斯基更简单的化学系统中出现。在数学上，温弗里对此表示怀疑，他认为自己可以证明波是封闭的环。但他的信尚未得到扎鲍廷斯基的答复。在那个时代，来自苏联的信件慢得让人抓狂，特别是科学家之间的信件（两边的国家安全机构大概正忙着用蒸汽开启信封）。温弗里无法忍受这种悬而未决的状态。他自己调制了扎伊金和扎鲍廷斯基的配方，果不其然，螺旋波四下里弹出。温弗里无法理解这种现象，但扎鲍廷斯基在1970年的论文研究中见到过同样的现象，而且生活在普希诺的瓦伦丁·克里斯基（Valentin Krinsky）曾经预测，螺旋波会在任意应激介质中出现，包括心肌中。如今，大家公认，螺旋波是所有化学、生物、物理应激介质的一个普遍特征。假如鲍里斯·别洛索夫看到自己开启的新科学，大概会很高兴吧。

1980年，别洛索夫、扎鲍廷斯基以及其他三位科学家被授予苏联最高奖章——列宁奖，以表彰他们对振荡反应的开创性工作。但令人惋惜的是，别洛索夫在10年前就已与世长辞。

◎　　◎　　◎

螺旋波最惊人之处是，它们似乎是有生命的。它们可以自维持，不需要起搏器：螺旋波本身就是起搏器。如果你在激活的B-Z反应的薄层中观察到了螺旋波，它看上去就像一座旋转的风车，永不停歇地追逐自己的尾巴并自我再生。

在某种程度上，旋转只是偶然而已。更根本的问题是，波正在传播，传播方向垂直于波前的每一个点。我们的困惑是，因为螺旋线的几何形状中存在突然弯曲：波的传播看上去酷似旋转。请想象老理发店的旋转杆的幻觉。旋转杆上画的螺旋线似乎是向上传播的。但很显然它根本没动，它仅仅是随着杆子旋转而已。这里，旋转伪装成了传播，与螺旋波中相同的效应相反。

然而，我们会感到螺旋波的旋转是真实的。周围介质中的每个点周期性地振荡；每当波穿过时，它都被重新激发。因此培养皿中的每个点都会循环经过激发态、耐火态和静止态，然后再回到激发态这几个熟悉的阶段。这里的新奇之处是，螺旋波创造了同时构建于空间和时间上的振荡。此时不是步调一致的同步（别洛索夫在他最早的实验中看到的空间均匀性，烧杯中的溶液立即改变颜色），现在的振荡好似足球场观众席球迷发起的“人浪”，随着球迷在恰当的时刻起立和落座，“人浪”围绕着球场循环。

我们再作一个更形象的比喻，请想象1 000张多米诺骨牌在地板上整齐地摆了一圈。假设我们拥有一名动作敏捷的助手，他会在每张骨牌倒下后立即将它重新立起来。我们推倒第一张骨牌，骨牌翻倒的波浪开始沿着圆环传递。助手紧随其后，疯狂地将骨牌重新立起。此时，正在翻倒的骨牌对应于激发态，已经倒下的骨牌对应于耐火态，直立的骨牌对应于静止态。这样的波会不停地循环，直到动作敏捷的助手崩溃。

相同实验的生物学版本已由生物学家迈耶（A.G.Mayer）在水母的帮助下于1906年完成。他用水母伞形圆顶的边缘塑造了一个神经肌肉组织环，然后在一个点上用电刺激它，注意，他只允许波沿一个方向传播。神经冲动循环了6天，大约传播了50万圈。

很明显，波可以围绕着应激介质的一维环持续循环。但是，将相同的思想扩展到二维上则存在问题，这是螺旋波的特殊之处。在上面的讨论中，我们含蓄地假设，到了波返回时，介质已经从耐火阶段恢复。如果循环足够大或波速足够慢，那么这个假设就是有效的。但在螺旋波的中心附近，这个假设不再成立，因为激励所经历的循环变得太小了。

其结果是，螺旋线的中心并不像介质的其余部分那样振荡。它并不显示出颜色有节奏的变化，或光强的波峰和波谷以及任何振荡的迹象。此处的循环振幅下降到零。这一点被称为相位奇点，意味着周围振荡的相位在此处无法被合理地定义。相位在此处变得模糊。这个令人费解的情况类似于发生在北极和南极的事情。在地球表面的那些奇点上，所有的时区都汇聚于此，白天和黑夜的循环被瓦解。太阳既不升起也不落下；它只是沿着地平线循环。在地球两极，时刻是没有意义的。它既是所有的时刻，又不是任何时刻。

但对于螺旋波而言，相位奇点远超过了一个遥远而又奇特的地理位置。它是驱动波的引擎。令人惊讶的是，只要核心完好无损，整个螺旋波可以自己再生，无论它的外围旋臂受到了怎样的损害都无妨。螺旋波很难根除还有另一个原因：它们发射波的速度几乎与介质允许的速度一样快。所以它们能够挡住其他侵入波，例如遥远的起搏器射来的同心圆。侵入波在与旋臂的碰撞中湮灭，它们无法取得任何进展。相反，较快的波无情地朝着较慢的起搏器前进，霸占它们的领土，最终扼杀它们。因此，从长远来看，培养皿中的B-Z反应看起来总像是充满螺旋线的佩斯利花纹(20)，看不到圆形波，只有螺旋线才可以相互抵挡（见图8-1）。

图8-1　佩斯利花纹

这里，我们看到了自发秩序一个纯粹而简洁的例子。我们开始于一盘恰好容易受激的化学汤。然后用一个银线接触它，晃动它，建立一种随机激励模式。它没有结构，只是一团糟，但从中出现了佩斯利花纹。这没有什么神秘的。这种模式遵循应激介质的规律，这些规律同样来自非线性动力学。

◎　　◎　　◎

通过在温弗里的实验室里研究了一段时间的B-Z反应，我理解了螺旋波的基本事实。为了完成我的下一项任务，温弗里建议我再现他提交给《自然》的一种新类型的螺旋波实验。在经历了数周的失败后，温弗里显然已经认识到我是个实验白痴。当然，这对我而言早已不是新闻，因为这种能力需要多年的锤炼。

幸运的是，温弗里这个暑假最主要的目标是一个完全不同的方向。正如他在信中提到的，他想要进行“三维扭曲难题+扎鲍廷斯基的汤中振荡的化学波”。问题是：在三维中的螺旋波是什么样的？我们能想象它们吗？支配它们形状的数学规则又是什么？

温弗里已经开了个好头。1970年，就在他发现了二维的螺旋波不久后，他设想，如果将B-Z反应螺旋线的薄层取出，然后逐渐让层变厚，会发生什么现象。就像浮雕一样，螺旋线会上升到第三维度，显现出连续叠加的螺旋线——一个形状如同卷轴一般的表面（见图8-2）。

图8-2　卷轴波的不同状态

同时，核心的奇点会沿着卷轴的边缘拉长成一段奇异的细丝，就像螺旋波围绕它的核心旋转一般，卷轴波围绕它的细丝线旋转。

这是一个旋转的卷轴波：科学界从未见过这样的东西。我们不易找到类比。卷轴波是化学龙卷风。是的，除了溶液保持静止，移动的是化学活动的波，是传播激励的三维旋风。此外，就如龙卷风从云层到达地面，但是卷轴波的终点在何方呢？温弗里深信，它们不可能只停留在溶液中间的某个位置。它们不是终止在边界上（烧杯壁），就是终止在顶部的气液界面上，或者它们根本不需要终点。换句话讲，卷轴波可能不停地追逐自己的尾巴，并包围自己。相比于龙卷风，它可能更像一个烟圈。

这种景象令温弗里十分着迷。这种“卷轴环”真的存在吗？1973年，他证实了卷轴环是确实存在的。他的实验设计十分巧妙，不同于通常烧杯中溶液的B-Z反应，温弗里准备了一厚叠多孔纤维素滤纸，滤纸里面浸透了相同的化学药剂。在完成了他认为可以出现卷轴环的恰当条件后，他让反应继续进行，并用化学方法锁定它。为了检验样本，他把一厚叠滤纸切成薄层，就像使用显微镜的技术人员制作的玻片标本，然后一片片地放置在无反射的玻璃板上。样品结果与预期完全相同，波的形状呈现出炸面圈的形状，而截面为螺旋形。

但随后，温弗里好奇是否会有其他类型的卷轴环存在。卷轴环在闭合前会扭转特定的圈数吗？既然腰带可以这样扭转，那卷轴环为什么不可以呢？它们可以打结吗？卷轴环可以像手镯或锁子甲一样彼此连接吗？温弗里尝试用不同的方式将卷轴环联结、扭曲和打结，但他很快发现其中的一个假设是不成立的。

温弗里利用拓扑学定理，证实了扭曲的卷轴环是不可能的，至少无法作为一个孤立的实体存在。扭曲的卷轴环的结构是自相矛盾的：如果环被扭曲，它会自动被另一条奇异线穿过，这意味着原来的环本质上不是孤立的。拓扑学定理已经揭示了第二个卷轴环一定与第一个相连，虽然尚未预见到。随着进一步努力，温弗里发现，尽管孤立的卷轴环是不存在的，但是相互联结成对的卷轴环则可以存在。它似乎是一种完全可行的结构。

这个结论的言外之意很诱人：卷轴环的几何形状是受规则支配的。有些结构是允许的，有些则不被允许。一定存在着有待我们发现的规则。

◎　　◎　　◎

我们首先要做的是描绘出扭曲的卷轴环的形状。温弗里抽象的拓扑学证据暗示，扭曲的卷轴环被另一个奇异线穿过，但我们二人都无法描绘出整个结构，不知道如何将扭曲的卷轴和另一条贯穿它的奇异线拼接成一个整体。事实上，当温弗里数年前试图手绘它的结构时，他无意中画了一张毫无意义的埃舍尔(21)风格的绘画，就像埃舍尔的那幅《上升与下降》，画中描绘了一群正在攀登四层楼梯的僵尸，上到楼顶后却又不可思议地出现在了楼梯的底部。

但现在一切都不同了。我们拥有了苹果计算机，计算机可以为我们画出这个表面，我们需要做的只是告诉它画什么。我的工作是编写一个计算机程序，粗暴地计算出这个表面。这背后隐含的思想很简单：扭曲的卷轴仅仅是一圈圈螺旋形条纹而已，每一条相比于它的邻居都微微翘起。所以，我命令计算机去计算螺旋线上的点，然后复制它，并围着圆环将螺旋线向前推进一格，同时将螺旋线扭转一格。一遍遍重复这个操作，直到螺旋返回到起始位置为止，这样便画出了一个围绕圆环的轨道和一个完整的扭曲。唯一棘手的问题是，每条螺旋线有多长？换言之，它有多少个转弯？在这里，化学给出了答案：螺旋波继续前进，直到撞上另一个为止。因此，螺旋线碰撞的部分应该被擦除，因为它们会互相抵消，就像应激介质中相互碰撞的波那样。

按照要求，苹果计算机得出了数百个数字组成的表格，代表着扭曲卷轴表面上的点组成的网络。现在，我们需要做的就是通过计算机图形程序运行这些数字，它最终揭示出扭曲的卷轴环。我对温弗里购买的软件——比尔·巴奇三维图形系统跃跃欲试，我们屏住呼吸，但结果却大失所望，计算机上显示出的图形太粗糙了，网格点的数量严重不足。显然，比尔·巴奇的系统已经无法胜任了，刚才的结果也是按照我们的要求勉强计算出来的。最后，我们只好徒手把这些点连接起来。我们打印出了粗糙的图片，用彩色铅笔粉饰打印的痕迹，希望可以看到令人惊讶的东西。但是很不走运，见证奇迹的时刻尚需等待。

与此同时，温弗里和我开始研究更理论的问题，寻找卷轴波的拓扑规则。因为没有明确的方向，于是我们感到需要更好的直觉。温弗里的实验里贮存着大块红色绿色的牙蜡，还有橙色的成型黏土，以及取之不尽的吸管。所有这些都是制作打结点、联结以及扭曲面必不可少的材料。

这就是我们的工作。我坐在电脑前或实验室的长凳上塑造牙蜡，试图将其塑造成从未见过的形状，温弗里则总是用记号笔在画板上绘制卷轴波图案，然后用剃刀“吱吱吱吱”地把好想法剪下来，将它们粘到实验室笔记本中。对我们而言数个小时有如弹指一瞬。偶尔，我们会在顿悟时打破平静。然后，我们会努力解释想到的景象，澄清它，用直觉体会它，我们总要创造一些词语，因为三维几何形状非常难以捉摸，难以表达。但最终，我们总能理解彼此，并一起着手把这些想法变成理论的曙光。这些数学谈话紧张而兴奋。对我来说，这种感觉就像拥有了一个更强的大脑，它会持续一整天之久，日复一日。通常我们一起吃午饭，在阳光明媚的日子里，我们会坐在公寓的游泳池里，他在画板上绘图，而我则在脑海中描绘这个场面。到了晚上十点，我们总会感觉头痛，不得不回去休息。

到了8月，我们已经找到了联结和扭曲的卷轴环所有可能结构的规则，但打结的规则很难找，我们对其一无所知。我们开始从最简单的例子着手：单个的卷轴环，上面系着一个三叶结。为了制作三叶结，我们准备了一根鞋带，打一个反手结，就像开始系鞋带一样，然后把末端连在一起。我们得到的曲线是一条打结的环，看上去就像一片三叶草的轮廓（见图8-3）。

图8-3　三叶草形状的卷轴环

◎　　◎　　◎

我们对三叶草形状的卷轴环是否具有数学意义和化学意义十分好奇。如果是在烧杯中的B-Z反应，它是否必定会联结到其他环上？它可以单独存在吗？它也可以通过正确的方式扭曲吗？果真如此的话，那么扭转多少圈是合适的呢？它产生的波是什么样的？

为了使这些抽象问题更明确，我把一些牙蜡卷成更长更纤细的部分，弯曲它们，把它们的末端连接起来，直到它们看上去像一片三叶草。此时，奇异线便像是卷轴又长又细的木销钉，波就像卷轴展开后的羊皮纸。这个表面始于销钉终于销钉，同时紧紧围绕在销钉周围。幸运的是，在数学意义上，卷曲是无关紧要的：它总是可以通过拉紧卷轴波而消除（我们假想波是由氨纶组成的）。卷轴波的关键是，它始于奇异线，也终于奇异线，它的表面没有其他边界。用另一种颜色的牙蜡，我开始制作波的表面，一次制作一个格，总是从奇异线开始做起，按照我自己的方式进行，直到所有的小格合并成一个连续的薄层。

下一个问题是，这张薄层有一面还是两面？这个问题可能听上去很疯狂：单侧曲面是什么？最著名的例子就是莫比乌斯带（Mobius strip），一张纸条扭转半圈，然后闭合成一个环。如果你用手指从某处开始，沿着莫比乌斯带前进，最终你的手指会回到纸条的另一面（尽管这个说法是错误的——这里并不存在“另一面”，因为正面和背面是相同的）。从这个意义上讲，莫比乌斯带只有一个面。

如果我的牙蜡表面是单侧曲面，那就糟透了。化学理论表明，卷轴波一定是双侧曲面，这源于应激介质的基本事实：波垂直传播，侵入平静的范围，留下耐火的灰烬。这意味着波同时具有正面和背面，但莫比乌斯带不是这样。或者用另一种方式说，想象一下，如果把莫比乌斯带的一面画成红色，表示向前燃烧的那一面，然后把另一面画成黑色，表示灰烬的那一面。但它们是同一面，所以你在红色上面又画了一层黑色。如果波只有一面，那么向前传播的整体概念则没有任何意义。

画一片三叶草有很多方法。奇怪的是，有些方法会画出单侧曲面（因此是被禁止的），有些方法则会画出预想的双侧曲面，因而提供了预选的波阵面形状。经过一阵摆弄，我意识到，所有可接受的表面都是拓扑等价的，通过适当的弯曲和拉伸，每一个都可以通过连续变形成为预想的任意双侧曲面（见图8-4）。因此，只有一个正确答案，它就是三叶草形状的卷轴波。

图8-4　三叶草形状的卷轴波示意图

剩下的问题是，得到的卷轴是否会扭曲。如果会扭曲，那么会到什么程度。为了通过实验测量扭转，我在牙蜡表面画了一段线，这条线始终与外边缘平行，位于边缘内侧一毫米处，一直沿着表面画，直到闭合成为回环。回环同样形成了一个三叶结，就像最初的奇异线，它们一起定义了假想丝带的两个边缘。

这条丝带让我想起了我的大学毕业论文，论文中描述了处理超螺旋DNA分子拓扑结构的方法。此处的一个关键概念是一个被称为DNA连接数的数学量纲。粗略地讲，它衡量了一股DNA围绕另一股盘绕的次数，这个数值远大于双螺旋空间本身所体现的盘绕次数。它同时取决于DNA的盘绕次数和它在空间中的三维路径。现在，对于卷轴波，丝带的连接数包含了波的扭转的所有重要信息，还有它打结的奇异线的形状。我计算的连接数结果为零。太完美了——它是如此简单。三叶草形的卷轴波可以存在，而且它们不是扭曲的。后来我们证实，不只是三叶草形如此，任何打结都是如此。

暑假结束后，我搬到波士顿，开始了在哈佛大学的研究生生涯，但我仍与温弗里保持着联系。我们有论文要写，还有两个挥之不去的谜题要解决。那一年冬天，我去佛罗里达州朗博特岛的温弗里父母家中拜访了他，在那里，我们最终解决了最普遍形式的卷轴波的拓扑结构问题。我们证实，任意数量的卷轴环可以通过不同的形式联结、扭曲、打结，它们只要满足一个方程：每个环的丝带的连接数加上它们与其他环的连接数，总和一定为零。否则这种结构就是不被允许的。我们半开玩笑地称它为不相容原理，类比于化学中的泡利不相容原理，泡利不相容原理限定了元素的原子结构，决定了元素周期表的形式。对我们而言，“元素”是卷轴环和打结的允许构造，按照复杂性的增加排序。“氢”是单个的卷轴环，其中没有打结或扭曲。“氦”是两个环，二者相互联结并扭转一次。

数月后，我们在美国洛斯阿拉莫斯国家实验室度过了暑期，利用世界上最快的超级计算机工作。我们使用的是超级计算机Cray-1，但超级计算机的设计者们为它起了一个更具先见性的名字是“X机器”。在常驻计算机图形学专家梅尔·普鲁伊特（Mel Prueitt）的帮助下，我们终于制作出了扭曲的卷轴环的图像，清晰地揭示了扭曲的奇点，基于抽象的数学基础，我们知道奇点一定会穿过它的中心。看到图像时，温弗里和我都赞叹不已，仿佛最终遇到了一位远在国外的亲密网友，而在此之前我们仅仅朦胧地想象过他的面庞。

接下来的20年里，人们对螺旋线和卷轴波的兴趣呈现出了爆炸式增长。化学家们更细致地测量了B-Z反应，使用计算机辅助视频记录，他们发现，螺旋线并非总是绕着一点旋转，而是经常迂回前进。螺旋波的内侧可以沿着圆形旋转，或勾画出花卉图案，甚至胡乱地游荡。数学家们立刻对这些结果展开研究，急切地解释了它们源于非线性动力学的不稳定性。

在上述所有研究中，最重要的研究仍然是心律失常。一些心脏病专家在实验中证实，螺旋线和卷轴波会导致心动过速，虽然它们导致室上颤动的原因尚有争议。最有可能的嫌疑对象是蜿蜒的螺旋波，一条螺旋线会瓦解为许多条，还有三维卷轴波的不稳定性。一些心脏病学家和数学家团队紧张地投入到了这个问题的研究中，真正的肇事者可能很快就会被发现。

一直以来，温弗里始终不懈地追寻着卷轴波，以揭示它们在心律失常中所扮演的角色。他依然把大量时间花在了打结点和联结的可视化上；但现在他更关心它们的动力学特性，而不是我们当初共同探索的静态的几何形状。今天，我们拥有强大计算能力的超级计算机，他和他的学生模拟出了联结和打结的卷轴波的运动方式。它们的奇异线疯狂地抽打着，猛烈地翻腾着，同时，一条奇异线的一部分发出的波不断拍打另一条。然而，这些结构中的大部分都是非常稳定的；它们不会自发解开自己。从这个意义讲，它们是基石，就像量子物理中的基本粒子。它们是应激介质的场方程的局部基本解。它们必定十分重要。这就是温弗里从不放弃研究它们的原因。

温弗里还曾试图探寻（但没有找到）一个简单的规律，能够解释奇异线的滑行和翻转。即使有简洁的答案，也没人知道它是否与心律失常有关：到目前为止，在心肌中只发现了最基本的卷轴波，即没有打结点和联结的直卷轴波。无所畏惧的温弗里又回到了实验室的长凳上，他发明了针对B-Z反应的一种新的光学成像系统，希望捕捉到难以捉摸的粒子的快照。他获得了当之无愧的认可：1984年被授予麦克阿瑟天才奖，1989年被授予爱因托芬心脏病学奖，2000年被授予诺伯特·维纳应用数学奖。温弗里的儿子埃里克，也获得了麦克阿瑟天才奖——这是第一对父子共同获奖者，而我认识埃里克时，他就是个电脑高手。

温弗里对于耦合振子和同步科学的贡献繁多：当振子允许在空间中混合时所发生的奇妙现象；振子围绕着永恒点的自组织方式；在二维中产生螺旋线，在三维中产生卷轴波……在这几年里，科学家们将开始探索一种更普遍的连接形式，振子不再与普通空间中的邻居耦合，而是与一种神秘而强大的网络中的邻居耦合——这种网络只需要“六度分离”就可以连接我们所有人。

09
小世界网络：深层的无尺度结构

在约翰·瓜尔（John Guare）1990年拍摄的电影《六度分离》（Six Degrees of Separation）中，一位名叫路易莎的角色反复思考着生活在一个小世界中的奥秘：

我在某个地方看到，地球上任意两个人之间的间隔都只有6个人——六度分离。我们每个人都是如此。无论是美国总统，还是威尼斯船夫，都不例外。我们之间是如此接近，这让我既感到十分欣慰，又感到万分痛苦。因为你必须找到6个正确的人来建立连接。他们不是大人物，他们只是芸芸众生。雨林中的土著人、火地岛的居民、爱斯基摩人……最多通过6个人你就能联系到地球上的每个人。这是一个发人深省的思想……每个人都是一扇新的大门，打开后便进入到一个新的世界。

几年后的一个冬日午后，宾夕法尼亚州雷丁市奥尔布赖特学院的三个醉酒的兄弟会男孩得出了类似的结论：每一位美国电影演员最多需要4步就可以联系到凯文·贝肯(22)（Kevin Bacon），例如，查理·卓别林联系到贝肯需要3个人。卓别林在《香港女伯爵》（A Countess from Hong Kong）中与马龙·白兰度合作过，马龙·白兰度在《现代启示录》（Apocalypse Now）中与劳伦斯·菲什伯恩合作过，而劳伦斯·菲什伯恩在《银色快手》（Quicksilver）中又与凯文·贝肯合作过。兄弟会的男孩们认为自己做出了重大发现，于是联系了深夜脱口秀节目《乔恩脱口秀》（Jon Stewart Show）。节目组邀请他们在电视上玩了一次，随后游戏在互联网上传播，在大学生群体中引发了一场全国性的热潮。一个叫作“贝肯的先知”（The Oracle of Bacon）的网站，可以自动计算出凯文·贝肯和其他电影演员之间最短的关系链，这个网站被《时代》杂志评选为1996年十大网站之一。最高峰时，网站每天的点击量达到了两万次。

其他室内游戏很快效仿。1999年，“六度马龙·白兰度”成为德国的一种时尚，德国《时代周报》的读者们试图让一名沙拉店店主通过最短的熟人关系链联系上他最喜欢的演员马龙·白兰度。在热炒的莱温斯基(23)丑闻期间，《纽约时报》刊登了“六度莱温斯基”的大人物关系网，从比尔·克林顿，到萨达姆·侯赛因和辛普森，再到凯文·贝肯。

这一切似乎都很愚蠢，这里必定有重要的事情发生。作为社会性动物，我们已经迷恋上了连接。我们正努力让渗透到我们生活中的复杂网络有意义，这张网络影响范围巨大，我们只能隐约感觉到它的结构，而它的功能却让我们晕头转向。我们对全球化的结果感到困惑，互联网让我们迷失了方向，我们担心金融市场的道德败坏，我们恐惧恐怖组织带来的威胁。有时，我们的恐惧毫无根据，所谓的千年虫从未掀起过悲观主义者所预测的灾难性影响。但在1996年8月10日，俄勒冈两条电力线的故障却引发了连锁反应，导致美国11个州和加拿大的两个省停电，700万用户失去电力供应长达16小时。而电脑病毒“爱虫”，2000年5月4日通过互联网传播，造成了全世界范围内数十亿美元的损失。

科学本身也反映了网络时代的思潮。例如，随着“人类基因组计划”的完成，分子生物学的焦点已经从新基因的发现转向了对基因型网络的分析。传统上讲，基因组已被视为蛋白质结构的蓝图，而蛋白质反过来又充当了构筑生命必不可少的细胞结构和分子机器的基石。但如今我们认为，这种比喻太静态、太线性，像是旧时代的传统装配流水线。某些功能更重要的基因（所谓的调控基因）编码的蛋白质会改变基因的活性，控制基因的打开或关闭，形成电路和反馈回路。调控基因的功能以及细胞癌变时它的故障，现在都无法破译，直到我们理解了基因型网络的逻辑。

其他学科亦是如此，研究人员现在才开始解开复杂网络的结构，从简单有机体的神经系统到美国最大公司重叠的董事会，这些网络的规模经常令人望而却步。例如，基因组中的3万个基因，地球生态系统中的数以百万计的物种，地球上的数十亿人口，互联网上的100亿个网页。但问题远比这些还要复杂。即便给了我们这些系统的完整接线图——所有的节点（基因、物种、人）以及它们之间连接的列表，我们也不知道该计算什么。海量的数据压倒了一切。即便我们知道了我们在寻找什么，复杂网络的秘密仍然难以捉摸。

我们现在需要的是一套完整的思想体系：简单的、有组织的原则来指导我们走过数据的泥沼。如果历史可以作为指导的话，那么最敏锐的思想将来自数学。数学拥有特有的本质，对网络的数学研究超越了学科之间的通常界限。网络理论关注个体之间的关系以及相互之间作用的模式。个体的确切属性被淡化，甚至被抑制，以期望发现更深层次的规律。网络理论家会观察任何一个由相互关联的组件所组成的系统，并观察点连成线的抽象模式。重要的模式是事物间的关系结构，而不是点本身的性质。从这种更高的角度看，许多看似无关的网络，现在看起来也非常相似。

1998年，我和我以前的学生邓肯·瓦茨发表了第一个从宏观角度观察复杂网络的比较研究。我们的分析显示，网络中的节点无论是神经元还是计算机，无论是人类还是发电机，每个节点都通过中介人的短链连接到其他节点。换句话讲，“小世界”现象远不止是人类社会生活中独有的：这是在自然和技术中发现的不同网络的统一特征。从那时起，我们和许多科学家就开始探索：小世界连通性对传染病传播的影响，互联网的快速恢复能力，生态系统的稳定性以及许多其他现象。

复杂网络的研究只是更漫长旅程中的一个逻辑步骤，它是一种寻求自发秩序的科学。迄今为止的探索已经将我们从协调行为（一对相同事物的节律同步）的最原始方式带到了时间和空间上更复杂的舞蹈编排：从节律到混沌，从空间中的全局耦合到局部作用。下一步是转移到更一般的连接，这里的“邻居”是抽象意义上的，无须地理上的定义。正如非线性系统之间的空间耦合催生了一种新的集体行为——自组织的螺旋波和卷轴波，它不会出现在简单的几何形状中，复杂网络是当今科学界所面对的最神秘群体行为的自然环境。如果有一天，我们理解了生命如何从无生命的化学物质之舞中涌现，意识如何从数万亿个无意识的神经元中诞生，那么我们的理解肯定会达到复杂网络的深层理论层次。目前，这样的理论几乎是不可想象的，但至少我们知道该如何开始。我们需要掌握网络结构的规则，去学习如何自然地编制错综复杂的网络。确切地讲，我们第一次踏入这一领域的方法是去研究同步，研究蟋蟀为何齐声鸣叫。

◎　　◎　　◎

1994年秋，我开始了在康奈尔大学的教学工作，我的第一个“零活”是担任一个被称为“资格考试”的答辩教授。四名教授并排坐在一间空荡荡的教室里，参与答辩的研究生独自站在黑板前，只有一支粉笔可以用于为自己辩护。在半小时中，我们用数学题来盘问他们。他们只能心算，然后在黑板上写出答案。如果某个问题对他们而言似乎轻而易举，我们就打断他们，继续增加问题的难度，寻找他们的软肋。

我被分配负责考试的应用数学部分。我们计划测试四至五名学生，其中一人就是邓肯·瓦茨，瓦茨是澳大利亚人，身高约1.9米，带着自信的微笑，体型酷似“绿帽”兵(24)。出于对混沌理论的痴迷，瓦茨来到了康奈尔大学。在澳大利亚时，他主修物理，是澳大利亚国防学院的顶尖学生之一，曾参与角逐罗德奖学金(25)。

答辩委员会主席向我点了点头。“斯托加茨教授会首先提问。”我要求瓦茨在新月形区域中采用保角映射法求解拉普拉斯方程。其他几位教授瞪着我，显然这个问题是学生们不会研究的（我初来乍到，无从知道这些）。尽管瓦茨并未作过多思考，但是他噼噼啪啪地说了几分钟，说了些他在大学里如何研究保角映射。我意识到了自己的失态，主动想要提出一个不同的问题，但我的一位同事似乎很享受室内燃起的火药味，表示不同意更换问题，他要看看瓦茨会怎么办。

瓦茨逐渐摸索到了解决问题的方法，显然他已经忘记了标准解法，但不知如何却找到了一条通向正确答案的路径。瓦茨可能已经慌乱了，但并未表现出来。事实上，他给我们留下了一个有趣的奇怪印象。

几个月后，瓦茨的反应对我产生了意义，我注意到他实验室大门上贴着一张照片，照片中的瓦茨，双手挂在澳大利亚珀彭迪丘勒角一处70米高的垂直海崖上。我意识到，自己刚刚物色到了下一名博士生。

◎　　◎　　◎

我和瓦茨开始商量，为他寻找合适的论文项目。可选择的课题包括混沌激光器应用于私人通信或淋巴系统血管中的振荡问题。但无论是激光还是淋巴都没能打动我们。经过了半年的犹豫不决，我们俩都感到十分沮丧。

1995年，春光明媚的一天，我在神经生物学与行为系做了一场关于萤火虫同步的演讲，我的同事罗恩·霍利（Ron Holy）和他的学生正在这里研究蟋蟀的通信。我要强调的是，到目前为止，同步理论和任何实际生物实例之间的联系都少得可怜，而且还不清楚它们是否有效，也许设计一些关于蟋蟀群体行为的实验可以得到答案。一位叫蒂姆·福里斯特的博士后对此十分兴奋；他大学时主修数学，现在是生物声学专家。他给出了肯定的答复，乐于探讨雄蟋蟀如何策划规模巨大的合唱以吸引雌蟋蟀。他主动提出要抓一些“动物”，并自愿设计一套实验，使得我们可以测试自己的数学模型，甚至将我们引向新的数学模型。

瓦茨对这个项目非常感兴趣，于是每隔几天就与福里斯特会面。与此同时，我们幻想着要去尝试的实验。我们的梦想是同时测量所有蟋蟀的鸣叫，追踪它们每一秒趋于同步的进程：对于萤火虫或生物钟细胞以及其他生物振子群体的同类型实验都是前所未有的。另一个目标是测试相变，用温弗里和藏本由纪模型进行长期预测，但实证检验却从未做过。我们的计划是循序渐进地改变蟋蟀之间的耦合。在低耦合状态下，此时它们几乎听不到彼此的叫声，它们各自不同的先天鸣叫速率会阻止它们同步。就像跑道上那些不能待在一起的跑步者，因为他们的自身能力分布太广，如果耦合太弱的话，鸣叫速率快的蟋蟀会同速率慢的分开。群体会陷入喧嚣。另一方面，如果我们能逐渐增强蟋蟀间的相互影响（通过让它们的鸣叫更响或更长，或通过某种方式使蟋蟀更敏感），温弗里和藏本由纪的理论暗示我们，应该去了解耦合的临界值，即很多蟋蟀突然开始齐声鸣叫的突变处。

即使我们未找到相变，我们也希望记录下真实群体中彼此同步是如何突然发生的。福里斯特先前的导师进行的早期实验表明，单独的蟋蟀会随着其他蟋蟀的叫声进行调整。因此，如果它在准备鸣叫时听到了叫声，它会通过必要的修正使自己神经时钟提前。如果它在自己刚刚鸣叫之后听到了叫声，这表明它自己的鸣叫过早，它的神经系统会自动校正时钟，稍稍推迟下一次的鸣叫。通过这种方式，蟋蟀神经系统的工作非常像惠更斯的钟摆，负反馈产生了某种促进同步的变化。如果我们可以从许多只单独的蟋蟀中量化出它的鸣叫节律，并描绘出每一只蟋蟀如何调整自己的节奏以回应其他蟋蟀的鸣叫，那么数学便能够在很宽的条件范围内预测出它们的集群行为。

福里斯特建造了精妙的隔音小盒，每个盒子里面放一只蟋蟀。每个盒子里都有自己的小麦克风，以便将盒子内蟋蟀的叫声传到其他盒子，盒子里还有一个微小的扬声器来放大传入的信号。这种人为的实验设计使得我们可以控制相互作用强度。我们可以放大鸣叫声，也可以像我们期望的那样温柔地播放它。通过使用各种不同的连接方式将盒子连接起来，我们甚至可以控制让某只蟋蟀听特定蟋蟀的鸣叫。

◎　　◎　　◎

瓦茨一边思考着可选择的方法，一边开始考虑更普遍的连接。在现场，哪只蟋蟀听从哪只的鸣叫并不明显。总之，它们似乎是随机分散在树上，没有形成明显的模式。雄蟋蟀可能只响应最靠近它的竞争者，也可能收听所有蟋蟀的鸣叫。我们甚至并不清楚连接是否重要，或许它们在任何条件下都会同步。

1996年1月的一天，瓦茨走进我的办公室，他带来一个另类的想法——这是他研究方向的又一次变化。当瓦茨对连接想入非非时，突然想起了父亲曾经说过的话，我们与美国总统之间都只相隔6次握手。瓦茨很好奇这种说法的真实性，果真如此的话，那么它对于世界的连接方式又意味着什么？

“是的，”我说，“我听说过六度分离理论。这是一个乔装的数学问题，等待着用公式表示。”

“但这不是全部，”瓦茨继续说，“六度分离理论与我们正在研究的蟋蟀奥秘有关。假设生物振子网络按照这种方式连接，每个振子之间都相隔几次握手，这会影响群体走向同步的方式吗？每个振子都紧密连接，群体会快速而又轻松地实现同步吗？系统还会像藏本由纪模型一样，随着耦合强度增加而出现相变吗？”

“没人知道这些问题的答案，”我对瓦茨说，“我们从不研究那种网络。”这就是他的观点。振子理论家们一直认为，他们的网络是完全规则的，像晶体中的原子一样有序。温弗里、佩斯金、藏本由纪都已经用最大连通性建立了模型，每个振子都与其他所有振子耦合。没有哪种网络可以更密集地连接；没有哪种结构会更简单。在这些模型后来的扩展中，数学家将那些振子首尾相接连成了一条长链，或对称地放置在方格或三维点阵的角落。类似这种规则的几何形状对于解释物理学和工程学的问题是合理的，例如，在约瑟夫森结阵列中，超导振子故意行列整齐地制造。甚至在连续的介质中，例如装满别洛索夫-扎鲍廷斯基反应的烧杯中，连接仍然是规则的：化学物质主要朝最近的邻居扩散。

另一方面，对于大脑中神经元的缠绕，格子和点阵显然是不合适的。此处的细胞广泛连接到邻近的细胞，而且还在穿越皮层的中途发出长距离的纤维。更好的几何模型应当包含一种更松散、更轻松的结构，它是一种有序和无序的大杂烩，具有群集的局部连接和随意的全局连接。或许蟋蟀也是如此。一个完整的新类型的振子网络或许正在等待我们去发掘。

我对此是持怀疑态度的。规则网格上的耦合振子已经十分难以应付，分析这些新的混合网络自然更加无望。但我喜欢瓦茨的主动精神，并不想扼杀它。

当我们开始四下议论瓦茨的想法时，我开始逐渐领会他更重要的观点。同样的问题也必然会出现在其他类型的动力学系统中，并不只是耦合振子而已。每当非线性元素被连接在巨大的网络中时，接线图便至关重要。这是一个基本原则：结构总是会影响功能。社交网络的结构会影响信息和疾病的传播；电网的结构会影响电力传输的稳定性。生态系统中的物种也是如此，全球市场中的公司，活细胞中的酶级联反应，都遵循这一原则。网络的布局会深刻塑造其动力学特性。

然而，理论家们通常都会绕开连接问题。当他们不再假设不切实际的规则排列时，便走上了另一个极端，建模成完全随机的连接。例如，1969年，理论生物学家斯图尔特·考夫曼（Stuart Kauffman）提出了一个理想化的基因网络模型，模型中每一个基因被其他两个基因的产物调节，而这两个基因是从基因组中随机选择的。之所以这样设计，并不是因为考夫曼相信实际情况真的如此，但由于1969年时我们对基因网络的连接方式一无所知，随机假设是一种无可奈何的方法，是在没有任何信息情况下的无效假设。数学流行病学家经常求助于相同的假设，他们会假设，被感染者随机与易受感染者混合，尽管对许多种疾病（尤其是性传播的疾病）而言，接触网络不可能是随机的。与规则网络类似，随机网络是十分诱人的理想化网络。理论家们沉迷于这种网络，并不是因为它们逼真，而是因为它们最容易分析。

到了1996年，规则网络与随机网络的二重唱开始看上去愈发不合理。所有互联网用户都感觉到互联网既是一种模式，又是一座迷宫，网页链接总是指向相同话题的其他网页，但偶尔也会偏离到特殊的岔道。艾滋病病毒和埃博拉病毒表明，传染病主要在密集的社区内传播，而且还借助飞机传播。所以瓦茨现在提出涉足到未知领域，走向有序和无序的边界是合适的。

◎　　◎　　◎

我们开始尝试想象一个“中间”网络可能的样子。最简单的方法是选取一个规则的网络，平滑地将其转化成一个随机的网络，这或多或少有点像好莱坞变脸特效，就像迈克尔·杰克逊的唱片《黑或白》（Black or White）中那样。例如，在变换的中途，我们会挑出原网络中一半的连接，删掉它们，并用相同数量的连接散落在随机的节点对之间。由此得到的网络与原网络仍然拥有相同数量的连接，但它是半随机、半规律的。或者我们不重新连接半数的连接，而是选择0和1之间的其他数字。通过输入任意期望的重新连接数量，我们可以逐步在0（得到的仍然是原网络）和1（得到的是完全重连的、无序的网络）之间调整网络。

举一个具体的例子。请想象将60亿个节点排成一个环，这些节点代表计算机、神经元、人以及其他任何组件。假设每个节点都恰好连接了1 000个邻居：500个结点在它的右侧，500个在它的左侧。这是一个极度有序的网络，一个完美对称的环结构。在这个阶段，调谐器设置为0，作为谱线的固定端。现在从0开始慢慢转动旋钮，逐渐改变网络形态。一些边开始被打破并重新组合。随着变形的继续，越来越多的边变成了随机连接，这削弱了原始环点阵的对称性，同时部分打破了其完整的结构。

我们引入两个统计数字，以量化网络不断演化的结构。其一是“平均路径长度”，它将分离度可视化。为了计算它，我们选取任意节点对，清点它们之间路径长度的边的数量；然后在其他节点对之间重复上述过程，然后计算得到的路径长度的平均值。

对原始状态的环来说，这种计算很容易，特别是当你将网络描绘成社会时，此时节点代表人，边代表朋友关系。这个假想的世界（“环形世界”）有几分像我们自己，因为我们也有60亿人，但除此之外，它是一个完全陌生的世界。它的居民注定要生活在异常严格的条件下，大家肩并肩地站在一个巨大无比的圆环上。然后，我们让每个人与他左侧的500人交友，然后再与其右侧的500人交友，但不允许他们与其他人交友。这样的世界中不会有六度分离，而是高达300万度的分离。

要知道为什么，请想象你与圆环上距离你最远的人之间的路径长度，就是远端与你径直对面的那个人。为了通过最短路径联系到他，你要联系你的第500个朋友（距离目标最近）。从那个人开始，最快路径是再次跳过中间的人，直接跳到那个人的第500个朋友，以此类推，每隔500人在圆环上跳跃前进。整个旅程需要30亿除以500，即600万步，但这是最遥远的目标。对于最近的目标——站在你身旁的人，只需要一步。所以平均起来，你和他人的距离大约为300万步，即300万度的分离。

在谱线的另一端，当变形结束，网络已完全随机时，计算同样直截了当。现在很显然，每个人与其他人之间只相距4步。想知道其原因，我们需要了解指数级增长。在随机世界中，如果你认识1 000个人（平均），他们每个人都认识1 000个人，这意味着有100万（1 000×1 000）人与你相隔2步以内，10亿人相隔3步以内，1万亿人（这个数字已经远远超过地球上的总人口）相隔4步以内。

以同样的论据推算我们自己的世界是很诱人的，这可以解释我们为何都是六度分离，但在真实世界里，论据不再有效。它忽略了真实的朋友圈会重叠的事实——你朋友的朋友很可能也是你的朋友，他们被计算了两次。

对于一个假想的网络，网络的稀疏和稠密完全随机，然而，计算却是有效的，因为朋友圈的重叠在这个例子中微不足道。你从巨大的60亿个样本中随机选择1 000人，你的朋友也是如此，结果证明，此时重叠的概率只有六百万分之一，所以基本上没有重复计数。当然，这样的世界是很奇怪的。你很可能认识喜马拉雅山上的农夫、威尔士亲王或者你的邻居。你的朋友会分散在各个大陆、各个阶层、各个种族、各个宗教。在一个没有重叠的世界中，没有社会结构，没有家庭，没有社区。

这一论点突出了理解更普遍意义上的重叠的重要性。网络中重叠的平均数量通过第二个统计量进行量化，这个统计量就是“集群”（clustering），集群的定义是连接到同一节点的两个节点彼此互相连接的概率（就人而论，即朋友的朋友彼此也是朋友的概率）。在上文讨论的两种极端模型中，集群的变化范围相当大，初始圆环的集群高达0.75，随机网络的集群则低至六百万分之一。

为了计算出0.75这个数字的来源，你需要意识到，圆环中你和你身边的人的所有朋友几乎都是相同的（精确地说，是1 000个朋友中的998个都相同），你和与你最亲近的那个人的朋友重叠率几乎等于1。另一方面，和你最遥远的朋友，即距离你500步的那个朋友之间，你们仅仅共享大约一半的朋友（他们是圆环上碰巧被夹在你们中间的499人），所以你与最遥远的人的重叠率是499/1 000，约等于1/2。对于其他介于最近和最远之间的朋友，重叠率从1/2平滑地变成1，平均数为3/4，这就是集群为0.75的由来。下一步，我们可以应用类似的、但稍容易的推理来计算随机连接的情况，集群的推理结果应该等于六百万分之一。如果你充满好奇心，计算它会是一件很有乐趣的事情。但请你不要迷失在这些细节中。这里的关键点只是平均路径长度，随着我们将网络从谱线的一端变换到另一端，集群几乎变化了数百万倍。

虽然平均路径长度和集群这两个统计量的数值因一个相似因素而下降，但是它们体现了网络体系结构中非常不同的侧面。平均路径长度反映了全局结构；它取决于整个网络的连接方式，这无法从任何局部测量推断出来。集群反映了局部结构，它只取决于典型的邻居之间的相互连接，节点之间的关系纽带连接到了一个共同的中心。粗略地讲，平均路径长度决定了网络的大小，集群决定了裙带关系的强弱。

◎　　◎　　◎

到目前为止，我们已经分析了网络频谱的两个极端。但是我们仍然不清楚中间发生的事情。两个端点告诉我们，变换通过某种方式使圆环大大收缩，并破坏了它的集群。我们尚不知晓的是，这种变化是渐进的还是突发的。瓦茨和我都不知道如何用纯数学来解决这个问题，所以我们用电脑模拟巨大但可控范围内的网络变换，我们从有1 000个节点、每个节点有10条边的原始环开始。为了描绘出中间地带的结构变化，我们将平均路径长度和集群作为随机重连的边所占比例的函数，绘制出了它们的函数图像。

我们发现的结论十分惊人。即便是最微小的随机性也会使网络大幅收缩，导致平均路径长度开始暴跌。仅仅1%的重连（意味着每100条边中只有1条是随机的），平均路径长度就从原始水平下降了85%。进一步的重连只有极小的影响；曲线慢慢地下降到了一个平稳状态，表明网络已经收缩到了它所能达到的最小水平，仿佛它是完全随机的。与此同时，集群几乎没有任何变化。对于1%的重连，集群只下降了3%。连接从秩序井然的临近街坊中间被拉了出来，然而，集群几乎不受影响。只有在变换的晚期，平均路径长度塌缩很久以后，集群才开始显著下降。

我们可以很直观地解释这些结果。在变换开始时，最先重连的边充当了网络中相距遥远部分之间的捷径。它们之所以会打破平衡，是因为一种强大的非线性效应：它们不仅把两个节点连到了一起，而且把整个世界拉到了一起。例如，我喜欢在网络国际象棋俱乐部在线下棋，在那里，我同荷兰一家杂志社的编辑艾米洛成为朋友。由于这个捷径，我同他接近了很多，而且也同其他成千上万的荷兰人接近了很多，包括他所有的朋友，以及朋友的朋友。尽管我的朋友并未意识到，但实际上通过我和艾米洛创造的捷径，他们已经同艾米洛和艾米洛的朋友们更接近了。这座桥梁发挥了巨大的作用。

在我们的模拟中，最初的新捷径大大缩减了世界的规模，但对集群的影响要小得多。这意味着对于局部而言，变化成小世界是基本无法被检测到的。如果你经历了变换，你的直接邻居根本不会告诉你世界已经变小了。你的朋友数量仍然相同，这与他们是否将你连接到了更大的圈子完全无关。在这样的世界里，人们可能会认为不会受到类似艾滋病这样的疾病的威胁，他们的理由是：他们的性伴侣都不在高危人群中，然而在现实中，他们或许只与艾滋病病毒携带者相隔一两步。

这种模拟最重要的结果是，在重连过程中的广阔中间状态中，模型网络集群性很高，同时规模又很小。这种奇特的组合在数学上是新奇的。在传统网络中，规模大小和集群密切相关。随机网络规模很小，集群性很低；规则网络规模很大，集群性很高。重新连接的网络却设法让规模小和高度集群二者同时发生。

我们将拥有这对看似矛盾属性的网络称为“小世界网络”，人际关系之间也存在与之极为相似的矛盾，我们在紧密的圈子中运动，而全世界的人却都被非常短的关系连接到了一起。现在的问题是：大自然能否利用这种网络结构的特殊形式？如果能的话，目的又是什么？

◎　　◎　　◎

我们的模拟表明，小世界连接可能广泛存在于真实网络中，因为只需要有一小部分的捷径就足够了。为了验证这种假设，我们需要实证的例子，但这并不容易寻找。任何一个备选的例子都必须具备充分的特点，它的接线图的每一个细节我们都必须了解，每个节点和边都必须有翔实的记录，否则我们无法计算集群和平均路径长度。

此时，我想到了自己一年前在混沌课程中遇到的学生裴昆艺（Koeunyi Bae），裴昆艺曾做过一个关于美国西部电网的项目，项目里大约5 000座发电厂通过高压输电线连接在一起，输电线横跨落基山脉西部，进入加拿大西部的省份。裴昆艺和她的导师吉姆·索普为瓦茨提供了数据。数据包含了大量的详细信息，这些信息对工程师至关重要，例如输电线的耐压容量，节点按照变压器、变电站或发电机的分类等，但我们忽略了除了连接以外的一切信息。网格变成了一个个点通过边连接的抽象模式。为了检查电网是否是小世界网络，我们将它的集群和平均路径长度与具有相同数量的节点和边的随机网络进行比较。正如预测的那样，真实网络几乎与随机网络规模一样小，但是集群要高很多。具体而言，其平均路径长度仅是随机网络的1.5倍，而集群则是随机网络的16倍。

接下来，让我们从技术网络转向生物网络，我们来观察一种被称为秀丽线虫的小蠕虫的神经系统。对于这种卑微的生物，我们了解得比其他动物更多，甚至超过遗传学家的果蝇和肿瘤科医生的小鼠。秀丽线虫是一种透明的、土壤生的线虫，体长仅1毫米。我们已经绘制出这种蠕虫的全部959个细胞从受精到死亡每个阶段的图样。早在1998年，对秀丽线虫的全基因组测序就已经完成。这种生物看起来深奥，但对它的研究已经阐明了几个基本的细胞过程，从细胞死亡，到细胞信号传导，再到神经轴突导向，所有这些都是由蠕虫生物学家率先发现的，后来证明对人类有意义。这正是为什么人们十分关注秀丽线虫的原因：它或许是与人类共享诸多必不可少的生命过程的最简单的生物。

对我们而言，秀丽线虫的吸引力是它的神经系统已经被完全描绘出来，这是在任何其他生物上都尚未实现的壮举。事实上，秀丽线虫的302个神经元的接线图都存储在了电脑上。和电网一样，我们将神经元视为完全相同的（尽管生物学家区分出了118种不同类别的神经元），如果两个神经元被突触（化学连接）或缝隙连接（电子连接）联系起来，我们就认为这两个神经元是相连的。

结果证明，由此产生的抽象网络又是一个小世界。它的平均路径长度仅比对应的随机网络长18%，而它的集群却是随机网络的6倍。这意味着什么我们还不清楚，或许是较短的平均路径长度有利于生物全身的快速通信，尽管高度集群可能反映了反馈回路的存在和神经系统中的模块化结构。

电网和神经系统是两个完全不同的网络：一个由人类创造，另一个是进化而来。一个是有史以来建造的最庞大的机器之一，由成千上万公里的电缆连接的同步发电机组成的庞大网络；另一个是显微镜下的精致物品，数百万年的自然选择的产物，蜷伏在蠕虫身体中的网络。虽然二者差异巨大，但是它们的结构却惊人的相似。二者都达到了可能的最小规模。二者都是高度结构化的，绝不是随机的。诚然，我们的近似假设模糊了对这些研究结果的解释力——两种网络的小世界结构可能与它们的功能无关，因此毫无意义。但时间会说明一切，至少从现在来看，这种巧合是诱人的。

◎　　◎　　◎

社交网络似乎也是小世界，尽管我们没有意识到任何超越趣闻轶事的证据。特别是，我们想知道，六度分离的概念是否基于可验证的真实数据。或许它只是坊间传言而已。约翰·古尔自己无从知道，他认为它可能是来自无线电报的发明人古列尔莫·马可尼（Guglielmo Marconi），退回到那段岁月里，马可尼用电报站连接了整个地球。如果没有真实的数据，我们无法确定我们的理论是否像我们所预测的那样广泛适用。它也像适用于电网和神经系统一样适用于人类的社交网络吗？

与洛克菲勒大学的数学生物学家乔尔·科恩（Joel Cohen）的一次谈话最先给了我们指引。科恩用网络理论来模拟生态食物链的结构。当我提到，我们正在试图探究六度分离的理论基础时，他说：“你的意思是小世界问题吧。”科恩让我参考斯坦利·米尔格拉姆的经典作品。

1967年，哈佛大学社会心理学家米尔格拉姆设计了一个实验，以测试美国社会是更像一群毫无联系的孤岛，还是更像一张巨大的连锁网络。实验的目的是跟踪随机选择的美国人之间的一系列相识的人。米尔格拉姆给了人脉链起点的那个人一个文件夹（那是一个令人印象深刻的小册子，有点儿像护照，上面印有哈佛印章），里面有命令，将它送给指定的目标人物，但又有一条要求：“如果你不认识目标人物，不要企图直接联系他。而是要将这个文件夹送给看上去比你更了解目标人物的熟人，这个熟人必须是你能亲密到直呼其名的程度。”这样，文件夹便会在熟人之间传遍全美国，渐渐接近目标。为了开启关系链，米尔格拉姆招募来自美国中西部的志愿者，他后来解释道：“作为一个自然的开始，我认为最好选择遥远的城市作为起点，例如堪萨斯州的威奇托或内布拉斯加州的奥马哈（从坎布里奇看去，这些城市似乎隐约‘在外面’，在大平原或某处）。”内布拉斯加州的实验涉及160名起始者，所有人都试图接触到相同的目标人物，目标人物是一名股票经纪人，住在马萨诸塞州的沙仑，在波士顿工作。当时，米尔格拉姆不相信任何一条关系链会成功，也不知道它们会需要多少步才能成功。“当我问一个聪明的朋友，这个实验需要花费多少步时，他估计从内布拉斯加到沙仑至少需要100步以上。”米尔格拉姆写道。

实验的结果让人大跌眼镜：44个文件夹只通过2～10名中间人就成功传递到目标人物手中。中间人的中位数是5，对应链条中的6个节点——即流行的“六度分离”中的数字。其他关系链没有成功，是因为有些人不愿意合作并放弃传递文件夹。

正如这些有趣的结果显示，它们仍然是不确定的。这些关系链可能都不是最短的，因此真正的平均路径长度无法估计。它甚至可能是无限的：可能有生活在不可逾越的社交圈子中的两个人，他们之间没有关系链。如果没有更多关于网络局部连接的信息，我们就不可能计算它的集群。要回答这些更详细的问题，我们还是需要找到一个社会网络，其特征被完全描绘出来，每个节点和边都有不容置疑的记录。

数学家们曾打趣地开始了一次这样的枚举，他们的圈子以匈牙利学者保罗·厄尔多斯为中心，厄尔多斯在日常生活的各个方面都完全不称职，他甚至不会（或是不愿意）在自己的吐司上抹黄油。然而，厄尔多斯却拥有20世纪最丰富和最具创造性的数学头脑。他喜爱安非他明（一种合成的兴奋剂），拎着他那破旧的手提箱漫游世界，他会出现在你的家门口，并宣称“我的大脑是敞开的”，这意味着他准备好了帮你解决数学问题。

厄尔多斯与许多人合作过，所以数学家之间计算各自的“厄尔多斯数”成为流行的游戏。如果你是少数几个有幸同厄尔多斯一起撰写过论文的人之一（这类人有507位），你的厄尔多斯数即为1。如果你并未同厄尔多斯一起写过论文，但你同和他一起写过论文的人写过，那么你的厄尔多斯数为2。数学界的笑话是，谁的厄尔多斯数会大于等于2。有一个网站列出了所有厄尔多斯数为1或2的幸运者，但没有列出厄尔多斯数为3的人。因为厄尔多斯数为3的人是海量的。我就是其中之一。如果没有完整的名单，我们就无法计算这个社交网络的平均路径长度和集群。结果证明，人类社交网络难以捉摸到了让人崩溃的地步。

每当我们向外行描述自己的工作时，他们总会问起凯文·贝肯游戏。我们总是付之一笑，但现在我们看到了摆脱窘境的机会。电影演员的网络可以是社交网络的替代品。社交网络通过友谊连接，演员的网络则通过电影连接。我们可以将在同一部电影中出现的两位演员视为相隔一步。如果二人没有合作过，但拥有一名共同的合演者，那么他们相隔两步，以此类推。虽然有点儿异想天开，但这种网络非常便于理解。互联网电影数据库中几乎包含了每一部电影中的演员。另一方面，它的规模同样也会导致一个问题：1997年4月，该网络包含了100万名演员中的近1/4，所以计算量是巨大的。即使是世界上最大的超级计算机之一——康奈尔的超级计算机也难以处理内存中所有的数据。

幸运的是，弗吉尼亚大学的计算机科学家布雷特·查登（Brett Tjaden，亦称贝肯的先知）已经花了几个星期来计算任意两名演员之间的最短路径。他发现，网络有一个有趣的全局结构。它被一个巨大的、相连的部分（被称为“巨大的组件”）所支配，90%的演员都位于其中，包括凯文·贝肯和你所听说过的所有演员。但它也包括少数几个小岛，零星的默默无闻的演员被从主流演艺圈中切断开来。例如，一个人和他的朋友们在电影学校中参演了一部电影，但他们都没再参演过其他电影。

利用查登的数据，瓦茨计算出在巨大组件中任何两名随机选择的演员都是分离的，他们平均仅仅相隔3.65部电影：这个小数字令人印象深刻，因为演员数据来自每个国家、流派以及从无声电影到现代电影的不同时代。如果网络已经完全随机，相应的数字会更小，但不会小很多，是2.99。另一方面，集群则非常大，是0.79，大约是随机网络的3 000倍。

因此，我们再次看到了相同的二元矛盾：短路径长度和高度集群，是小世界网络的鲜明特征。无论什么原因，或许是运气，抑或是更深层次事物的暗示，我们现在看过的三个网络（它们并非是仔细挑选的）结果都被证明是小世界。这种相似性在网络的不同规模和科学来源之下显得特别突出。我们开始感到，小世界网络可能是非常普遍的。

顺便说一句，这种分析也将凯文·贝肯推下了神坛。他在触角最广的演员榜单中名列第669位，参考的是他同巨大组件中的所有演员之间的平均分离度数。通过这项测试，好莱坞的中心是罗德·斯泰格尔（Rod Steiger）。出乎意料的是，分列二三名的是克里斯托弗·李（Christopher Lee）和唐纳德·普莱森斯（Donald Pleasence），二人都以他们在低俗的恐怖片中的角色闻名。

◎　　◎　　◎

我们已经证明，小世界网络不仅存在，而且甚至可能是无处不在，我们仍然需要解决瓦茨最初提出的问题：小世界中耦合振子的同步会比它们在传统的规则网络中更稳定吗？还是相反？在早期开发变换模型的帮助下，这个问题最终一定会解决，至少是在理论上解决。网络中的每个节点现在都代表一个自激振子——一只唱歌的蟋蟀，一只闪烁的萤火虫，一个起搏器神经元，节点之间的边会反映出相互作用的模式。

这类模型中最简单的模型之一先前被藏本由纪和他的同事坂口修治（Hidetsugu Sakaguchi）和篠本茂（Shigeru Shinomoto）研究过。他们将相同类型的振子考虑成最初时藏本由纪模型中的振子——固有频率分散的相位振子，在正弦波的作用下彼此耦合。请思考一屋子人通过加快或减慢鼓掌速度，实现一齐鼓掌的情况。这取决于他们相对于集体鼓掌的时机掌握，他们要试图克服各自不同的鼓掌速度，整个过程经历了从庄严到狂热的演进。但不同于原来的藏本由纪模型，原来的模型中振子是彼此间全部耦合的，日本物理学家们现在假设了一个连通的环，振子放置在圆环上，每个振子与两侧相邻的固定数量的振子耦合。设想一个圆形的竞技场，例如足球场，每名球迷只听邻座几人的声音。藏本由纪和他的同事们发现，不相似的振子组成的环不易实现广泛同步；它倾向于分裂成许多由邻近振子组成的小组，每个小组中的所有振子都以相同速度振荡，但每个小组的振荡速度都不相同。体育场内的不同位置现在正在以不同的速度鼓掌。

我们想知道重连圆环是否可以提高其同步能力。正如早期的模拟中，我们将其中一些原始连接转换为随机连接，将圆环格子向随机网络的方向变换。这就好像有些球迷有手机，可以听到球场中遥远的观众的掌声，而他身边的同伴则无法知晓。我们发现，这些捷径中的一小部分——在1 000个振子组成的圆环中大约占1%～2%，它们戏剧性地改变了整体的动力学特性。系统自发地从狭隘的纷争走向了全局的共识。现在所有振子将它们的节奏锁定到了一个折中频率。

虽然我们无法看到如何在数学上解释这些结果，但是一个直观的解释可以起到暗示作用：这些捷径提供了高速通信通道，使得相互影响迅速传遍整个群体。当然，相同的效果可能已经实现了，方法是将每个振子直接与其他所有振子连接起来，但如此一来，连线的成本要高很多。小世界网络显然更有效地促进了全局协调。

同理，或许小世界网络在其他环境中也具有优越性，即信息需要迅速流过巨大的复杂系统的场合。我们下一步研究的案例是计算机科学中的一个经典难题，叫作“一维二元自动机的密度分类问题”。用简单的语言描述，想象1 000个灯泡组成的圆环。每个灯泡不是开就是关。下一时刻，每个灯泡观察它左右两侧的邻居，并使用某种明智的规则（需要确定）决定下一轮灯泡是开还是关。难点在于，设计一个规则使得网络去解决某个特定的计算任务。这问题起初听上去十分容易：就是决定大部分灯泡初始状态是开还是关而已。如果半数以上的灯泡是开着的，规则的重复执行应该会把整个网络驱动到最终状态——所有灯泡都开启。反之，如果初始时多数灯泡都是关闭的，那么最终的状态应该是所有灯泡全灭。

如果有中央处理器，这个谜题微不足道，天空之眼能够查看整个系统，清点出灯泡初始状态的开关个数。但请记住，这个系统是分散的。灯泡没有全局意识。灯泡都是近视眼，我们假设它们只能看到两侧的邻居。这就是使这个谜题如此具有挑战性的原因：利用局部规则，系统如何解决本质上是全局特性的问题？

这个难题抓住了所谓“集体计算”的本质。请想象一群筑巢的蚂蚁。一只蚂蚁不知道蚁群在做什么，但它们在一起的表现就像具有思维一般。或者回忆亚当·斯密提出的“看不见的手”的概念，如果每个人都进行局部计算，都以自身的利益行事，整个经济将演化到一个对所有人都有利的状态。这里，在密度分类问题中，类似（但简单得多）的问题可以在一个理想化的、很容易控制的环境中进行解决。我们面临的挑战是制定一个规则，使得网络可以在任何初始环境下，确定大多数灯泡的初始状态是开还是关。网络允许运行的步数等于网络长度的两倍。如果有1 000个灯泡，那么该系统在必须作出判决之前允许执行2 000步的局部规则。

没人能找到屡试不爽的规则。保持世界记录的规则的正确率是82%，也就是说，它在规定步数内正确区分出了82%的“开更多”或“关更多”的初始条件。或许，你想尝试的第一条规则是多数决定原则，即每个灯泡都模仿它局部邻居中占多数的状态，但这个规则完全不奏效。网络锁定到了一个条纹状态，成片开启和关闭的灯泡仿佛十指交叉。这个结果是不可接受的，就像陷入僵局的陪审团一样。网络应该收敛到一致的裁决，所有必须灯泡非开即关。

我和瓦茨猜想，灯泡的小世界网络相比于原始的圆环点阵或许能更有效地解决问题。将其中几条边转换为随机捷径或许会使相距遥远的灯泡迅速交流，这样便可防止陷入条纹状态。我们研究了多数决定原则作用于带有各种不同的随机重连圆环网络上的表现。正如所料，当重连很少时，多数决定原则仍然无效；系统与原始的环没有什么区别，一次又一次地陷入僵持不下的条纹状态。当我们增加重连数量时，在较少步数内，网络的表现仍然很差，然后在某一特定的阈值处突然爆发——平均起来，大约在每个灯泡都有一条来自它的捷径时。在这个规则中，多数决定原则开始表现得很出色，正确分辨出了约88%的初始环境。换句话说，在一个智慧的结构中（小世界）运行的愚蠢规则（多数决定原则），其性能已经打破了世界纪录。

一旦网络的接线图以某种微妙的方式改变，它便自发拥有了计算能力。其含义是，对其他集体计算问题而言，小世界结构可能是一个强大的设计，即便是简单的局部规则，也会赋予小世界惊人的力量。因此，我们有理由推测，进化可能会将小世界网络的结构应用于生物神经系统的设计。

◎　　◎　　◎

小世界网络连接的重要性在传染过程中表现得更清晰。任何可以传播的东西——例如传染病、计算机病毒、想法、谣言，都会更容易、更迅速地在小世界中传播。不太明显的一点是，世界变小仅仅需要几条捷径而已。

艾滋病在北美洲的传播悲剧性地阐明了捷径覆盖范围的可怕，我们认为，零号患者加速了艾滋病的传播，他是一名性行为不检点的法国裔加拿大空中乘务员，他走遍了世界各地，经常光顾旧金山、洛杉矶、温哥华、多伦多以及纽约的洗浴中心。在最早感染艾滋病的248人中，至少40人与零号患者本人或与他先前的性伴侣发生过性关系。

同样，英国的流行病学家注意到了口蹄疫疫情爆发中的一个惊人的新传播方式，口蹄疫是一种具有高度传染性的病毒，会侵害牛、猪、羊等偶蹄动物，会对畜牧业造成毁灭性的经济损失。在1967年的一次爆发中，该疾病主要通过空气中的粒子扩散传播（但是它也可以由鸟类和动物携带，甚至存留在鞋子和衣服上）。在近2 000个病例中，95%以上位于爆发源的100公里内。相比之下，英国的疫情已经蔓延到了500公里以外。这种差异被认为是农业综合产业的变化，特别是遥远的经销商和市场之间日益增加家畜运输的结果——这就是口蹄疫的传播捷径。该病毒已经从英国蔓延到了爱尔兰、法国和荷兰，仅2000年，34个国家报道爆发了疫情。虽然口蹄疫尚未传入美国（截止本书写作期间），而且自1929年以来尚未袭击美国，但是我们没有任何理由自满。正如两位评论家所说：“我们不只是生活在‘地球村’，还生活在地球农场里。”

互联网上的计算机病毒和蠕虫病毒的传播同样展示了小世界网络连接的效力。请想想蠕虫病毒，它会自动转发给受害者电子邮件列表中的每一个人。鉴于互联网社会可能会聚集成紧密的、内向型的朋友圈和同事圈，蠕虫在几天内就感染了世界上海量的计算机；人们或许曾预测它仅仅在狭窄的社区内无休止地循环。据推测，一些远程连接，使蠕虫病毒能够从一个社群跳跃到另一个社群。

好消息是，在我们的日常生活中，捷径也有有益的用途。在20世纪60年代末，社会学家马克·格兰诺维特（Mark Granovetter）询问了数百名专业人员和技术工人是如何找到工作的。他回忆起了一次电台采访：

我在采访他们是如何找到工作时发现，他们经常通过个人关系找工作，我感兴趣的是这些联系人是谁，信息是如何流动的，以及为什么信息会流动。我会经常问这些人：“你是从朋友那里得到信息的吗？”他们不停地纠正我，说：“不，不，只是熟人而已。”不久后我便意识到，在人们不断这样说的背后一定存在规律性的东西。最根本的想法是，你的亲密朋友在各方面都对你很好，给你支持，当你伤心时帮助你，做其他人不愿意为你做的事情，但是作为信息的来源，他们却不太好，因为你好友认识的人经常也是你认识的人。而那些只是熟人的人，如果你陷入绝望，他们可能不会帮你，但他们却是更好的信息来源，因为他们认识很多你不认识的人。他们才是你在世界上的窗户，因为他们将你连接到了不同的圈子中。

具体来讲，格兰诺维特发现，56%的人通过个人关系找到了工作，其中只有17%的人表示他们经常联系（他们可能一直是好朋友），而55%的人表示他们偶尔联系，28%的人表示他们很少联系。格兰诺维特发明了一个值得纪念的短语，以描述一个人惯常圈子之外的社交关系的重要功能。这篇现已成名的论文的标题为《弱关系的力量》。

◎　　◎　　◎

当我和瓦茨探索小世界网络及其可能的影响时，另一个团队也在沿着类似的路线思考。在美国圣母大学，拉斯洛·巴拉巴西(26)（Laszlo Barabasi）和他的学生雷卡·艾伯特（Reka Albert）、郑夏雄（Hawoong Jeong）正在剖析互联网，在由超链接连接起来的10亿个网页构成的眼花缭乱的丛林中寻找规律。他们发现的东西居然被证明是一大类自然和人工网络的另一种组织原则。

巴拉巴西是一名充满活力的年轻物理学家，带着讨人喜欢的特兰西瓦尼亚口音，拥有提出正确问题的天赋。他接受过统计力学训练（物理学的一个分支，处理原子以及其他粒子集合组成的庞大系统），拥有解开传统物理学范围以外谜题的新工具。巴拉巴西和他的团队指出，互联网不仅是一个小世界，而且在对互联网的剖析中展示了一种新模式。有些页面比其他页面的联系更密切，内部和外部的链接数量也超过了平均值。这一点也不奇怪：任何群体都必定包含一些位于谱系两端的异类。但令人惊讶的是分布的形状。它不是我们熟悉的钟形曲线（例如人类身高分布），它更像是收入分布，带着一条延伸到右侧的可怕长尾。这种特殊结构的含义在巴拉巴西的著作《链接》中进行了广泛的探究。

在传统统计学课程中研究的分布，平均值设置了特征尺度，代表了整个群体成员的典型规模。例如，请想想人类身高的分布。几乎每个成年人的身高都在1.3米～2.1米之间。你不会遇见1米高或100米高的成年人。人类身高的特征尺度大约为1.5米，毫无疑问，平均数两侧都不会偏离出一个数量级（10倍）。相比之下，收入分布跨越了多个数量级，从年收入接近于0，一路攀升到比尔·盖茨的数十亿美元。这样的分布有时被称为“无尺度”，这意味着它不被任何单一的、典型的标尺所支配。

巴拉巴西和他的同事发现，互联网上链接的分布类似于无尺度，原因是相同的——曲线有一个又大又长的尾巴。具体来讲，这种曲线的衰减速度比正常的钟形曲线要慢得多。它不是指数级的快速衰减，它依据一个指数为2.2的“幂律”逐渐衰减。用代数术语讲，幂律是指当传入链接的数量是原来的1/10时，相应的网页的数量会增加，平均增加的倍数为102.2，约等于158。相反，当链接数量增加10倍时，网页数量为原来的1/158。

这种神秘的模式包含在整个互联网中，上至少数几个巨大的枢纽，例如美国有线电视新闻网和雅虎，每个都拥有成千上万的传入链接，下至数以亿计的默默无闻的网页，它们没有任何传入链接。从纯数学的角度来说，幂律意味着没有什么特别的，它只是许多可能的代数关系中的一种。但是当一名物理学家看到幂律时，他的眼睛亮了起来。因为幂律暗示一个系统或许可以自组织。它们出现在相变中，即当一个系统处于崩溃的边缘，在混沌和有序之间摇摇欲坠的时候。它们也出现在分形中，即当任意一小块复杂形状都是整体缩影的时候。它们还出现在自然灾害统计中——雪崩、地震、洪水以及森林火灾，每次灾害的规模毫无规律地波动，以至于平均值无法充分代表整体的分布。但尽管经历了20年艰苦的研究工作，幂律的起源仍然存在争议。

由于这些原因，互联网中幂律的发现令人震惊，充满挑衅意味。互联网是一个不受管制、难以驾驭的迷宫，任何人都可以发布文章，随意将它链接到任何网页上。我们完全没有理由期望可以找到任何模式。然而，互联网显然是有序的，通过一种微妙和神秘的方式，遵循相同的幂律模式，这种模式持续地从各个地方涌现出来。

巴拉巴西和他的团队提供了一个有趣的解释。在他们看来，幂律是网络增长的自然结果。互联网不是静态的。新的页面每天都在产生，链接不断增加、重连、消失，旧网页不断逝去。我们粗略地近似假设，除了新页面的添加以外，所有过程都可以被忽略，这些新页面会随机链接到现有的页面，但优先链接那些恰好流行的页面。在这种情况下，连接丰富的结点会变得更丰富，数学分析表明，幂律自动涌现的指数为3，距离实测值2.2并不远，而更精致的模型已经缩小了二者的差距。

◎　　◎　　◎

在过去的5年中，关于小世界网络和无尺度网络的新思想已经引发了复杂网络结构分析实证研究的爆发。在完全不同的例子中，当肉体被剥离时，相同的骨骼结构便显现于其中。互联网的脊梁和灵长类动物的大脑都属于小世界网络。物种相互捕食的食物链、细胞的代谢反应网络、财富1 000强公司的董事会，甚至英语语法结构都是如此。这些网络中的大多数，同样也是无尺度结构（也就是说，它们更像收入分布，而不像身高分布）。

在解剖层次上——单纯、抽象的连接的层次，我们似乎已经偶然发现了复杂性的普遍模式。不同的网络表现出了相同的三种倾向：短路径、高集群，无尺度链接分布。这些巧合十分怪异，难以解释。

例如，为了构建一个英语网络，物理学家拉蒙·费雷尔·伊·坎丘（Ramon Ferrer i Cancho）和里卡德·苏尔（Ricard Sole）考虑，如果两个单词在英国国家语料库的句子中紧密出现过的话，就把它们连起来。英国国家语料库是广泛搜集的书面语和口语范例中的1亿个单词的集合，旨在代表当前英国英语的一个横断面。坎丘和苏尔发现，通过这种方式，你可以从一个单词跳到任意单词，平均只需短短的2.67步。初看上去，似乎任何事情都会发生（因为合理的英文句子有无穷多种变化），然而，语言的网络被证明具有高度组织性，较少随机性，它的单词连接的集群比等价的随机网络高4 000倍。单词联系的接线图在两种不同的组织方法中都是无尺度的：常用单词（拥有多于1 000个连接的单词）服从指数为2.7的幂律，生僻单词的幂律指数为1.5。

在这种情况下，我们尚不清楚这些模式是具有实际意义，还仅是数字占卦术而已。诚然，围绕复杂网络这个主题的所有兴奋，都存在一种过度夸大的倾向。我的一位物理学家朋友用他的虚假发现取笑我，他发现了一个小世界模式：加上糖衣的苹果馅饼味道更好且热量更低。

现在的挑战是，解密小世界结构和无尺度结构的隐含意义，前提是它们的意义存在。在一次尝试中，苏尔观察到，电子电路总是按照一种小世界方式连线，他认为自己知道其中的原因。他在分析中发现，无论最新的数字微芯片，还是旧电视机中粗笨的电路，所有元器件彼此之间都仅仅相隔几个电子步骤，相比于在等效随机电路中，它们的集群度要高得多，这得益于自然选择所青睐的模块化设计，可选择的设计要为了生存而竞争。换句话说，工程师可能已经在不知不觉中根据小世界的原则搭建了电路，方法是通过在低成本和高可靠性之间达成最好的折中。

巴拉巴西和他的团队指出，无尺度网络同样表现了一种对于自然选择的折中：它们天生就对随机故障有抵抗力，对蓄意攻击它们的枢纽则表现得十分脆弱。鉴于变化随机发生，自然选择青睐那些可以容忍偶然损害的设计。通过它们规则的几何形状，无尺度网络对随机故障具有鲁棒性，因为绝大部分节点都有几个链接，因此可有可无。不幸的是，这种进化的设计有一个缺点。当网络的中心被精确瞄准时（随机变化永远不会这样做），网络的完整性迅速降低——巨大组件的规模塌缩，平均路径长度膨胀，节点变得孤立，在自己的小岛上随波逐流。

这种鲁棒性和脆弱性混合预测的证据体现在活细胞的弹性上。在一项关于酵母中蛋白质相互作用网络的研究中，巴拉巴西的团队发现，最高度连接的蛋白质确实对于细胞存活最为重要。研究者通过巧妙结合两个不同数据库中的信息得到了这个结论。首先他们看了连通性数据，如果已知一个蛋白质绑定到了另一个上，那么这两个蛋白质被视为联系在了一起。这种互相作用的网络遵循一种高度不均匀的无尺度结构，几个主要的蛋白质调节着众多连接性差的苦工之间的相互作用。然后，巴拉巴西的团队将连通性数据与系统变化实验的结果联系起来。在系统变化实验中，生物学家先前已经删除了某些特定的蛋白质，以确认它们的移除对于细胞而言是否致命。他们发现，删除任意苦工（少于5个链接，此类蛋白质占总数的93%）使细胞死亡的次数只占21%。换句话讲，细胞可以抵御大多数个体蛋白的损失，就像无尺度网络可以抵御大多数节点的随机故障一样。相比之下，任何核心蛋白质的删除（所有蛋白质中的前1%，具有15个以上的连接）使细胞死亡的次数占到了62%。

◎　　◎　　◎

不久后，我和瓦茨在《自然》上发表了我们的小世界理论的论文，我们被大众媒体连珠炮般地提问，从《纽约时报》《哥伦比亚广播公司新闻》到《匈牙利新闻报》，不一而足。各行各业的人都开始出于各自的想法和推测联系我们。《商业周刊》中的一篇文章暗示，小世界思想可以用来重新设计组织，通过添加一些捷径，以改善不同阶层中的通信线路。一位来自参议员保罗·威尔斯通（Paul Wellstone）办公室中的人说，希望展开一场头脑风暴，寻找一个宣传这位来自明尼苏达州民主党参议员的最好方法，2000年时，他正考虑竞选总统。最难忘的电话来自联邦调查局的法医科学家，他在我的机器上留下了一个神秘信息，要求我尽快回电话。带着一些忧虑，我拨通了电话号码。“头发和纤维。”电话的另一端说道。他的问题是涉及纤维的二次转移。如果受害者身上发现的纤维与疑犯所穿的运动衫的纤维匹配，检察官会将这一巧合作为证据。自然，辩护律师会反驳说，类似的运动衫在过去的一年里卖了成千上万件；或许受害者携带了先前坐在公共汽车同一座位上的人散落的纤维。问题是，给定这种二次转移的概率、这种运动衫的制造数量、美国社交网络的连接以及其他相关数据，我们是否可以计算出纤维来自犯罪嫌疑人的概率？

很遗憾，我无法帮助他们任何人。

◎　　◎　　◎

在努力理解自发秩序起源的过程中，这个关于复杂网络的新生理论是漫长旅途中的另一步，它始于惠更斯和他的同步钟摆。经过几个世纪的对于完全节律性实体——振子的思考，开始时两个耦合在一起，然后是多对多耦合，接下来是空间中的规则网络，数学家和科学家们才刚刚开始考虑更复杂的动力学，例如，混沌和可激发性以及更复杂的结构，例如小世界网络和无尺度结构。

在这个早期阶段，我们的模型是对于现实的苍白模拟。我们假定，网络是由普通的、静态的、相同的节点构建的，节点通过在强度和特点方面没有方向性、没有多样性的边连接起来。在纯连接方面，我们仍有许多东西有待学习，但现在是时候前进了，在网络中加入非线性动力学，超越极简的接线图。我们模型中的节点需要变成振子、神经元或发电厂，边需要具有多样性并充满活力。我们对支配基因、蛋白质、人类之间相互作用的法则几乎仍然一无所知。

10
人类社会：从流行到意识产生

1994春天一个安静的下午，我坐在麻省理工学院的办公室，沉浸在一个数学计算中，突然电话铃声将我拉回到了现实。“您好，我是艾伦·阿尔达(27)办公室的秘书吉恩。您愿意接听阿尔达先生的电话吗？”

几秒钟后，我听到了那个熟悉的声音。“你好。我是艾伦·阿尔达。我不知道您是否认识我，我是一名演员。”

“真的是您吗？”我惊呆了。

“当然，我刚刚阅读了您发表在《科学美国人》上的关于同步的文章，我想来和您讨论这个问题。”

阿尔达说自己总是对流行现象十分着迷，他想知道，流行是否可以被解释为一种人类行为的同步。对我来讲，这是个很值得思考的问题，我很感兴趣。于是我们安排了一次会面，我带着阿尔达走进我的办公室。我们进入圆顶大厅，沿着无尽的走廊前行，在张贴着诺伯特·维纳海报的位置右转，然后进入2号楼。

刚走进办公室，阿尔达还没落座，就提出了自己的想法。就像呼啦圈和宠物石头一样，流行的东西似乎是凭空出现的，并像病毒一样传播。几周之内，我们就看到了数以百万计的人扭动着臀部摇动呼啦圈或宠溺着石头。但是似乎又在顷刻之间，流行结束了。这个过程是如何进行的？为什么一些想法会突然变得流行，而另一些又逐渐衰落了？这只是一时兴起，集体的病态兴奋，还是流行有存在的潜在逻辑？如果流行真有逻辑，阿尔达认为，我们应当努力理解其中的逻辑，因为与流行相同的社会传播原理可以有更严肃的用途。例如，每年有100万名儿童死于脱水，他们甚至出现在可以进行补液疗法的村庄；如果母亲们熟悉补液疗法，这种疗法在母亲中很流行，会有怎样的结果？当公共卫生官员试图在菲律宾推广使用安全套，或鼓励非洲女孩待在学校时，他们使用流行歌曲和漫画书来传递信息，希望能让这种社会变革开始流行。尽管存在一些真实的成功案例，但它们的时效往往很短。或许，对于流行更深入的理解有助于我们创造更持久的成功案例。

阿尔达广泛研究了这个话题，他阅读了所有研究人群行为与群体心理的古典社会学家、营销专家、广告专家，甚至是进化生物学家理查德·道金斯（Richard Dawkins）(28)的作品。道金斯认为，“模因”是基因在心理学中的等价物，为了生存竞争的传染性思想，胜者通过文化版本的自然选择繁殖。这些思想是有见地的，但是阿尔达觉得，没有人抓住了问题的根源，流行仍像原先一样令人困惑。目前缺少关于流行动力学特性详细的、可检验的理论。所以，当阿尔达读到耦合振子以及振子背后的数学理论时，他开始好奇：流行突然出现的原理是否类似于萤火虫突然开始同步闪烁？

阿尔达的建议似乎是合理的，但在数学上很难用公式表示。关于同步令人兴奋的理论在很大程度上局限于有节律的同步，其中所有个体都是振子，总是重复同一个周期，像钟摆一样可预测。但人类行为不会如此轻易被确定。另外，关于同步仅有的且易处理的连接都是全局的、多对多网络，很难与流行传播的社交网络相关。而且，令人沮丧的是，支配人类互动的规则（相当于振子间的耦合）是未知的，而且很可能是不可知的。我很失望地对阿尔达表达了上述观点，我不知道该如何帮他。

尽管如此，我们还是聊了三个多小时。我们从进化论、心理学，讨论到混沌理论和量子力学。谈话结束时，我邀请他在麻省理工学院沃克纪念堂的自助餐厅共进午餐，我们找了一张空桌子，点了一些食品，继续谈论科学。几名学生看着我们，相互耳语，一个同事以向我询问事情为由也过来围观。最终，我们已经无法对一名一直在桌子另一端来回徘徊的学生置之不理了。他走近我们，等着我们抬起头来。

“打扰了。”

“有什么事吗，孩子？”

“对不起，我只是想问：您是斯托加茨教授吗？”

“是的，什么事？”

“哦，嗯，我只是想说，我读了您关于混沌的书，非常着迷。”

然后他走开了。阿尔达和我彼此看着对方，然后大笑起来。

也许只有在麻省理工学院才会如此……

◎　　◎　　◎

阿尔达关于流行的问题突显了我们对同步的人文性了解甚少。过去，耦合振子理论家总是回避心理学和群体行为学的问题。然而，人类同步的迹象是不容忽视的：股票交易者的从众心理以及股市中因而发生的涨跌；聚众闹事者野蛮的愚蠢行为；群体思维引发的政治和商业问题；甚至那些无伤大雅的情境，例如鸡尾酒会上所有人一齐陷入沉默的尴尬时刻……这些都是群体层次的同步实例。同步的心理维度同样也显示在个体层次：为什么音乐让我们如此振奋？又是什么造就了大自然中的同步奇观，例如鸟群和鱼群优雅的运动？为什么我们一起跳舞会更快乐？我们为什么会喜欢彼此协调一致？

特别是，当阿尔达提出流行问题时，我们对人类群体行为的数学原理知之甚少。除了20世纪50年代阿纳托尔·拉波波特（Anatol Rapoport）做的一些开拓性工作和数学社会学家和经济学家的后续努力，例如托马斯·谢林（Thomas Schelling）发现了“临界点”，该领域的研究一直进展缓慢，一是因为缺乏实证研究和数学工具，二是因为计算机模拟尚且处于萌芽状态。然而，在过去的几年中，这个课题经历了一次复兴。社会学家借用网络技术分析了骚乱、流行以及新事物传播的规律。物理学家研究了音乐会观众如何从杂乱无章的掌声过渡到同步的、雷鸣般的掌声。复杂性理论学家们正在构想关于交通流量的新理论，解释为什么拥堵可以持续数小时（即便在没有事故或其他明显原因的情况下），或是一群自私的司机如何会在不经意间陷入到合作的车队中，此时所有车辆步调一致地前进，像是怪异的、凝固的群体。

这些研究的结果通常是反直觉的。意想不到的集体行为的涌现在个体属性上体现得并不明显。当然，所有模型都是极为简化的，但这也正是问题的关键。如果连群体的理想化行为都会让我们大吃一惊，那么我们可能会进一步发现真实群体行为的线索。

◎　　◎　　◎

关于流行问题的研究都基于一个经典模型，这个模型是由马克·格兰诺维特（Mark Granovetter）在20世纪70年代提出的。格兰诺维特用假想的100名暴徒的故事来阐述自己的研究成果，这100名暴徒可能处于暴动的边缘。格兰诺维特假设，每个人是否暴动取决于其他人的行为。煽动者会最先发起暴动。其他人在加入之前会观察参加暴动人数的临界值。我们假定，群体中的每名成员所参考的暴动人数临界值（阈值）呈现某种概率分布。

格兰诺维特最著名的暴徒暴动例子，其阈值在0～99之间均匀分布。换句话讲，一个人的阈值是0，另一个人是1，以此类推。我们很容易预测在这样的群体中会发生什么。阈值为0的人会发起暴动，即便当时群体中并没有暴动的人。然后，阈值为1的人看到有一个人（煽动者）打破窗户，便受到刺激，继而加入暴动。既然现在有两个人暴动了，那么阈值为2的人便加入。就像导火索的燃烧或多米诺骨牌的倾倒，暴动会吸引越来越多的人，直到所有人都加入。这是显而易见的，但这正是难解之处。格兰诺维特说，假设我们用最轻微的方式改变人群的初始配置，阈值为1的人被阈值为2的人取代。现在，煽动者发起暴动时，没有人响应它，因为所有人的阈值都大于1。换句话讲，不会有暴动发生。

令人惊讶的是，这两种假设的条件几乎没有区别，至少在通常的社会学方法上如此。人群的平均构造用尽可能小的方式进行改变，阈值的整体分布几乎是相同的，而结果却截然不同：一种是全面暴乱，另一种则是一个孤独的疯子横冲直撞。旁观者可能将前者描述为一群暴徒，而将后者描述为一个疯子毁了一次和平示威，而事实上，二者却是十分近似的复制品。我们的经验是，人群的集体动力学特性对它的配置非常敏感，这可能是聚众暴乱难以预测的原因之一。

在诸多简化的格兰诺维特模型中，也许最重要的简化是假设每个人对所有人都有完善的认知。这种近似是我们在最简单的振子模型中遇到的多对多耦合的社会学模拟，此时每只萤火虫都能看见群体中的所有成员。哥伦比亚大学社会学教授邓肯·瓦茨研究出了更真实的案例中的数学，每个人都受到朋友和亲密同事组成的特定子集的影响。瓦茨的模型受环境驱使，在这种环境中，口头的传输或社交网络的沟通（与广播或全球知名度相对）是互动的主导形式。在这种分散的网络中，协同行为的自动爆发似乎特别神秘。瓦茨提出了这样的难题：

为什么一些书籍、电影和唱片只有很少的营销预算，却会从默默无闻中脱颖而出成为畅销品，而许多先前付出同样努力的作品却并未成功？为什么股市会出现偶尔的大波动，却无法追溯到任何与之关联的重要信息？基层民众大规模的社会运动如何在没有集中控制或公共通信的情况下展开？

所有这些社会现象都涉及从众行为，即每个人都依赖别人的决定来指导自己的行为。更抽象地讲，请想象一个任意类型节点的网络（可以是公司、人、国家或其他决策者），假设每个节点都面临相同的二元选择：是否采用一种新技术，是否参与暴乱，是否签署条约。在格兰诺维特模型中，采用新技术、暴乱、签订条约是由其他节点做出相同选择的数量决定的，然而现在，每个节点只关注它特定的那些“邻居”——其决定会对它产生影响的节点。例如，1985年，当时的传真机还是新奇物品，一家公司是否购买一台传真机会受到商业合作伙伴是否已经购买传真机的强烈影响，因为拥有传真机的联系人越多，传真机才会变得越有用。每个节点的阈值被定义为必须采取行动的邻居所占的比例。为了允许群体中存在多样性，瓦茨假设，某些节点比其他节点更喜欢冒险，同时假设某些节点的连接更多。用数学语言讲，这意味着阈值和邻居的数量都在群体中呈现出某种分布。最后，鉴于它分配了邻居的数量，每个节点会努力将这些边连接到群体中随机选择的节点上（不真实，尽管已经进行了上述近似，但是这种分析仍然很困难）。

实验开始时，随机选取一个节点作为决定冒险的创新者，它是一粒火种，也可以将它想象成倾倒的多米诺骨牌。然后，每个节点一个接一个地按照随机顺序，观察它的邻居，计算出它们倒下的比例。如果已经超越了阈值，它便倒下，否则就保持直立。当每个节点都被轮过之后，计算和翻倒的过程重新开始。某些骨牌可能在第一轮就会倒下（即火种身边那些阈值很低的邻居们，直接受火种的影响而倒下），它们会转而发起第二轮翻倒的波浪。但如果火种的连接很少，或它的邻居十分保守，阈值很高，骨牌翻倒的趋势可能一开始就会停滞。

在这种理想化的模型中，瓦茨可以确定出单张多米诺骨牌触发巨大倾倒的确切条件。他同样试图解决这种连锁反应的可能性和规模，以及使网络或多或少容易发生连锁反应的风险因素。结论必然是符合统计学特征的，在未进行特性的计算机模拟之前，没有什么可以提前说明。每次运行结果的细节各不相同，这取决于火种的位置，阈值在整个群体中的分布以及每个节点之间不同的连接方式。然而，一些引人注目的趋势还是出现了，这些趋势通常不易通过常识预测到。

实验的主要结果是，该模型显示了两个不同的相变，即众所周知的临界点。如果网络的连接太稀少，它会碎裂成微小的岛屿，倾倒便无法波及到它们。当连接处于更高的临界值——第一个临界点时，这些岛屿会突然连接成一张巨大的网络，全局性的倾倒便成为可能。一粒最初的火种可以触发倾倒趋势的蔓延，这种变化最终影响了群体中的大部分成员。随着连接的进一步增加，一开始，正如人们所预料的那样，连锁反应变得规模更大、更可能被触发，但是随后发生的事情却完全相反，连锁反应变得更罕见了，当网络超过某个临界的连接密度时，倾倒突然消失了。第二个临界点的出现是由于稀释效应存在：当一个节点有太多的邻居时，每个节点的影响就会变小，使之不足以触发倒塌。请记住，每个节点将自己的阈值与已倒塌的邻居所占的比例进行比较，而不是与绝对值进行比较。从比例的意义上讲，邻居越多，单个的影响就越小。

当网络连接密度刚好位于第二个临界点之前时，此时的结果极度难以预测，就像真实的流行现象一样。成千上万有希望的火种会使网络躁动不安，每一个所引发的至多是一个令人失望的涟漪，很快便会消散。通过这一措施，网络表现出高度的稳定性，可以抵抗外部干扰。然后另一粒火种出现，它似乎与先前的那些创新者没什么区别，而这一个却触发了大规模倒塌。换句话讲，在接近第二个临界点时，流行的发生很罕见，但流行一旦发生就呈现排山倒海之势。

这是直观上能看到的事情。潜伏在网络中的是节点的连通子集，即瓦茨所谓的脆弱集群。该集群的几何结构，即它渗透到网络中其余部分的方式，正是问题的关键之处。用营销话语体系讲，脆弱集群是由“先行者”组成的：它们不是火种，而是随时准备倾倒的节点，即便只有一个邻居倒下，它们也会随之倾倒。接近第二个临界点时，脆弱集群是微弱的，是几乎看不见的——它们只占整个网络中的一个非常小的百分比，因此，一个随机火种点燃它们的概率非常小。但一旦点燃，它们就会将缓慢燃烧的火焰蔓延到自己的邻居，然后再蔓延到邻居的邻居，然后继续燃烧下去，直到整个巨大组件（支配整个系统广阔的相互连接的节点）被火焰吞噬。此时，令人惊讶的是，巨大组件中几乎所有节点都不是先行者；它们是一个更顽固的群体，阈值更高，营销话语体系中将其称为“早期和晚期从众者”。然而，因为网络在接近第二个临界点时连接如此紧密，所以恰巧点燃脆弱集群的火花能够创造足够强大的势头，足以将每个个体引爆。

瓦茨模型显然是一幅漫画，它脱离了真实社会结构的丰富性，并假设所有人的友谊都是相同的，每粒火种都有相同的感染力，但即便如此，它仍然模仿了真正的流行现象最令人费解的特征：不可预测性、稀缺性和随意性。特别显著的特征是，在第二个临界点附近，一个不太可能引起连锁反应的爬升，它慢慢开始，建立在口口相传之上。

瓦茨模型同样做出了可检验的预测，预测并不是关于单一流行的（根据理论，这是不可预知的），而是基于总体视角关于许多流行事物的统计。这些统计结论为什么样的干预最有可能触发倒塌提供了信息。例如，分析表明，群体的异质性有混合效应，更大范围的阈值会破坏系统的稳定性，使系统更易受到流行的影响（本质上是因为这种情况有更多的先行者），而更广泛的连接（每个节点的邻居数量变化更大）使系统趋于稳定。此外，连锁反应往往始于靠近模型两个临界点的不同位置处。在第一个临界点附近，此时的网络仍然是稀疏的，几乎没有连接，倾倒最易在中心处开始，即拥有最多连接的节点。在第二个临界点附近，发生的倾倒通常在平均节点上，它们是不起眼的小人物，触发倾倒的原因仅仅是它们的数量太庞大了。

◎　　◎　　◎

与流行相反，至少有一种形式的人类群体行为你每天都会遇到：交通高峰时段令人发狂的拥堵。根据大多数预测，拥堵只会变得越来越糟。到2020年，洛杉矶惯常的通勤时间将会是1990年时的两倍，平均速度仅为每小时38公里。缓解拥堵问题的各种建议正在考虑中，例如缴纳道路使用费，改善公共运输系统以及设置汽车和卡车的专用道等。与此同时，物理学家和复杂理论学家正在讨论一个新近提出的、最初引发拥堵的动力学问题。他们的新模型表明，交通问题比人们通常想象得更复杂、更不可预测，拥堵在很大程度上是因为司机之间的非线性相互作用。

虽然我们通常不从这些方面思考交通拥堵问题，但是从一名司机的行为会影响到附近其他人的这个意义上讲，交通的确是一种社会现象。如果有人在你面前转弯，你就要急刹车，而你的反应可能又会引发身后一大批车急刹车，最糟的情况则是导致灾难性的连环相撞。即使在不太引人注目的环境中，每名司机也有可能对身旁的人施加影响，突然变道、危险穿行或无故鸣笛都会对其他人造成困扰。从这个意义上讲，拥挤的交通引发了在所有社会矛盾中都会出现的冲突，即自私行为和公共利益的冲突。一方面，每个人都有自私的动机——无私的司机不会很快到家。另一方面，猖獗的自私行为使得驾驶对其他所有人而言都是一件不愉快的事情，例如一些不守规矩的司机试图穿过一个繁忙的十字路口时被困在路口中央，挡住了路口并造成拥堵。

研究人员发现了一个惊人的交通流量模型，它可以预测在适当的环境下，这种普遍的自私行为可以触发一种对所有人来说都是最理想的水晶一般的和谐状态。这种自组织的状态由德克·赫尔宾（Dirk Helbing）和伯纳多·休伯曼（Bernardo Huberman）于1998年发现。赫尔宾是交通物理学这个新兴领域的领导者，休伯曼是复杂理论学家，他们总会把自己的时间花在思考互联网上。两位研究者合作，模拟了数百辆虚拟汽车和卡车逼真地沿着双车道公路混合行驶的动力学特性。每辆车都遵守特定的合理规则：加速到最理想的安全速度；减速以保持车距，避免追尾；切换车道，并尝试超车（如果空间足够的话），等等。自动驾驶员甚至被赋予了不稳定的、类人的特点，例如切换车道后偶尔会有慢吞吞的倾向。

赫尔宾和休伯曼计算了各种不同条件下的长期交通模式。当路上只有几辆车时，所有小轿车都会不减速地超越速度缓慢的卡车，而卡车隆隆地以它们每小时140公里的最高安全速度行驶。在中等交通密度时，一些小轿车发现自己不幸被困在卡车后面很长一段时间，没有超车或切换车道的空间。

当处于临界交通密度，即每条车道上每公里约有35辆车时，所有的轿车和卡车都自发同步，就像一个整体一样沿着公路行进。引人注目的是，这是出于纯粹的竞争，没有协调者或中央控制，这是一个由自私的个体组成的大群体终结在了一个合作的状态，这对所有人而言都是最理想的状态。亚当·斯密或许会同意这个观点。从交通流量的意义上讲，这种状态是最佳的，因为此时的交通流量最高：即轿车和卡车通过某一特定路段的数量是最大的。这同样也是交通最安全的方式，因为司机没有机会改变车道或超车（变道和超车是大多数事故的原因）。赫尔宾和休伯曼用荷兰的一条双车道公路的数据测试了自己的模型，并发现了证实上述预测状态的数据。在临界密度时，轿车的速度是最稳定的，这是通过测量轿车速度波动得到的，另外变换车道和超车的情况也最少。但正如模型所预测的一样，水晶一般的和谐状态是脆弱的。当密度刚刚超过临界值时，水晶会融化成杂乱无章的液态，超车机会再次出现，导致了交通的不稳定，车辆走走停停。

赫尔宾和休伯曼建议，在匝道上使用由计算机控制的红绿灯有助于保持车辆的整体状态。红绿灯会响应轿车超车时电子传感器采集的瞬时数据。如果传感器检测到驶过匝道的一队车辆后面有间隔，那么灯会变成绿色，让更多的车涌入高速公路，填满间隔，让交通保持同步；如果车队有分裂成走走停停模式的趋势，那么灯会再次变红。这个策略与当前纽约长岛高速公路上使用的策略不同，长岛高速公路的红绿灯是根据预先设定的时间定时的。新方法无法解决高峰时刻的拥堵问题，但是在中等密度时，它有助于车辆更安全顺畅地运行。

关于交通同步问题，另一种不同的模式在数年前由斯图加特的戴姆勒—克莱斯勒公司的两名物理学家鲍里斯·克纳（Boris Kerner）和休伯特·雷博恩（Hubert Rehborn）共同发现，当时，他们分析了安装在德国高速公路上的传感器所采集的数据。在自由流动和完全堵塞的交通密度之间，克纳和雷博恩发现了一个奇怪的、高度拥挤的状态，此时，所有汽车都突然减速到相同的速度，并停留在自己的车道上，作为一个整体缓慢前进。但不同于赫尔宾和休伯曼发现的同步状态，这个状态并非是由速度缓慢的卡车导致的。它完全是自发出现的，只发生在轿车群体中。自发的减速似乎发生在匝道附近，时间是早高峰期间不寻常的一大群轿车被挤到繁忙的公路上时。瞬间的涌入在某种程度上使得邻近的交通更加拥挤，同样的原理使得一颗尘埃可以帮助水蒸气凝结成液滴。

但真正令人奇怪的是，这种状态会徘徊两个小时之久，在匝道上的涌入车流恢复正常很久之后依然如此。换句话讲，这种模式会呈现出自己的独特性质。它是自组织的，甚至会反过来向公路发起堵塞的浪潮。后来，遇到这种走走停停浪潮的司机均困惑不已。拥堵周期性出现，却没有明显的原因。

后来的计算机模拟表明，这种模式并不是由超负荷本身所维持的。当匝道上的突然涌入减弱之后，随后的交通本应该畅通无阻，相同的一组司机，在相同的交通密度下也是畅通无阻的。这种更令人愉快的选择应该是稳定的、自组织的，但司机们却无法集体实现它。司机们陷入了一个稳定模式，无法达到最佳状态。在这方面，交通同步就像B-Z反应中的螺旋波和卷轴波，又像造成心率失常的有害的旋转波。同步一旦建立，这些波浪便很难消失。为了紧急疏导，交通需要进行“心脏除颤”。

不幸的是，没有这样的技术存在。在收集数据的当天，那条德国高速公路上实际发生的情况是，脉动的堵塞从早高峰一直持续到了上午9：30。到了那个时候，匝道的车流量已经减小了很多，这种模式无法再自维持下去。直到同步状态自动解除，交通才重新开始通畅。

◎　　◎　　◎

虽然交通同步是无意识的，但多数大规模的人类同步是有意识的。有意识的同步让我们一起唱歌、跳舞、踩鼓点、在球场上玩“人浪”时会感到格外高兴。当每个人都在尝试合作时，实际出现的群体行为能带来一些惊喜。例如，请考虑观众一起鼓掌的情形。这种现象似乎是不言而喻的，这就是为什么我们反复调用它作为其他类型同步的比喻。但当科学家最终四处测试鼓掌现象时，他们被自己发现的东西吓了一跳。

1999年，一个全部由东欧血统的物理学家组成的团队前往罗马尼亚和匈牙利的音乐厅，记录了几名观众在歌剧和戏剧结束时鼓掌的情形。记录显示，一开始，观众纷乱地鼓掌，然后自发切换到雷鸣般有节奏的较慢速的掌声，然后又陷入不和谐的状态，在混沌和同步之间反复摇摆了六七次。为了探索更详细的过程，佐尔坦·内达（Zoltan Neda）和他的研究生伊丽莎白·劳沃斯（Erzsebet Ravasz）要求一群高中生分别独自站在房间里，用两种不同的方式鼓掌。首先，他们要求每一名学生在出色的演出结束后按自己的意愿鼓掌。结果，出现的掌声是快速和不规则的，平均每秒四次，但变化范围很大，无论个人还是整个群体都是如此。然后，实验者要求学生假装他们在与一名假想的观众同步鼓掌。掌声放慢到了庄严的每秒两次——只有先前的一半快，仿佛所有人都跳过了一次击掌；同时，掌声也变得更加精确，仿佛存在对正确节奏一种强大的、共同的理解。

那么，全体观众的行为便可以从这些方面解释了。因为文化期望，观众们都知道他们想一齐鼓掌，但每个人的固有击掌频率都或快或慢。为了实现同步，每个人都会将各自鼓掌的速度降低一半，频率的散布减小（就像高中生实验中发现的那样）。正如温弗里和藏本由纪的耦合振子模型预测的那样，当频率的散布充分减小时，系统突然跨越了相变，同步自动爆发。同步是附带心理上的代价的。虽然集体鼓掌是雷鸣般的，但是只有当鼓掌速度是平常一半时才会发生，而且集体鼓掌是一种更喧闹的掌声，必然的后果是，整段时间内总的噪声量要少于混乱鼓掌的噪声量。不知为何，观众们感觉累积的噪声水平并没有充分传达他们的兴奋，因而他们唯一的方法是制造更多的噪音——加快鼓掌速度。但现在他们的频率分布也变宽了（测量结果表明，快速鼓掌本质上更松散）。因此，相变越过了相反方向，群体重新陷入混乱。在某种意义上说，观众因最佳同步与最佳噪声强度之间的权衡而感到沮丧，他们无法同时二者兼得。

◎　　◎　　◎

对于鼓掌这种毫无意识的群体行为，人类的心理也会进入微妙的模式。但至少到目前为止，所有模型都忽略了人类意志的变幻莫测。他们故意假定人类的行为如机器人一般，以观察有多少现象可以单独依据基础解释。在邓肯·瓦茨的流行模型中，一旦超过了阈值，人们就会发疯。在交通模型中，司机们随着局部情况的需要加速或减速，仿佛受到了人类版本的机器的支配。当联合国维和部队出现时，集体屠杀部落成员的事件就不会出现，但是，当部队撤出后，疯狂杀戮便又开始了。

这恰恰是因为模型过于简化，使得它们的准确性与稳定性有些令人担忧。在很多形式的群体行为中，人们不依赖更高级的认知能力。“对个人而言，精神错乱是罕见的，”尼采说，“但在团体、政党、国家以及时代中，这却是规则。”“他，愉快地在军队中伴着音乐前进，已经让我鄙视，”爱因斯坦说，“由于失误，他得到了一个大脑，其实对他来说，脊髓已经足够了。”

具有讽刺意味的是，同步是人类美丽表达形式的一部分。在芭蕾舞中、在音乐中，甚至当人们分享爱意的时候，他们的心跳也是同步的。不同的是，这些都是更加灵活的同步形式，它们不盲目、不呆板、不野蛮、不单调。它们体现了我们乐于认同的人类所独有的品质——智能、感受性以及只有最高级别的同步才会出现的和谐。

◎　　◎　　◎

除了人类彼此之间的同步以外，我们有时会觉得我们与周围的世界同步。最明显的例子是，我们与地球自转相牵连，与每日黑暗与光明的周期循环牵连。但除了昼夜节律以外，我们并没有发现更多证据充分的人类与环境同步的案例。

例如，幽灵般的效力都被归因于月相。根据民间传说，某些罪行在月圆之夜发生的频率更高（同样也有更多的自杀、精神病发作、药物过量以及被狗咬伤事件）。甚至有一些科学论文宣称为“月球效应”提供统计学上的证据。但当用正确方法重新进行统计时，各种效应与月相的相关性总是不复存在。这里列举一个该领域的虚假研究的例子：一些作者声称，满月时会有更多的交通事故发生，但他们却忘记了控制事故率的周别或季度别变化。事故更频繁地出现于星期五晚、星期六晚、新年前夕和其他假期期间，以及夏季（一切都有明显的原因）。因此，在研究的时间段中，如果上述任何一种情形出现，统计结果也会随之改变。调整了这些日历效应的统计学家发现，满月不会造成显著差异。无论是生育率还是杀人率，暗杀还是天灾，一次又一次的严谨研究显示，满月对于所有人类事件都没有重要影响。然而许多明智的人——包括警员和急救室工作人员，却依然不这么认为。

月球效应是我们寻找宇宙秩序的强烈欲望所导致轻信的典型，特别是我们希望把自己的生命节律与宇宙节律相联系。同样的冲动驱使着占星术和“生物节律”的江湖观念，这些都是在20世纪70年代流行一时，现在已被遗忘的伪科学。回到那时，你可以买到一块装备有精密生物节律计算器的卡西欧手表，以便了解自己是否将会面对糟糕的一天。这类理论宣称，我们的身体被体能、情绪状态以及智力水平可预测的潮汐推来搡去，按照精确的23天、28天以及33天的周期呈现消长变化，据推测，每个人都一样，无论年龄、性别、健康状况以及遗传变异。20世纪70年代，由军事和航空工业开展的数十项严谨独立的研究中，没有发现任何支持这些生物节律的证据，也没有发现任何卡尔·荣格（Carl Jung）“同步性”（synchronicity）思想的证据，荣格的“同步性”思想声称，我们生活中有意义的巧合发生的次数远多于可以单独用“偶然”解释的事情。然而，相信这样的事情是很有趣的。在我的生活中，我常想，是什么让我在英国的那个雨天走进赫弗书店，去看一本题目特别的书——《生物时间的几何学》，仅仅一年前，我撰写的毕业论文副标题与之惊人的类似：“有关几何生物学的论文”。如果没有与阿瑟·温弗里的书不期而遇，以及幸运地选择了相同的词语，我可能永远不会遇到他，不会对同步产生兴趣，也不会写作你面前的这本书。

存在这类争议的问题是，当我们遇到需要评估罕见事件的概率时，所有人（包括专业数学家）都很容易犯糊涂，甚至很难提出正确的问题。在一篇关于巧合的论文中，统计学家佩尔西·戴康尼斯（Persi Diaconis）和弗雷德里克·莫斯特勒（Frederick Mosteller）讨论了一位女士的惊人故事，这位女士中了两次新泽西彩票。《纽约时报》的头版报道这个赌注的概率是一千七百万亿分之一，但这个概率不能说明任何问题，因为这个数字假设，这位女士只买了两张彩票，两张都中奖了；事实上，她经常玩彩票，而且通常买好几张。更中肯的问题是，对数以百万计的日复一日年复一年买彩票的广大彩民而言，某人在一生中能中两次大奖的概率是多少？当这个问题以这种方式构建时，一个似乎是天文数字般不可能的事件被揭露为一个实际存在的事实：仅仅需要7年时间，美国某地的某人中两次彩票的概率就超过了50%。公平地讲，新泽西那位女士甚至比这更走运，她在4个月内中了两次奖。即便如此，这种概率发生在某地某人身上的概率也高于1/30：这不一定会发生，但绝非不可能。

将人类同步到环境的绝佳例子（除了昼夜节律以外）都与大脑中的电节律被外部信号影响的可能性有关。例如，诺伯特·维纳描述了发生在20世纪50年代德国一个令人惊讶的实验，在这个实验中，科学家试图通过向人类受试者发射大功率电磁辐射来同步这个人的脑电波。维纳描述到，一张锡片被悬挂在天花板上，连接到一个400伏发电机的终端，发电机的运行频率为10赫兹，与阿尔法脑波频率相同。维纳写到，该装置“可以与房间中的任何物体产生静电感应”，而且“它的确可以驱动大脑，引起受试者一种很不愉快的感觉”。

这种感觉可能有点儿像1997年12月16日夜晚，成百上千的日本小朋友看《口袋妖怪》时发生的意外。《口袋妖怪》是一部十分刺激的动画片，是18：30晚间档收视率最高的电视节目，其中的一幕是，一个字符通过引爆“疫苗炸弹”摧毁了一个计算机病毒。电视观众看到了一个明亮的白色爆炸，随后是灿烂的红色、白色和蓝色的光，像频闪的闪光灯一样闪烁，每秒12次，持续5秒。日本各地的孩子们立即开始感到恶心。有些孩子出现呕吐，有些孩子癫痫病发作，有几个孩子瞬间停止了呼吸。惊恐的父母们打爆了日本各地的应急服务电话，超过600名儿童被救护车送往急诊室。或许，许多日本家庭看电视的条件加重了这次袭击的伤害，很多家庭的房间很小，使用的却是大屏幕电视机：在日本公寓里看电视就像坐在电影院的前排。一名坐在大屏幕电视机前不到1米的14岁男孩昏迷了半个多小时。当晚，当日本新闻节目不负责任地重播令人作呕的场景时，更多的孩子受到了伤害。

千变万化的脉动光引发了强烈的光刺激，由此触发了光敏性癫痫的发作，这是一种罕见的疾病，随着电视和视频游戏的激增，它变得越来越普遍。光敏性癫痫的确切原因尚不清楚，但它被认为是一种同步性障碍，脑电波被闪烁光所牵制，导致大脑中的神经元无法发射，引发癫痫。这一假设与临床观察是一致的，最危险的频率处在在15～20赫兹之间，只比大脑的阿尔法脑波稍快。这是一个例子，来自外部环境快速的、周期性的信号对人体生物学产生了明显的影响。

◎　　◎　　◎

一种更转瞬即逝的同步似乎牵涉到人类心理学中最伟大的未解之谜之一：大脑如何产生思维。科学家们在努力去理解人类思想和情感的神经基础，随着技术的进步，当一个人识别一张脸，记忆一个单词或集中注意力时，窃听他的思维成为可能。神经生物学家已经发现，这些认知行为与神经同步的短暂激增有关。其中，数以百万计广泛分布的脑细胞突然开始精确地同步开闭，频率约为40赫兹，然后就像迅速瓦解一般，使得下一个想法或知觉出现。如果这一观点是正确的，那么顿悟的一刻必定是电同步的爆发，即大脑的各个独立部分开始和谐统一的瞬间。

这一研究可以追溯到20世纪80年代初，当时，南加州大学研究人员克里斯朵夫·冯·德·马尔斯伯格（Christopher von der Malsburg）提出，神经同步可能会提供一个解决“捆绑问题”的机制，“捆绑问题”是脑科学中一个长期存在的谜题。为了阐明这个问题，请设想你坐在一个拥挤的、烟雾弥漫的咖啡馆里，喝着咖啡，听着摇滚音乐，人们挤过你的桌子，彼此打着招呼。根本无须任何努力，你便可以立刻察觉到自己手里拿着一杯咖啡。但是，确切地说，你是怎么做到的呢？就像表面看上去的那样简单，这种知觉与很多感觉相关。当你瞥了一眼咖啡杯时，光从它的表面散射，冲击你的视网膜，显现出咖啡杯圆形的形状，光滑的纹理，以及杯子的颜色。这些视觉属性被发送到你大脑的各个部分，进行进一步处理和解析。同时，蒸发的咖啡分子绑定到你鼻孔中的感受器，触发你嗅觉中枢神经活动的节律性爆发（你的边缘系统感受到阵阵快乐，这与新鲜咖啡豆浓郁的香气有关）。与此同时，其他令人不太愉快的感觉——香烟的气味，从你身边走过的人对桌子的撞击，也在冲击你的感官，刺激着各自的神经元组。问题是，你的大脑是如何搞明白所有这些神经元骚动的意义的呢？特别是，什么样的物理过程将正确的特征“捆绑”到一起，以形成对咖啡杯的统一知觉，并区别于同时发生但与之无关的感觉呢？——如摇滚音乐的声音、桌子的晃动以及所有其他混淆的感觉。

马尔斯伯格假设，处理咖啡杯各种特征的分隔的神经元群体会在几分之一秒内同步振荡。时间一致是大脑将它们捆绑在一起的方法，时间一致性意味着它们都指向同一个对象。但马尔斯伯格对测试这个想法感到绝望。他料想，即使神经集群一齐发射，它们也会被大脑其他喋喋不休的电活动所淹没。“没有办法挑拣出它们，”马尔斯伯格曾说，“思维是无形的。”

这种悲观主义的结论最终被证明是没有根据的。1989年，我们开始在动物实验中发现了少许同步现象。由查尔斯·格雷（Charles Gray）和沃尔夫·辛格（Wolf Singer）带领的神经学家团队给一只麻醉的猫看一个移动杆的图像，发现神经元对杆子的响应开始以30～60赫兹的频率有节奏地放电。齐射是短暂的，持续约1/3秒，但高度同步，沿途的神经元会遇到一系列一致的电子波峰和波谷。也许最令人惊讶的是，即便在解剖学上相隔很远、穿过了猫的视觉皮层的细胞，也会近乎完美地同步振荡。为了测试协调的发射是否意味着猫把杆子当作了统一的整体，格雷和辛格删掉了杆子的中间部分，将两端移动了位置，呈现出两个独立物体的形象。相同的脑细胞继续放电，但不再同步，正如马尔斯伯格所预测的那样。

当时，这些研究结果引发了一场争论风暴。空气中弥漫着惯常的论据，新发现总是要面对猛烈的反对同步的呼声。最质疑的怀疑论者否认这种现象的存在，声称统计分析是错误的，或认为遥远的神经元之间短暂相互关系可能是偶然产生的。其他人则担心，缺乏任何已知的机制可以使相隔如此遥远的神经元像格雷和辛格报告中一样精确同步。很难理解细胞在千分之一秒内如何互相发射，它们相隔如此遥远，没有神经冲动可以在这段时间内完成这段旅行。然而，在接下来的几年里，所有反对意见都被澄清了，只剩下一种忧虑：同步可能是真实的，但没有意义，它是猫的大脑中电活动无用的副产品，并未揭示其最深处的工作机制，这只相当于台式电脑60赫兹的嗡嗡声而已。

20世纪90年代，同步与认知有关的证据变得更具说服力。研究人员开展了各类动物实验，从蝗虫到猴子，他们发现，同步的神经活动始终与认知、记忆、知觉的原始形式相关（例如，区分两种气味的能力，检测一个形状方向的变化的能力）。但是，由于无法确切知道动物的知觉如何，怀疑论者仍然不服气。研究人员想要证明：同步是认知的本质，而不只是与认知相关而已。例如，在格雷和辛格的实验中，没有证据表明，在一个实验中猫感知到了一根单独的杆子，在另一个实验中猫感知到了两根。解决问题的唯一办法是对人类受试者进行实验。

2001年，于尔根·费尔（Jurgen Fell）和他在德国波恩大学的同事进行的一项相关研究揭示了神经同步与短时记忆之间存在一种诱人的关系。他们要求志愿者记忆单词表，记忆完成时用另一项任务短暂地分散受试者的注意力，然后测试他们的回忆程度。同时，在实验的记忆阶段，科学家检测了受试者的海马体和顶叶皮层中神经元的发射模式，该脑区与参与记忆的脑区相邻。这项实验在技术意义上是非凡的，实验中，神经活动是被直接测量的，而不是从脑电波推断。这些受试者都是癫痫病患者，他们的大脑中被植入了电极，以准备即将进行的神经外科手术，这提供了一次不寻常的机会，使我们可以在记忆活动期间直接记录人脑细胞的状态。

当然，每名受试者都会记住一些单词，也会遗忘一些，但令人着迷的是，他们的神经元在两种情况下表现不同，在第一眼看到单词时，如果是记住的单词，在看过的1/4秒后，他们大脑的海马体和顶叶皮层之间表现出一阵强烈的同步；但如果是遗忘的单词，则不存在这种同步。夸张地讲，这意味着通过观察某人尝试记忆单词时的脑电波模式，你就可以预测他是否会成功地记住这个单词，因为你可以看到大脑是否失误。

目前我们还不清楚如何解释这种同步，它可能只不过是尚待发现的其他更重要的过程所形成的记忆回声——就像打雷是闪电的余震，而非成因。另一方面，也许同步对记忆过程本身是至关重要的，因为与之相关的化学和电学活动会以某种方式让海马体更容易准备好储存或放弃一个新条目。这种可能性在生物学领域是合理的；我们知道，神经元之间的连接在它们一齐发射时会加强，这个原理经常被总结为“同步发射的神经元会串连在一起”。通过触发关键脑区神经元之间的紧密连接，同步会为短时记忆提供帮助。而另一种可能性以及经常隐含在同步发生时的现象是，通过一齐发射，这些神经元从背景喧闹声中脱颖而出，正如在鸡尾酒会中，人们齐声歌唱才能使歌声盖过喧闹声。通过协调自身的电活动，同步神经元会放大自己的信息，使之相对于下游神经元更为突出。

一项更有趣的实验阐明了感知之谜：我们如何将世界整合到我们的思维中，并毫不费力地将不同的感觉整合成连贯的整体。一些神经疾病患者无法做到这些，从而导致奇怪的病症，就像奥利佛·萨克斯（Oliver Sacks）的著作《错把妻子当作帽子的丈夫》的书名所描述的那样。这名丈夫能够认出妻子的眼睛、鼻子、嘴巴以及她面部的其他部位，但无法将各部分整合到一起，看到一张完整的脸。对他来说，认出一张脸是一项几乎不可能完成的任务，这需要意识全部的力量，而我们大多数人都是在不知不觉中做到这点的。问题是，当一张脸被识别为一张脸，而不是不相关部分的集合时，我们的大脑中发生了什么？

1999年的一项研究中，由弗朗西斯克·瓦雷拉（Francisco Varela）带领的神经学家团队要求志愿者看“穆尼脸”（Mooney faces），他们有所发现。所谓穆尼脸是模糊不清的黑白图像，当垂直观看时，它们仿佛是人脸，但颠倒观看时，它们就变成了毫无意义的斑点（见图10-1）。

图10-1　穆尼脸

实验者在计算机屏幕上展示一张穆尼脸图片，要求受试者尽快按下两个按钮中的一个，按下哪个按钮取决于受试者是否从图片中识别出了人脸。同时，受试者的脑电波通过附在头皮上的由30个电极组成的阵列进行监控。

在仔细观察图片约1/4秒后，受试者的脑电波展示出一阵“伽马振荡”，我们已知，伽马振荡是由与视觉过程相关皮质的不同区域的数以百万计的神经元有节律地发射所引发的，其频率约为40赫兹。无论图像是人脸还是斑点，两种情况下都出现了这种集体振荡。它们似乎标记出了感知的时刻，即当思维识别出所看到图像时产生的无意识的“啊哈”瞬间。但尽管两种条件下的发射速率相似，同步程度却完全不同。只有在观察到人脸时，放电才对准大脑遥远的部分。

这里的区别与不和谐的声音与合唱之间的区别相同。当感知到斑点时，不同视觉中枢的神经元都以40赫兹的相同步调齐声歌唱，但它们毫无同步的希望，结果便是毫无意义的喧闹，这与大脑无法感知形状是一致的。另一方面，当感知到人脸时，神经元不仅以同一步调歌唱，而且时间也是完美的。这表明，不同的特征被整合到了一起，形成了一张完整的人脸形象。

大脑中的后续事件同样迷人。在受试者自觉反应并按下一个按钮之前，同步的浪潮就消失了。神经元之间的电学一致性被它自己积极地拆散了，就像士兵们在过桥之前将齐步走改成便步走一样。瓦雷拉和他的同事推测，这种积极的去同步可能是大脑将记录删除干净的方法，以允许另一个神经元合唱团的形成，作为下一个想法或行动的基础。在这个实验中，受试者的下一项行动是产生一个动作反应，按下计算机的一个按键。的确，在展示完一张图像的3/4秒后，这个时间与典型受试者的反应时间密切对应，大脑显示了同步的第二次爆发，这次，同步出现在动作响应所涉及的区域。毫不奇怪，无论是否识别出了人脸，第二轮同步都会出现，因为无论任何情况，受试者都会把按钮按下。

这些研究描绘了一幅关于人类生活令人不安的画面。当我们处理日常事务、把握自己的生活时，我们可能会比我们所了解的更为呆板，从一个神经状态铿铿地来到另一个，我们感觉饥饿、认出朋友的脸、记得在回家路上买牛奶，所有这一切都取决于哪些神经元碰巧在某个时刻同步。一些科学家推测，意识可能是同步状态通过我们大脑的主观体验。还有人则更进一步暗示同步可能是构成意识的基础。有一篇题为《丧尸之内》的文章，为加州理工学院神经科学家克里斯托弗·科赫（Christof Koch）和他的合作者弗朗西斯·克里克（Francis Crick，DNA双螺旋结构的共同发现者）合著，他们推测“意识包括神经元以毫秒级同步发射，而不相关的发射无须产生头脑中那种特殊的嗡嗡声就可以影响行为”。

最奇怪的是，这特殊的嗡嗡声可以触发一种难以名状的奇怪感觉。如果你未曾亲身感觉到的话，那么你会觉得这很可笑，但如果你有过这种体验，你会准确地知道我指的是什么，这是一种不寒而栗的感觉。或许每隔1～2年就会在我身上出现一次，它的出现毫无征兆。例如，我可能正在镜子前刷牙，我看着自己，突然觉得：谁在那里？那是谁？

我正在摸索一些词语，以表达思考自己的意识是多么奇怪。在镜子前的那些奇怪的时刻，我感觉到自己的意识是多么奇怪。它是一堆原子，看起来像我，但我知道这是很多水分子、蛋白质、脂类以及其他物质，通过某种特定方式的组合，这该死的东西意识到了自己，反过来盯着我看。如何用化学解释这些东西、解释我、解释我的自我认同感？换句话讲，意识的物质基础是什么？

目前尚未有人知晓答案，但如果科赫和克里克被证明是正确的，它便会得到应得的奖赏。因为如果意识是某种神经同步的副产品，那么仅仅是思考同步（就像你阅读的这几百页书一样）就是同步本身的一项伟大壮举。

后　记

到目前为止，我希望我已经让你了解到现在成为一名科学家是件多么令人兴奋的事，我探索的仿佛一个新领域的黎明。数个世纪以来，我们对于自然的研究都在将它切分为越来越小的碎片，现在，我们是时候开始考虑如何把碎片重新拼在一起了。

一些老前辈会笑着说，自己以前就听说过这种方法。每10年左右，就会有一个华而不实的理论出现，它背负着类似的愿望，而且经常伴随着一个不祥的名字。20世纪60年代是控制论，70年代是突变理论，80年代是混沌理论，到了90年代又变成了复杂性理论。在每个事例中，当时的怀疑论者都会抱怨，这些理论都有吹嘘过度之嫌，结论不是错误就是平淡无奇。听到这些话的科学家往往会一笑置之，走回实验室，继续更折磨人的还原论(29)实验，他们不顾自己的研究课题与相邻学科之间的联系，苦苦奋斗在宇宙中属于他们的一隅之中。

而现在，即使是那些最老于世故的主流科学家都开始承认，还原论或许不足以解决我们面临的诸多终极奥秘：癌症、意识、生命的起源、生态系统的恢复力、艾滋病、全球变暖、细胞的功能、经济的盛衰……这些是这个时代的标志。在每一所主流研究型大学中，各种名称的学院如雨后春笋般出现，例如功能基因组学与整合生物学。生物学家与计算机科学家和数学家联手，尝试在分子水平上理解生命之舞。人类基因组测序给了我们一张巨大的零件列表，其中包括3万个独立基因和它们编码的蛋白质。但我们关于这些基因和蛋白质的连锁活动是如何在活细胞中进行编排设计的仍一无所知。

导致这些未解决的问题如此棘手的主要原因是它们分散的动力学特性，其中，海量的组件每时每刻都在不断地改变它们自身的状态，通过某种方式彼此连接，使我们无法通过检测单独的某个部分对其进行研究。在这种情况下，整体肯定不等于部分之和。与宇宙中的大多数现象一样，这些现象本质上都是非线性的。

这也是为什么非线性动力学对科学的未来极为重要的原因。混沌理论揭示，简单的非线性系统可以表现出极其复杂的行为方式，并向我们展示如何用图像而不是用方程式来理解它们。复杂性理论告诉我们，依据简单的规则相互作用的许多简单的单元之间可以产生意想不到的秩序。但是，复杂性理论主要的局限性在于，它没能从深刻的数学意义上阐释出秩序源自哪里，以及没有用可信服的方式将该理论与真实现象联系起来。基于这些原因，它对大多数数学家和科学家的思想都没有产生什么影响。

在我看来，同步是此时唯一成功的理论。作为非线性科学最古老、最基本的部分之一（正如它所说的那样，用于处理单纯的有节律的单元），同步提供了对于万物的精辟见解，从心律失常到超导，从睡眠周期到电网的稳定性。同步理论以严密的数学思想为基础，通过实验测试，描述并整合了生命物质和非生命物质之中非常广泛的协作行为，遍及从亚原子到宇宙的各个尺度。除了它的重要性和内在的魅力，我相信同步还给我们提供了继续研究复杂非线性系统的关键性的第一步，此时的振子终将被基因与细胞、公司与人类所取代。

另一方面，我也在极力避免给你留下一个虚假的印象。同步只是你巨大的思想主体的一小部分而已，它绝不是研究复杂系统的唯一方法。化学家伊利亚·普里高津（IlyaPrigogine）和他的同事觉得，解开自组织奥秘的关键在于对热力学的更深刻的理解。他们将秩序的涌现视作打败熵的一场艰苦的胜利，视作一个复杂系统依靠环境中的能量流动来维持自身运转。物理学家着迷于模式的形成，将流体力学视为范式。波涛汹涌的湍流间歇性地产生类似螺旋状和羽毛状的相干结构，而不是退化成一个温和、均匀的污点。物理学家赫尔曼·哈肯（HermannHaken）和他的同事将世界看作激光，认为其具有随机性和正反馈，二者共同产生了出现在我们身边的有组织的形式。圣塔菲研究所的研究员为自然选择带来的无处不在的进化而感到震惊，进化不仅出现在生物种群中，还出现在免疫系统、经济和股票市场中。还有人设想宇宙是一台巨大的计算机，运行着一个神秘的程序，它的发现将宣告科学的终结。

但现在，所有这些猜想都是白日梦。我们仍然在等待在理解世界方面的重大突破，它的到来可能还需要漫长的时间。我认为我们可能错过了微积分的概念，这是定义一个复杂系统的无数相互作用结果的一种方式。甚至可以说这是超微积分，如果把它移交给我们，那么我们可能永远无法理解它。我们的确一无所知。

在此期间，同步科学正在日拱一卒地缓慢前进着。佩斯金已经开始探索昆虫扑翼飞行的力学问题，他还与同事大卫·麦克奎恩（DavidMcQueen）改进了他的心脏血液流动的计算机模型。他们的模拟已经帮助医生设计出了更好的人工瓣膜。

藏本由纪已经退休，但他仍然在大胆创新。他一直在努力研究以中间方式耦合的振子的数学问题，而这并不是他的经典模型中的全局问题，也不是单纯的局部问题。

切斯勒总是出现在关于人类睡眠和昼夜节律的重要成果的新闻中。他和他的同事驳斥了一项此前大肆宣传的研究，该研究意在说明，在膝盖的后侧施加强光，可以重置人类的昼夜节律起搏器。美国宇航局曾要求切斯勒研究约翰·格伦（JohnGlenn）在难忘的航天飞行期间的昼夜节律，以提供老化如何影响醒睡周期的信息。

约瑟夫森仍然站在主流物理学的对立面，忙着建立他的网站，网站上是顺势疗法和超自然现象的最新消息。他从前的老师菲利普·安德森现在退休了，但仍然像以往一样活跃，他已经花了十几年的时间试图破解高温超导之谜。

威森弗尔德和他的同事用现代化设备重新完成了惠更斯的钟摆实验，利用非线性动力学解释了为什么钟摆总是以完美的反向摆动作为终结，这一研究在学界引起极大轰动。

2002年春，洛伦茨在一次复杂系统的大型国际会议上被授予荣誉，像往常一样，他在演讲中对自己1963年的开创性的工作只字未提。“那个微不足道的模型”再次让位给了他正在进行的工作。2008年，洛伦茨与世长辞。

卢·佩科拉依然在观察着混沌系统阵列中的同步。他和我先前的一名学生毛里西奥·巴拉奥纳（MauricioBarahona）一起参了军，这表明小世界网络对于同步混沌是非常有效的，实则胜过了所有其他类型的结构。

邓肯·瓦茨在主导一个电子邮件版本的米尔格拉姆小世界实验，而巴拉巴西在追寻无尺度网络的生物学意义。

阿瑟·温弗里在2002年5月12日与世长辞，享年60岁，他在被诊断为脑癌七个月后去世。即使他每天只有几个小时可以保持神志清醒，他仍然帮助我实现了这本书的顺利出版。虽然他没能看到这本书的出版，但我想他知道此书是献给他的。

出于许多原因，我不知道自己下一步要做什么。有太多的问题可以选择，我和我的学生无疑会研究复杂的非线性系统的某些群体行为，或许是与导致癌症失控的调节细胞的生长和分裂的基因网络有关。鉴于生化网络知识的爆炸性发展，追踪特定时间内的活跃基因的新技术，不断增强的计算机性能，以及网络理论的最新进展，时机似乎成熟了。确定我最喜欢的工具（理想化数学模型及其定性分析）对于阐释这些十分复杂和重要的问题是否过于粗糙尚且为时过早。然而，有经验证明，坚持简化大有助益，特别是针对用更现实的方法可能会纠结于错综复杂的数据问题。甚至同步的思想也有可能在此处适用，因为细胞的行为有点像振子，它们会按照完全规则的周期生长和分裂。

在任何情况下我都相信，通过接下来的职业生涯，我会继续以某种形式回归到同步科学。它美丽而奇异，感人至深，这种方式只能用宗教来描述。我知道自己不是唯一一个有这种感受的人。16世纪，游历到马来西亚和泰国的西方旅行者首次目睹了萤火虫沿着数公里的河岸一齐闪烁的壮观景象，当我读到他们留下的记录时，我感受到了与他们同样的狂喜。他们用相同的语言描述着这种景象，被这种敬畏的情感包围着，以至于后来的科学家发现他们的记载很容易被反驳，因为不可信和过于情绪化。

同步的景象在我们的灵魂深处产生了共鸣。这是一件既美妙又可怕的事情。与许多其他现象不同，我们所目睹的它触动人类的现象仅仅处于原始水平。也许我们本能地意识到，如果找到了自发秩序的源头，那么我们就会发现宇宙的秘密。

扫码获取“湛庐阅读”APP，
搜索“同步”查看本书参考文献。

译者后记

当你看到一群萤火虫同步闪烁，一群螃蟹一齐挥舞蟹鳌，一群蟋蟀齐声鸣叫的时候，你会认为眼前的景象都是真实的吗？

没错，都是真实的。此书从这些绚丽而又令人着迷的自然景象着手，讲述了宇宙中的同步现象。热力学定律表明，大自然会无情地走向更无序、更混乱的状态，然而，种种同步现象却又表明，秩序会从混沌中自发产生。

萤火虫的同步闪烁，人体生物钟内部的机制，女性经期的互相影响，超导体中耦合电子的同步振动，有节奏循环变化的神奇化学反应，伦敦千禧桥的垮塌，交通中节奏频率因素对道路畅通度的影响，歌剧院中观众在同步和无序之间不断摇摆的掌声，甚至社交中著名的“六度分割”理论……作者从生物讲到物理，又讲到人类行为和社会学，简直无所不包。不同于很多忽悠人的书籍，作者的例证基于大量研究数据，不用一个公式，却把其中的原理解释得极其具体生动，令人如痴如醉。

书中有很多地方非常有趣，在此仅举几例。例如，作者认为，同步科学的源头是17世纪荷兰科学家惠更斯在研究钟摆运动时误打误撞发现的双摆同频共振现象，这表明同步的能力不依赖于智能、生命以及自然选择，而是源于数学和物理定律。再如，讲人体生物钟时作者提到了一个实验，科学家让受试者按23.5小时一天过日子，受试者经常无法入睡，难以忍受，但是如果按23小时过日子却反倒好了很多；后来科学家又让受试者过1.5小时一天的日子……最终，科学家从中得出结论：我们什么时候入睡并不取决于之前醒了多久，而是取决于人体的体温变化。又如，英国物理学家约瑟夫森在因发现隧道超导电流获得了诺贝尔物理学奖后，却放弃了研究主流物理，全神贯注于超自然现象：顺势疗法、遥视，甚至用意念弯曲勺子。然而，数年后，伦敦千禧桥意外垮塌，众人不解其中缘由，他却立即给《卫报》编辑写信，阐明了大桥垮塌的原因……

总之，这是一本跨学科的科普著作，是了解复杂性科学、混沌现象、小世界现象的入门书。同时又贯穿着科学工作者们的生活点滴、趣闻逸事，读起来令人兴致盎然。另外，作者在TED上也做过关于同步的演讲，有兴趣的读者可以一看。

对于一名科幻题材作品译者而言，翻译这本科普书的过程亦是学习的过程。科学之严谨超出了最硬核的科幻作品。我在翻译过程中不断查阅资料，了解各个领域的科学术语，尽力领会作者意图。历经88个美妙的夜晚，终于翻译完成。在此，我要感谢湛庐文化的编辑安烨、郝莹对此书引进所做的诸多努力，以及对我的支持和信任。感谢家人对我生活起居的悉心照料，使我可以在工作之余全身心投入到翻译工作中。

由于本人知识有限，书中难免存在错误和不足，敬请读者指正。

延伸阅读

《适者降临》

◎　进化生物学家、畅销书《人体的故事》作者丹尼尔·利伯曼，科技史学家、热销书《图灵的大教堂》作者乔治·戴森，科普作家、热销书《理性乐观派》作者马特·里德利鼎力推荐！

◎　如果说还有什么比“智慧的进化”更具有争议性的话，那就是“进化的智慧”，《适者降临》中展示的自上而下的生物进化智慧引人注目，令人印象深刻！

《动物武器》

◎　著名学者、“伯凡时间”创始人吴伯凡，华大基因CEO尹烨，北京大学生命科学学院教授谢灿，《三联生活周刊》主笔贝小戎，国家博物馆讲解员河森堡，社会生物学之父爱德华·威尔逊等知名大咖鼎力推荐！

◎　荣获美国大学优等生联谊会“科学图书奖”，一本有趣又有料的“新博物学”佳作！

《人类存在的意义》

◎　北京大学哲学系教授刘华杰，美国前副总统阿尔·戈尔，环境保护主义理论家、畅销书《幸福经济》作者比尔·麦吉本，著名脑神经学家、科普作家奥利弗·萨克斯，著名全球发展问题专家、畅销书《贫穷的终结》作者杰弗里·萨克斯鼎力推荐！

◎　“社会生物学之父”、两届普利策奖得主、进化生物学先驱、殿堂级的科学巨星爱德华·威尔逊重磅新书！

《半个地球》

◎　北京大学哲学系教授刘华杰，中国科学院大学教授李大光，分享收获农场执行董事、“全球40岁以下影响食物系统的20人”农人石嫣，《大转向》作者史蒂芬·格林布拉特，科普作家奥利弗·萨克斯，著名全球发展问题专家杰弗里·萨克斯鼎力推荐！

◎　爱德华·威尔逊继《生命的未来》与《缤纷的生命》之后又一聚焦生物多样性、关注全球物种灭绝的倾情力作！亚马逊年度科学图书！

(1)　鲁布·戈德堡机械（Rube Goldberg machine）是一种设计精密且复杂的机械，以迂回曲折的方法去完成一些非常简单的工作，例如倒一杯茶或打一只蛋等。美国漫画家鲁布·戈德堡在他的作品中首先创作出了这种机械，人们就以“鲁布·戈德堡机械”为其命名。

(2)　蚀刻素描（Etch A Sketch）是一款素描绘画类的玩具，玩家需要旋转左右两个旋钮来控制面板上的画笔描绘出想要的图像。

(3)　周期蝉（Magicicada）是北美一类蝉的属名，其生命周期为13年或17年，也被称为13年蝉或17年蝉。幼虫孵化后即钻入地下，一生绝大多数时间在地下度过，靠吸食树根的汁液生存。到了孵化后的第13年或第17年，同种蝉的若虫同时破土而出，在4～6周内羽化、交配、产卵、死亡。因此，某一年份在美国东部一些地方就会突然出现大量的蝉，成为一种奇景。

(4)　招潮蟹最大的特征是长有一对大小悬殊的螯爪，摆在前胸的大螯爪像是武士的盾牌。招潮蟹会做出舞动大螯的动作，也因此得名。

(5)　意指要解决一个谜题或困难事物的关键线索或工具。——译者注

(6)　印度博帕尔灾难是历史上最严重的工业化学事故。1984年12月3日凌晨，印度中央邦的博帕尔市设于贫民区附近的一所农药厂发生氰化物泄漏，造成2.5万人直接死亡，55万人间接死亡。

(7)　“埃克森·瓦尔迪兹”号油轮漏油事故。1989年3月24日，美国埃克森公司的一艘巨型油轮在阿拉斯加州美、加交界的威廉王子湾附近触礁，原油泄出达800多万加仑。

(8)　松果体位于间脑脑前丘和丘脑之间，是红褐色的豆状小体，能感受光的信号并做出反应。

(9)　阿瑟·肖洛与查尔斯·汤斯（Charles Townes）一起发明了激光。

(10)　辛普森（Orenthal James Simpson），原是美式橄榄球运动员，后成为影视和广告明星，被指控在1994年犯下两宗谋杀罪。

(11)　时间戳（timestamp）是指格林威治时间1970年01月01日00时00分00秒（北京时间1970年01月01日08时00分00秒）起至现在的总秒数。

(12)　乒乓（Pigpen），名字本意是“猪舍”，这里指一个浑身上下永远脏兮兮的小男孩。

(13)　玻色-爱因斯坦统计是玻色子所依从的一种统计规律。

(14)　顺势疗法是替代医学的一种。顺势疗法的理论基础是“同样的制剂治疗同类疾病”，主要指为了治疗某种疾病，需要使用一种能够在健康人中产生相同症状的药剂。

(15)　遥视是指能超越正常视力范围以外看到遥远事物的特殊现象。

(16)　自组织临界理论（self-organized criticality，简称SOC）是一个有趣且影响较大的理论。该理论认为，由大量相互作用的成分组成的系统会自然地向自组织临界态发展；当系统达到自组织临界态时，即使小的干扰事件也能引起系统发生一系列灾变。

(17)　风洞实验指在风洞中安置飞行器或其他物体模型，研究气体流动与模型的相互作用，以了解实际飞行器或其他物体的空气动力学特性的一种空气动力实验方法。

(18)　是位于美国华盛顿州塔科马的两条悬索桥。第一座塔科马海峡大桥，绰号“舞动的格蒂”，于1940年7月1日通车，四个月后戏剧性地被微风摧毁。

(19)　巨蟒组合是英国六人喜剧团体，他们的“无厘头”搞笑风格在20世纪七八十年代影响甚大。

(20)　它的图案据说是来自于印度教里的“生命之树”——菩提树叶或海枣树叶。也有人从芒果、切开的无花果、松球上找到它的影子。

(21)　M.C.埃舍尔（M. C. Escher，1898—1972），荷兰科学思维版画大师，20世纪画坛中独树一帜的艺术家。作品多以平面镶嵌、不可能的结构、悖论、循环等为特点，从中可以看到对分形、对称、双曲几何、多面体、拓扑学等数学概念的形象表达，兼具艺术性与科学性。

(22)　曾扮演电影《浑身是劲》（Footloose）中的反叛舞者；风靡一时的描写巨形食肉怪虫的电影《异形魔怪》（Tremors）中的男影星。

(23)　莫尼卡·莱温斯基（Monica Lewinsky），“拉链门”女主角，由于20世纪90年代在白宫工作时和时任美国总统比尔·克林顿发生性行为产生绯闻，从而引起公众的注意。

(24)　指美国的突击队员。

(25)　罗德奖学金（Rhodes Scholarships）是一个世界级的奖学金，有“全球本科生诺贝尔奖”之称的美誉，得奖者被称为“罗德学者”（Rhodes Scholars）。

(26)　复杂网络研究权威，无尺度结构的创立者，其代表著作《链接》《爆发》已由湛庐文化策划，浙江人民出版社出版。——编者注

(27)　美国著名导演、演员、编剧。曾五次获艾美奖，六次获金球奖。——编者注

(28)　英国著名演化生物学家、动物行为学家和科普作家，讲述其科学家养成之路的个人传记《道金斯传》（全2册）中文简体字版已由湛庐文化策化、北京联合出版公司出版。——编者注

(29)　还原论是一种哲学思想，认为复杂的系统、事务、现象可以将其化解为各部分之和来加以理解和描述。